第24卷第3期0124N03 工程力学 2007年3月Mm.2007 engineering mecHanics 文章编号：1000-4750(2007)03-0028-06 含中心裂纹正交各向异性板均匀热流作用下的 温度场解析解 唐雪松 (长沙理工大学桥梁与结构工程学院，潮南长沙41007 摘要：研究了含中心裂纹的正交各向异性板，在远场均匀热流作用下温度场的分布。考虑了两种温度边界条件。 即裂纹表面分别维持恒定的温度与恒定的温度梯度，包括了绝热裂纹与导热裂纹等情况。采用各向异性热弹性理 论与复变函数理论。得出了精确满足给定边界条件的温度场的全场解析解。算例中的温度场分布数值结果，出现 些新的现象 值得进 步进行深人理论探时与实验现测的证实。 关键词：热弹性力学：裂纹：温度场：正交各向异性板：解析解 中图分类号：0346.1 文献标识码：A ANALYTICAL SOLUTIONS OF TEMPERATURE FIELDS FOR AN ORTHOTROPIC PLATE WITH A CENTRAL CRACK UNDER REMOTE UNIFORMHEAT FLOWS TANG Xue-song (School of Bridge and Structural Engineering.Changsha University of Seience and Technology,Changsha,Hunan,410076.China) Abstract:The temperature fields for an orthotropic plate with a central crack under the remote uniform heat are solved.One is the constant includes the insulated and uninsulated crack cases.The full-field analytical solutions of the temperature fields are obtained by applying the anisotropic thermoelastic theory and the complex function theory.The solutions satisfy the given boundary conditions.The numerical results show some new phenomena.It is necessary to havethe in-depth theoretical analysis and experimental investigation. Key words:thermoelastic theory:crack;temperature field,orthotropic plate;analytical solutions 近年来压电材料多场耦合问题受到关注。一般 的奇异性，这一奇异性与材料的本构关系无关，是 情祝下，不考虑温度场与其他效应的耦合，可直接 应变能密度场的固有特性，这一结论最近通过分了 用热弹性理论对温度场单独求解山。对于温度荷载 动力学方法得到证明 材料的衡裂行为， 与裂 作用下的裂纹问题，早期的研究工作是考虑各向同 尖端应变能密度的分布密切相关。 性的情况。得出的一些基本结论包括，温度场 1974年，Mindlin6得出了三维线性压电热弹相 温度应力场的分布与裂纹表面的温度边界条件有 理论的基本方程。Nowacki与Chandrasekharaiab 关。温度梯度场与温度应力场具有r的奇异性， 建立的广义压电热弹性理论，成为许多数值解法的 而温度场本身没有奇异性。应变能密度场具有1加 基础。Dig等用势函数法建立了三维压电热弹性 博士，从事裂力学与损伤力学研究E-ma止mg.@s 994-015 China Academic Joural Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
第 24 卷第 3 期 Vol.24 No.3 工 程 力 学 2007 年 3 月 Mar. 2007 ENGINEERING MECHANICS 28 —————————————————— 收稿日期：2005-08-20；修改日期：2006-06-02 作者简介：唐雪松(1964)，男，湖南人，教授，博士，从事断裂力学与损伤力学研究(E-mail: tang_xuesong@sina.com)。 文章编号：1000-4750(2007)03-0028-06 含中心裂纹正交各向异性板均匀热流作用下的 温度场解析解 唐雪松 (长沙理工大学桥梁与结构工程学院，湖南 长沙 410076) 摘 要：研究了含中心裂纹的正交各向异性板，在远场均匀热流作用下温度场的分布。考虑了两种温度边界条件， 即裂纹表面分别维持恒定的温度与恒定的温度梯度，包括了绝热裂纹与导热裂纹等情况。采用各向异性热弹性理 论与复变函数理论，得出了精确满足给定边界条件的温度场的全场解析解。算例中的温度场分布数值结果，出现 了一些新的现象，值得进一步进行深入理论探讨与实验观测的证实。 关键词：热弹性力学；裂纹；温度场；正交各向异性板；解析解 中图分类号：O346.1 文献标识码：A ANALYTICAL SOLUTIONS OF TEMPERATURE FIELDS FOR AN ORTHOTROPIC PLATE WITH A CENTRAL CRACK UNDER REMOTE UNIFORM HEAT FLOWS TANG Xue-song (School of Bridge and Structural Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha, Hunan, 410076, China) Abstract: The temperature fields for an orthotropic plate with a central crack under the remote uniform heat flows are investigated. Two new temperature boundary value problems are solved. One is the constant temperature on the crack surface. Another is the constant temperature gradient on the crack surface, which includes the insulated and uninsulated crack cases. The full-field analytical solutions of the temperature fields are obtained by applying the anisotropic thermoelastic theory and the complex function theory. The solutions satisfy the given boundary conditions. The numerical results show some new phenomena. It is necessary to have the in-depth theoretical analysis and experimental investigation. Key words: thermoelastic theory; crack; temperature field; orthotropic plate; analytical solutions 近年来压电材料多场耦合问题受到关注。一般 情况下，不考虑温度场与其他效应的耦合，可直接 用热弹性理论对温度场单独求解[1]。对于温度荷载 作用下的裂纹问题，早期的研究工作是考虑各向同 性的情况[2~4]。得出的一些基本结论包括，温度场、 温度应力场的分布与裂纹表面的温度边界条件有 关。温度梯度场与温度应力场具有 r -1/2 的奇异性， 而温度场本身没有奇异性。应变能密度场具有 1/r 的奇异性，这一奇异性与材料的本构关系无关，是 应变能密度场的固有特性，这一结论最近通过分子 动力学方法得到证明[5]。材料的断裂行为，与裂纹 尖端应变能密度的分布密切相关。 1974 年，Mindlin[6]得出了三维线性压电热弹性 理论的基本方程。Nowacki[7]与 Chandrasekharaiah[8] 建立的广义压电热弹性理论，成为许多数值解法的 基础。Ding 等[9]用势函数法建立了三维压电热弹性
工 程力学 29 问题的广义解。Yu和Qn研究了压电材料热 6=()+E列 (2) 力-电多场耦合下的断裂行为。Lu等2研究了三维 热压电材料均匀热流作用下的椭圆孔问颗。Shan 式中 等u用势函数与Hankel变换研究了压电材料轴对 M=-ikn /k2:=ikkz (3) 称裂纹问题的热应力。另外，Qm还研究了含多 s=ku/kz,=+x 4) 个孔的热压电材料的力学响应。己有的研究工 1是单位虚数。由式(2)知， 中，涉及到多种边界条件。通常，是将裂纹或椭圆 孔处理成热的，即没有任何热流穿过裂纹面。实 O,={'(e)+E】 际上，可以有部分热流穿过裂纹表面。为此，在文 s-g O,= [(e)-(e】 (5 献15]研究各向同性情况的基础上 本文进 究含有中心裂纹的正交各向异性板，在远场均匀热 现考虑裂纹表面维持一恒定温度不变的情况， 流作用下，在两种不同的裂纹表面温度边界条件 即在裂纹的上、下表面维持恒定的温差。 下，温度场的分布问题。有了这一解析结果，即可 ⊙=⊙=回。在L上 (6) 步分析压电材料多场耦合情况下的断裂行为。 符号L表示裂纹线，即=0与-a≤≤a。“+” 1裂纹表面维持恒定温度的情况 与“ 分别表示裂纹的上、下表面。式(6)等价于 ⊙=⊙=0在L上 (7) 考虑一正交各向异性无限大板中 含有一个长 由式（⑤）、式(7)可得出 度为2a的裂纹。无穷远处沿两个坐标轴方向，有 ['(t)+o(t)+「'(t)+6(t)r=0 均匀热流作用。热流向量大小与温度梯度大小成正 (8) ['(u)-u)-'0-p0=0 比，方向相反。无穷远处两个坐标轴方向的温度梯 度分别用与5表示，如图1所示 式中1为一实变量，表示复变量：在裂纹面上的取 值 -a≤tsa。 至此，将问题化为标准的Hilber BT1F1F1171011117112 题，解可写成 ()=- Cn C 22 -「，()= +cg+「(9例 比较式9冲的两式知，系数C与G是实帝数而系 数「是纯虚数。再利用无穷远处的温度梯度边界条 。。 件，可知 9=,r= (10 对于无内热源的热传导问题，要求对任一闭合曲 线C的线积分Pc(ed址=0。这一条件对应于流 图1分析模型示意图 入闭合曲线C的热量与流出的热量相等。由此条 Fig l Analytical model for the problem 件得出：c=0」 取两个坐标轴分别为导热系数的主轴，则温度 对式(9)中第1式积分，并利用式(6最后，得 场控制微分方程是山 到温度场的解析解是 ,02 *, 20 () e)=8V2-a2-i21k,a5:+A,1I) 式中：与如分别是沿、2方向的热传导系数。 6=W-a+-a) 9,有 设 T是当前温度 T。是参考温度。 (12) 二个特征根山与？。式(1)的通解是 注意，温度梯度场具有r的奇异性，而温度场没 有奇异性，即温度在裂纹尖端为有限值。 1994-2015Chin Jou al Eleetronic Publishi ved http://www.cnki.ne
工 程 力 学 29 问题的广义解。Yu 和 Qin[10, 11]研究了压电材料热- 力-电多场耦合下的断裂行为。Lu 等[12]研究了三维 热压电材料均匀热流作用下的椭圆孔问题。Shang 等[13]用势函数与 Hankel 变换研究了压电材料轴对 称裂纹问题的热应力。另外，Qin[14]还研究了含多 个孔的热压电材料的力学响应。已有的研究工作 中，涉及到多种边界条件。通常，是将裂纹或椭圆 孔处理成绝热的，即没有任何热流穿过裂纹面。实 际上，可以有部分热流穿过裂纹表面。为此，在文 献[15]研究各向同性情况的基础上，本文进一步研 究含有中心裂纹的正交各向异性板，在远场均匀热 流作用下，在两种不同的裂纹表面温度边界条件 下，温度场的分布问题。有了这一解析结果，即可 进一步分析压电材料多场耦合情况下的断裂行为。 1 裂纹表面维持恒定温度的情况 考虑一正交各向异性无限大板中，含有一个长 度为 2a 的裂纹。无穷远处沿两个坐标轴方向，有 均匀热流作用。热流向量大小与温度梯度大小成正 比，方向相反。无穷远处两个坐标轴方向的温度梯 度分别用Θ,1 ∞ 与Θ,2 ∞ 表示，如图 1 所示。 ∞ Θ,2 ∞ Θ,1 ∞ Θ,2 ∞ Θ,1 x2 x1 r a a 0 远场均 匀热流 远场均 匀热流 图 1 分析模型示意图 Fig.1 Analytical model for the problem 取两个坐标轴分别为导热系数的主轴，则温度 场控制微分方程是[1] 2 2 11 22 2 2 1 2 k k 0 x x ∂ ∂ Θ Θ + = ∂ ∂ (1) 式中 k11 与 k22 分别是沿 x1、x2 方向的热传导系数。 设Θ =T-To，T 是当前温度，To 是参考温度。 微分方程(1)的特征方程是， 11 0 2 k22μ + k = ，有 二个特征根 μ1 与 μ2 。式(1)的通解是 1 [ ( ) ( )] 2 Θφφ = + z z (2) 式中 1 11 22 μ = −ik k/ , 2 11 22 μ = ik k/ (3) 11 22 s = ik k/ , 1 2 z x sx = + (4) i 是单位虚数。由式(2)知， ,1 1 [ ( ) ( )] 2 Θ φφ = + ′ z z ′ ， , 2 [ ( ) ( )] 4 s s Θ φφ z z − = − ′ ′ (5) 现考虑裂纹表面维持一恒定温度不变的情况， 即在裂纹的上、下表面维持恒定的温差Θ 0 ΘLL 0 Θ Θ + − = = 在 L 上 (6) 符号 L 表示裂纹线，即 x2=0 与 −a ≤ x1 ≤ a 。“+” 与“−”分别表示裂纹的上、下表面。式(6)等价于 ,1 ,1 Θ Θ 0 + − = = 在 L 上 (7) 由式(5)、式(7)可得出 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 tt tt tt tt φφ φφ φφ φφ + − + − ⎧⎪ ′′ ′′ + ++ = ⎨ ⎪⎩ ′′ ′′ − −− = (8) 式中 t 为一实变量，表示复变量 z 在裂纹面上的取 值， −ata ≤ ≤ 。至此，将问题化为标准的 Hilbert 问题，解可写成[16] 0 1 2 2 ( ) c cz z z a φ Γ + ′ = − − ， 0 1 2 2 ( ) c cz z z a φ Γ + ′ = + − (9) 比较式(9)中的两式知，系数 0 c 与 1c 是实常数，而系 数Γ是纯虚数。再利用无穷远处的温度梯度边界条 件，可知 1 ,1 c Θ∞ = , ,2 2 s s Γ Θ∞ = − − (10) 对于无内热源的热传导问题，要求对任一闭合曲 线 C 的线积分 ( )d 0 Cφ′ z z = ○∫ 。这一条件对应于流 入闭合曲线 C 的热量与流出的热量相等。由此条 件得出：c0=0。 对式(9)中第 1 式积分，并利用式(6)，最后，得 到温度场的解析解是 2 2 ,1 22 11 ,2 0 φ() / z z a ik k z Θ ΘΘ ∞ ∞ = −− + (11) 22 22 ,1 22 ,2 0 11 1 ( ) 2 ( ) 2 za za i k z z k Θ Θ Θ Θ ∞ ∞ = −+ − − − + (12) 注意，温度梯度场具有 r -1/2 的奇异性，而温度场没 有奇异性，即温度在裂纹尖端为有限值
程 力学 2 裂纹表面垂直裂纹方向维持恒定 组温度曲线，分别对应于a=0,士1， ,5。图 温度梯度的情况 中央的一小段水平线对应于裂纹表面保持一个恒 定的温度，此为给定的边界条件。各条曲线呈V型 如图1所示分析模型，现考虑裂纹表面上垂直 日左、右对称，在远场趋于成平行直线，当常近婴 于裂纹方向维持恒定温度梯度的情况，即 纹位置时变得略有弯曲。以上规律，可通过分析解 ⊙·=⊙=⊙的.在L上 (13) 析式(12)而得出。将式(12)写成 取=0时，即为绝热裂纹的情况。而当，≠0 8=,8(W+既)-a+ 时，有热流穿越裂纹面，此即导热裂纹的情况。所 以，式(13)给出的边界条件包括了绝热裂纹与导热 V-x)2-2)+52+ (19 裂纹的情况。由式(5)、式(13)，可将问题化为标准 的Hilbert问圈 (14 [e'F)+u)计-[pF)+u=0 式中各符号含义同前。Hilbert问题有解析解，利用 无穷远边界条件可确定出待定系数，解可写成 e)=∫ed=2 3@3-20P-a+ 6643210121456 4 (@+ (15) 图2边界条件==6。下裂纹附近温度场的分布 -100Km 式中A为积分常数。要确定出常数A,必须给出另 ,5-200Km 外的温度边界条件。可假定，当=0时，除裂致 面外，轴上保持一恒定的温度不变，即 ,-200k/ 日=，对于=0，x上a,x20 (16) 根据式(16.取A=回” 最后，得到第二种温度边界条件下，温度场的 解析解是 -e-28nP-a+ 2 )= (⊙+，56g:+8 4 (17) 0-,(03-203x-)+ 20(+)+,6(e-)+8 (18) ⊙=200K/m,⊙号=100K/m ture distributio n near the crack under the 数值结果与分析讨论 iary condition=with-200K/m and 3.1第一种边界条件的情况 6=100Km 取两个正交方向上的热传导系数分别为压电 对于给定的x2,由式(19)可知，⊙(x1.x2尸⊙(-x.2) 材料PZT-5H的相应值：k=50WKm,k22=75WKm。 即各条曲线均左、右对称。给定x的情况下，只要 第一种边界条件取为：⊙=⊙=O。=100K,即 x充分大，式(19)可简化成8=⊙x1+⊙5x2+日0， 裂纹的上、下表面上保持一个恒定的相同的温差 从而各条曲线在远场将趋向于成为平行直线。在无 ⊙。图2给出⊙=100K/m,⊙=200K/m时的 穷远处，温度将挡于无穷大或负无穷大。成注意， 1994-2015 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.ne
30 工 程 力 学 2 裂纹表面垂直裂纹方向维持恒定 温度梯度的情况 如图 1 所示分析模型，现考虑裂纹表面上垂直 于裂纹方向维持恒定温度梯度的情况，即 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = , 在 L 上 (13) 取 0 ,2 Θ = 0 时，即为绝热裂纹的情况。而当 0 ,2 Θ ≠ 0 时，有热流穿越裂纹面，此即导热裂纹的情况。所 以，式(13)给出的边界条件包括了绝热裂纹与导热 裂纹的情况。由式(5)、式(13)，可将问题化为标准 的 Hilbert 问题 0 , 2 8 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 tt tt s s Ft t Ft t φ φ φφ Θ φφ φφ + − + − ⎧ ⎪ ′′ ′′ − +− = ⎨ − ⎪ ⎩ ′′ ′′ +− += (14) 式中各符号含义同前。Hilbert 问题有解析解，利用 无穷远边界条件可确定出待定系数，解可写成 0 22 ,2 ,2 2 ( ) ( )d ( 2 ) z zz z a s s φ φ ΘΘ ∞ = = − −+ ′ − ∫ 0 ,1 ,2 4 ( )z A s s Θ Θ ∞ + + − (15) 式中 A 为积分常数。要确定出常数 A，必须给出另 外的温度边界条件。可假定，当 ,1 Θ 0 ∞ = 时，除裂纹 面外，x1 轴上保持一恒定的温度不变，即 * Θ =Θ0 , 对于 ,1 Θ 0 ∞ = , 1 | | x ≥ a , x2=0 (16) 根据式(16)，可取 * A =Θ0 。 最后，得到第二种温度边界条件下，温度场的 解析解是 ( ) 0 22 ,2 ,2 2 () 2 z za s s φ ΘΘ ∞ = − −+ − 0 * ,1 ,2 0 4 ( )z s s Θ Θ Θ ∞ + + − (17) 0 22 22 ,2 ,2 1 ( 2 )( ) za za s s Θ ΘΘ ∞ = − −− − + − 0 * ,1 ,2 0 1 2 () () 2 zz zz s s Θ Θ Θ ∞ ++ −+ − (18) 3 数值结果与分析讨论 3.1 第一种边界条件的情况 取两个正交方向上的热传导系数分别为压电 材料PZT-5H的相应值：k11=50W/Km, k22=75W/Km。 第一种边界条件取为： LL 0 ΘΘΘ 100K + − === ，即 裂纹的上、下表面上保持一个恒定的相同的温差 Θ0 。图 2 给出 ,1 Θ 100K/m ∞ = ， ,2 Θ 200K/m ∞ = 时的 一组温度曲线，分别对应于 x2/a=0, ±1, …, ±5。图 中央的一小段水平线对应于裂纹表面保持一个恒 定的温度，此为给定的边界条件。各条曲线呈 V 型 且左、右对称，在远场趋于成平行直线，当靠近裂 纹位置时变得略有弯曲。以上规律，可通过分析解 析式(12)而得出。将式(12)写成 2 2 ,1 1 2 1 (( ) 2 Θ Θ x sx a ∞ = + −+ 2 2 1 2 ,2 2 0 ( )) x sx a x Θ Θ ∞ − −+ + (19) 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Θ/Θo x1/a x2/a=5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 x1/a Θ /Θ0 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km Θ − L =Θ + L =Θ 0=100K, ∞ Θ,1 =100K/m, ∞ Θ,2 =200K/m x2/a =5 图 2 边界条件ΘLL 0 Θ Θ + − = = 下裂纹附近温度场的分布： ,1 Θ 100K/m ∞ = , ,2 Θ 200K/m ∞ = Fig.2 Temperature distribution near the crack under the boundary condition ΘLL 0 Θ Θ + − = = with ,1 Θ 100K/m ∞ = and ,2 Θ 200K/m ∞ = 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Θ/Θo x1/a x2/a=5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 x1/a Θ /Θ0 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km Θ − L =Θ + L =Θ 0=100K, ∞ Θ,1 =200K/m, ∞ Θ,2 =100K/m x2/a =5 图 3 边界条件ΘLL 0 Θ Θ + − = = 下裂纹附近温度场的分布： ,1 Θ 200K/m ∞ = ， ,2 Θ 100K/m ∞ = Fig.3 Temperature distribution near the crack under the boundary condition ΘLL 0 Θ Θ + − = = with ,1 Θ 200K/m ∞ = and ,2 Θ 100K/m ∞ = 对于给定的 x2，由式(19)可知，Θ (x1, x2)=Θ (-x1, x2)， 即各条曲线均左、右对称。给定 x2的情况下，只要 x1 充分大，式(19)可简化成Θ =Θ,1 ∞ x1+Θ,2 ∞ x2 +Θ 0， 从而各条曲线在远场将趋向于成为平行直线。在无 穷远处，温度将趋于无穷大或负无穷大。应注意
工程力学 31 给定的边界条件是无穷远处温度梯度（而不是温度 32 第一轴边思件的情 是常数，对于无穷远处的温度并没有前提约束条 现讨论第二种边界条件 5=6=6,即 件。实际上，板不可能为无穷大，但说明此种边界 裂纹表面上沿垂直裂纹方向保持一个恒定温度梯 条件下，最大或最小温度发生在板的远场边界上 度的情况。可将式(18)改写成 而裂纹附近的温度场解答是有重要实际意义的 现取：O=200K/m,O5=100K/m。由于材 料的各向异性，温度场的分布将有所不同，见图3， V-sx2)2-a2]+⊙+2gx2+8(20) 但温度场分布特征与图2的情况相类似。图3与图 可见在无穷远处，温度亦将趋于无穷大或负无穷 2相比，客曲线相互靠近，V型曲线的角度减小。 大。根据函数√2-a2在裂纹的上、下表面呈反对 注意到=0与=-a的两条曲线出现了交叉，这甲 并非是温度等值线，可以允许曲线出现交叉。说明， 称间断的性质，得出裂纹上、下表面的温度表达式 为 交叉点所对应的两个不同位置处具有相同的温度。 与图2、图3相对应的温度等值线图分别见图 =2(e5-2F-+6x+82 4、图5，所反映的规律分别与图2、图3相同。 =- 层-2F-++6四 i- 现将两个正交方向的温度梯度取为： ”=200Km,=400Km.图6给出=0时 的计算结果，即牵热列纹的情况。图中曲线，除=0 101 的曲线外，其余曲线均呈乙型或倒乙 型，各曲线向 远场延伸时，趋向于成为平行直线。图中央处有 0.95 个小椭圆，椭圆的上半边对应于裂纹上表面的温度 曲线，下半边对应于裂纹下表面的温度曲线。第 图4边界条件8=(=日。下裂纹附近的温度等值线： 种边界条件下，裂纹上、下表面的温度不同。曲线 在=0外即轴上出到跳跃间断御象即当路 89=100K 6=200K der the 轴时温度出现突变。如2轴上的-5a点 ==8。 an 度比值⊙1⊙从左边的0.79突变到右边的1.21。这 ⊙=200Km 一奇特现象，有待于实验观测的证实 -88ak智7oKn 1.05 01 0时 下表 54321012345 图了边界条件=(=。下裂纹附近的温度等值线 8=200Km,82=100K/ 图6边界条件==下裂纹附近温度场的分布 3=0(绝热裂纹)，a=200K/m,85=400K/m 1,==gw nd ⊙3=100Km crack),=200K/m and=400K/m 1994-2015 China Academic nal Eleetronie Publishing House.All rights eserved www.cnki.net
工 程 力 学 31 给定的边界条件是无穷远处温度梯度(而不是温度) 是常数，对于无穷远处的温度并没有前提约束条 件。实际上，板不可能为无穷大，但说明此种边界 条件下，最大或最小温度发生在板的远场边界上。 而裂纹附近的温度场解答是有重要实际意义的。 现取： ,1 Θ 200K/m ∞ = , ,2 Θ 100K/m ∞ = 。由于材 料的各向异性，温度场的分布将有所不同，见图 3， 但温度场分布特征与图 2 的情况相类似。图 3 与图 2 相比，各曲线相互靠近，V 型曲线的角度减小。 注意到 x2=0 与 x2= −a 的两条曲线出现了交叉，这里 并非是温度等值线，可以允许曲线出现交叉。说明， 交叉点所对应的两个不同位置处具有相同的温度。 与图 2、图 3 相对应的温度等值线图分别见图 4、图 5，所反映的规律分别与图 2、图 3 相同。 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x1/a Θ/Θ0=1.1 1.05 1.01 1 0.99 0.95 x1/a x2 / a a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km Θ − L =Θ + L =Θ 0=100K, ∞ Θ 1, =100K/m, ∞ Θ 2, =200K/m Θ /Θ0=1.1 图 4 边界条件ΘLL 0 Θ Θ + − = = 下裂纹附近的温度等值线： ,1 Θ 100K/m ∞ = , ,2 Θ 200K/m ∞ = Fig.4 Temperature isoclines near the crack under the boundary condition ΘLL 0 Θ Θ + − = = with ,1 Θ 100K/m ∞ = and ,2 Θ 200K/m ∞ = -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x1/a Θ/Θ0=1.1 1.05 1.01 1 0.99 0.95 x1/a x2 / a a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km Θ − L =Θ + L =Θ 0=100K, ∞ Θ 1, =200K/m, ∞ Θ 2, =100K/m Θ /Θ0=1.1 图 5 边界条件ΘLL 0 Θ Θ + − = = 下裂纹附近的温度等值线： ,1 Θ 200K/m ∞ = , ,2 Θ 100K/m ∞ = Fig.5 Temperature isoclines near the crack under the boundary condition ΘLL 0 Θ Θ + − = = with ,1 Θ 200K/m ∞ = and ,2 Θ 100K/m ∞ = 3.2 第二种边界条件的情况 现讨论第二种边界条件， 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = ，即 裂纹表面上沿垂直裂纹方向保持一个恒定温度梯 度的情况。可将式(18)改写成 22 0 22 ,2 ,2 1 2 11 1 ( 2 )[ ( ) 2 k x sx a i k Θ Θ Θ ∞ = − + −− 22 * 1 2 ,1 1 ,2 2 0 ( )] 2 o x sx a x x Θ Θ Θ ∞ − −+ + + (20) 可见在无穷远处，温度亦将趋于无穷大或负无穷 大。根据函数 2 2 z a − 在裂纹的上、下表面呈反对 称间断的性质，得出裂纹上、下表面的温度表达式 为 22 0 22 * ,2 ,2 1 ,1 1 0 11 ( 2) L k ax x k Θ Θ Θ Θ Θ +∞ ∞ = − −+ + (21) 22 0 22 * ,2 ,2 1 ,1 1 0 11 ( 2) L k ax x k Θ Θ Θ Θ Θ −∞ ∞ =− − − + + (22) 现将两个正交方向的温度梯度取为： ,1 Θ 200K/m ∞ = ， ,2 Θ 400K/m ∞ = 。图 6 给出 0 ,2 Θ = 0 时 的计算结果，即绝热裂纹的情况。图中曲线，除 x2=0 的曲线外，其余曲线均呈 Z 型或倒 Z 型，各曲线向 远场延伸时，趋向于成为平行直线。图中央处有一 个小椭圆，椭圆的上半边对应于裂纹上表面的温度 曲线，下半边对应于裂纹下表面的温度曲线。第二 种边界条件下，裂纹上、下表面的温度不同。曲线 在 x1=0 处(即 x2 轴上)出现跳跃(间断)现象，即当跨 越 x2 轴时温度出现突变。如 x2 轴上的 x2=5a 点，温 度比值 * 0 Θ /Θ 从左边的 0.79 突变到右边的 1.21。这 一奇特现象，有待于实验观测的证实。 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -5=x2/a -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 裂纹上表面 x1/a x2/a=5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 裂纹下表面 x1/a Θ /Θ0 x2/a =5 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km + Θ 2, = − Θ 2, = 0 Θ 2, =0, * Θ0 =100K, ∞ Θ 1, =200K/m, ∞ Θ 2, =400K/m −5=x2/a * 图 6 边界条件 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = 下裂纹附近温度场的分布: 0 ,2 Θ = 0 (绝热裂纹), ,1 Θ 200K/m ∞ = , ,2 Θ 400K/m ∞ = Fig.6 Temperature distribution near the crack under the boundary condition 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = with 0 ,2 Θ = 0 (Insulated crack), ,1 Θ 200K/m ∞ = and ,2 Θ 400K/m ∞ =
工程力学 图7给出=50KJm,=200K/m,= 400Km时的计算结果，即导热裂纹的情况。当袭 纹可以传递部分热量时，其温度场的分布与绝热裂 纹的情况（图6）不同。曲线的右半段基本上与图6 相同，左半段曲线的间距缩小，表示裂纹上、下表 面温度的椭圆变得扁平。同样取=50K/m,将 ⊙增大到⊙=300Km，日5减小到g5 300K/m。发现各条曲线的间距进一步靠近，尤其 是各曲线的左半部分更加相互靠近，见图8。当⊙ 12345 增大到日=400K/m,日3减小到O3=200K/m 图8边界条件a;=8=下裂纹附近温度场的分布， 时，中央的椭圆变得近乎扁平，左半边的各条曲线 6-50Km(得热裂纹，G-30Km,g=30Km 几乎重合在一起，见图9。表明此时左半板的温度 分布几乎与华标无关，而仅随坐标x,变化 =6= 与图6、图7、图8、图9情况相对应的温度等 (Uninsulated crack).=300K/m and30 值线图分别见图10、图11、图12、图13，两种图 的结果可以相互映证。图10的情况与图6相对应 为始热裂纹的情况。左半板从上到下温度逐浙升 高 而右半板则反之. 不同等值线在x轴上相交 反映出从左到右跨越轴时温度的突变。当裂纹可 以传递热量时，等值线的斜率增加，左半部分的等 值线间距加大，见图11。随着⊙增大与O5减小 等值线的间距与斜率均进一步加大，如图12所示 424。.2244 图9中显示，左半板的温度分布近似于仅与，有关 图9边界条件防-5一下裂纹附近温度场的分布 而与无关。这种现象反映在等值线图13中，则 =50Km(导热裂纹】 =400Ka,=200K/ 半板的温度等值线近似于与轴平行的直线，但并 非严格意义的直线，也并非严格意义地与2轴平行。 (Uninsulated crack)/m and0 《, 12 09 13 图7边界条件一C~下裂纹附近温度场的分布： 图10边界条件=-6下爱致附近的温度等值线 =50Km(得热裂纹，=200Km,=400Km 63=0(绝热覆纹.g=200K/m63=400Km Fig.7 Temperature distribution near the crack under the Fig10 Temperature isoclines near the crack under the boundary condition⊙=⊙，=⊙，with=50Km (Uninsulated crack),200K/m and=400K/m crack),⊙=200 K/m and⊙5=400K/m 1994-2015 China Academic Joumal Eleetronic Publishing House.All rights reserved.htp://www.cnki.ne
32 工 程 力 学 图 7 给出 0 ,2 Θ = 50K/m ， ,1 Θ 200K/m ∞ = ，Θ,2 ∞ = 400K/m 时的计算结果，即导热裂纹的情况。当裂 纹可以传递部分热量时，其温度场的分布与绝热裂 纹的情况(图 6)不同。曲线的右半段基本上与图 6 相同，左半段曲线的间距缩小，表示裂纹上、下表 面温度的椭圆变得扁平。同样取 0 ,2 Θ = 50K/m ，将 Θ,1 ∞ 增大到 ,1 Θ 300K/m ∞ = ， Θ,2 ∞ 减小到 Θ,2 ∞ = 300K/m 。发现各条曲线的间距进一步靠近，尤其 是各曲线的左半部分更加相互靠近，见图 8。当Θ,1 ∞ 增大到 ,1 Θ 400K/m ∞ = ，Θ,2 ∞ 减小到 ,2 Θ 200K/m ∞ = 时，中央的椭圆变得近乎扁平，左半边的各条曲线 几乎重合在一起，见图 9。表明此时左半板的温度 分布几乎与坐标 x2 无关，而仅随坐标 x1 变化。 与图 6、图 7、图 8、图 9 情况相对应的温度等 值线图分别见图 10、图 11、图 12、图 13，两种图 的结果可以相互映证。图 10 的情况与图 6 相对应， 为绝热裂纹的情况。左半板从上到下温度逐渐升 高，而右半板则反之。不同等值线在 x2 轴上相交， 反映出从左到右跨越 x2轴时温度的突变。当裂纹可 以传递热量时，等值线的斜率增加，左半部分的等 值线间距加大，见图 11。随着Θ,1 ∞ 增大与Θ,2 ∞ 减小， 等值线的间距与斜率均进一步加大，如图 12 所示。 图 9 中显示，左半板的温度分布近似于仅与 x1有关， 而与 x2无关。这种现象反映在等值线图 13 中，则左 半板的温度等值线近似于与 x2 轴平行的直线，但并 非严格意义的直线，也并非严格意义地与 x2轴平行。 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -5=x2/a -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 裂纹上表面 x1/a x2/a=5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 裂纹下表面 x1/a Θ /Θ0 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km + Θ,2 = − Θ,2 = 0 Θ,2 =50K/m, * Θ0 =100K, ∞ Θ,1 =200K/m, ∞ Θ,2 =400K/m −5=x2/a * x2/a =5 图 7 边界条件 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = 下裂纹附近温度场的分布： 0 ,2 Θ = 50K/m (导热裂纹), ,1 Θ 200K/m ∞ = , ,2 Θ 400K/m ∞ = Fig.7 Temperature distribution near the crack under the boundary condition 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = with 0 ,2 Θ = 50K/m (Uninsulated crack), ,1 Θ 200K/m ∞ = and ,2 Θ 400K/m ∞ = 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -5=x2/a -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 裂纹上表面 x1/a x2/a=5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 裂纹下表面 x1/a Θ /Θ0 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km + Θ,2 = − Θ,2 = 0 Θ,2 =50K/m, * Θ0 =100K, ∞ Θ,1 =300K/m, ∞ Θ,2 =300K/m −5=x2/a * x2/a =5 图 8 边界条件 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = 下裂纹附近温度场的分布： 0 ,2 Θ = 50K/m (导热裂纹), ,1 Θ 300K/m ∞ = , ,2 Θ 300K/m ∞ = . Fig.8 Temperature distribution near the crack under the boundary condition 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = with 0 ,2 Θ = 50K/m (Uninsulated crack), ,1 Θ 300K/m ∞ = and ,2 Θ 300K/m ∞ = 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -5=x2/a -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 裂纹上表面 x1/a x2/a=5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 裂纹下表面 x1/a Θ /Θ0 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km, + Θ,2 = − Θ,2 = 0 Θ,2 =50K/m, * Θ0 =100K, ∞ Θ,1 =400K/m, ∞ Θ,2 =200K/m −5=x2/a * x2/a =5 图 9 边界条件 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = 下裂纹附近温度场的分布: 0 ,2 Θ = 50K/m (导热裂纹), ,1 Θ 400K/m ∞ = , ,2 Θ 200K/m ∞ = Fig.9 Temperature distribution near the crack under the boundary condition 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = with 0 ,2 Θ = 50K/m (Uninsulated crack), ,1 Θ 400K/m ∞ = and ,2 Θ 200K/m ∞ = -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x1/a 0.8 1.3 1 1.1 0.9 1 0.9 0.8 0.7 1.1 1.2 1.2 x1/a x2 / a Θ /Θ0 =1.3 Θ /Θ0 =0.7 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km + Θ,2 = − Θ,2 = 0 Θ,2 =0, * Θ0 =100K, ∞ Θ,1 =200K/m, ∞ Θ,2 =400K/m * * 图 10 边界条件 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = 下裂纹附近的温度等值线: 0 ,2 Θ = 0 (绝热裂纹), ,1 Θ 200K/m ∞ = , ,2 Θ 400K/m ∞ = Fig.10 Temperature isoclines near the crack under the boundary condition 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = with 0 ,2 Θ = 0 (Insulated crack), ,1 Θ 200K/m ∞ = and ,2 Θ 400K/m ∞ =
程力学 33 4 结论 (1)对于含中心裂纹正交各向异性板，在远场 均匀热流作用下，针对两种新的温度边值问题，求 1.2 得了温度场的全场解析解。所获的解， 精确满足 as 给定的全部边界条件。 2)研究表明，对于所给定的两种温度边值间 题，温度梯度场具有r2的奇异性，而温度场本身 没有奇异性。裂纹表面上的边界条件 对于温度场 420 2468 的性质与分布起着决定作用。裂纹的传热能力，对 图11边界条件；=8，=下裂纹的温度等值线 于温度场的性质与分布有重要影响。 3=50K/m(导热裂纹，6=200K/m,5=400Km (3)第一种边界条件下，即裂纹上、下表面沿 Fig.I1 Temperature isoclines near the crack under the 裂纹方向无温度梯度时，产生正对称分布的温度 boundary condition==with=50K/m 场。 (Uninsulated crack).=200K/m and =400K/m (4)对于第二种边界条件，即裂纹的上、下表 面沿垂直裂纹方向维持一恒定的温度梯度时，裂纹 的上、下表面将具有不同的温度。当从左到右跨越 裂纹的垂直对称轴时，温度发生跳跃。这一现象， 有待于进一步深入进行理论探讨与实验验证。 参考文献： [1]Boley B A,Weiner J H.Theory of thermal stresses [M] Wiley,New York,1960. 2]Sih GC.Heat conducti in the infinite 图12边界条件；==下裂纹附近的温度等值线 6=50K/m(得热裂纹.g=300K/m,85=300K/m 3]Sih GC.On the singular character of thermal stress Fig.12T a crack tip Joural of Applied Mechanics,192.29 dary condition with=50K/m 587-589 (Uninsulated crack)K/m and0/ em I of .1960.27:635-639 [5]Tzou DY.Strain energy density-a molecular ap Joumal of the Chinese Institute of Engineers,2004 76):919-929 Mindlin R D.Equa of solids and Stuctures 1974.10:625-637 7]Nowacki W.Some general theorems of thermopiez electricity []Journal of Thermal Stresses,1978.1: 71-18 8 20 图13边界条件⊙时=⊙=⊙下裂纹附近的温度等值线 713949. g=50Km(得热裂纹，=400Km,6=200Km Fig.13 Temperature isoclines near the crack under the (参考文献9小16转第41页) boundary conditionwith50K/m (Uninsulated crack).=400K/m and=200K/m 1994-2015 China Academic Joural Electronie Publishing House.All rights reserved http://www.cnki.net
工 程 力 学 33 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x1/a 0.8 1 1.1 0.9 1 0.9 0.8 0.7 1.1 1.2 x1/a x2 / a Θ /Θ0 =1.3 Θ /Θ0 =0.7 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km + Θ,2 = − Θ,2 = 0 Θ,2 =50K/m, * Θ0 =100K, ∞ Θ,1 =200K/m, ∞ Θ,2 =400K/m * * 图 11 边界条件 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = 下裂纹的温度等值线: 0 ,2 Θ = 50K/m (导热裂纹), ,1 Θ 200K/m ∞ = , ,2 Θ 400K/m ∞ = Fig.11 Temperature isoclines near the crack under the boundary condition 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = with 0 ,2 Θ = 50K/m (Uninsulated crack), ,1 Θ 200K/m ∞ = and ,2 Θ 400K/m ∞ = -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x1/a 0.8 1 0.9 1 0.9 0.8 1.1 1.2 x1/a x2 / a Θ /Θ0 =1.3 Θ /Θ0 =0.7 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km + Θ,2 = − Θ,2 = 0 Θ,2 =50K/m, * Θ0 =100K, ∞ Θ,1 =300K/m, ∞ Θ,2 =300K/m * * 图 12 边界条件 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = 下裂纹附近的温度等值线: 0 ,2 Θ = 50K/m (导热裂纹), ,1 Θ 300K/m ∞ = , ,2 Θ 300K/m ∞ = Fig.12 Temperature isoclines near the crack under the boundary condition 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = with 0 ,2 Θ = 50K/m (Uninsulated crack), ,1 Θ 300K/m ∞ = and ,2 Θ 300K/m ∞ = -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x1/a 0.9 1 0.9 0.8 1.1 1.2 x1/a x2 / a Θ /Θ0 =1.3 a =10mm, k11=50W/km, k22=75W/km + Θ,2 = − Θ,2 = 0 Θ,2 =50K/m, * Θ0 =100K, ∞ Θ,1 =400K/m, ∞ Θ,2 =200K/m * 图 13 边界条件 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = 下裂纹附近的温度等值线: 0 ,2 Θ = 50K/m (导热裂纹), ,1 Θ 400K/m ∞ = , ,2 Θ 200K/m ∞ = Fig.13 Temperature isoclines near the crack under the boundary condition 0 Θ,2 ,2 ,2 Θ Θ + − = = with 0 ,2 Θ = 50K/m (Uninsulated crack), ,1 Θ 400K/m ∞ = and ,2 Θ 200K/m ∞ = 4 结论 (1) 对于含中心裂纹正交各向异性板，在远场 均匀热流作用下，针对两种新的温度边值问题，求 得了温度场的全场解析解。所获得的解，精确满足 给定的全部边界条件。 (2) 研究表明，对于所给定的两种温度边值问 题，温度梯度场具有 r -1/2 的奇异性，而温度场本身 没有奇异性。裂纹表面上的边界条件，对于温度场 的性质与分布起着决定作用。裂纹的传热能力，对 于温度场的性质与分布有重要影响。 (3) 第一种边界条件下，即裂纹上、下表面沿 裂纹方向无温度梯度时，产生正对称分布的温度 场。 (4) 对于第二种边界条件，即裂纹的上、下表 面沿垂直裂纹方向维持一恒定的温度梯度时，裂纹 的上、下表面将具有不同的温度。当从左到右跨越 裂纹的垂直对称轴时，温度发生跳跃。这一现象， 有待于进一步深入进行理论探讨与实验验证。 参考文献： [1] Boley B A, Weiner J H. Theory of thermal stresses [M]. Wiley, New York, 1960. [2] Sih G C. Heat conduction in the infinite medium with lines of discontinuities [J]. J. Heat Transfer, 1965, 87: 293~298. [3] Sih G C. On the singular character of thermal stresses near a crack tip [J]. Journal of Applied Mechanics, 1962, 29: 587~589. [4] Florence A L, Goodier J N. Thermal stresses due to disturbance of uniform heat flow by an insulated ovaloid hole [J]. J. of Applied Mechanics, 1960, 27: 635~639. [5] Tzou D Y. Strain energy density – a molecular appraisal [J]. Journal of the Chinese Institute of Engineers, 2004, 27(6): 919~926. [6] Mindlin R D. Equations of high frequency vibrations of thermopiezoelectric crystal plates [J]. International Journal of Solids and Structures, 1974, 10: 625~637. [7] Nowacki W. Some general theorems of thermopiezoelectricity [J]. Journal of Thermal Stresses, 1978, 1: 171~182. [8] Chandrasekharaiah D S. A generalized linear thermoelasticity theory for piezoelectric media [J]. Acta Mech., 1988, 71: 39~49. (参考文献[9]~[16]转第 41 页)
工程 力 学 nonline nled cables and China Civil Engineering Journal,1998,31(4):14-22.(in 9例 动工程力学 Cable vibration for cable-stayed bridge by parametric response 【10吕和样，蔡志勤，袭春航。非线性动力学问避的一个显 Engineering Mechanics,2001,18(1):103-109.(in 式精细积分算法)应用力学学报，2001,18(2)：3440 术生孙柄楠.斜拉桥发·桥耦合非线性参数振动影 Lu Hexiang.Cai Zhiqin,Qiu Chunhang An explicit 土木工程学报，2003.364 precise int Chen Shuisheng.Sun Bingnan.Numerical study on 2001,1823440.(in Chinese) (上接第33页) 间Dee.GnEePEAgeoten 13 oelastic solid piezoelectric materials and its applications] Engineering Fracture Mechanics.1996.55:737-750. Intemational Joumal of Engineering Science,000.38 [14]QinQH.General solutions for thermopiezoelectrics with QinH.Damage analysis of ther 唐害松断裂力学与损伤力学中若干问愿的研究R] 博士后研究报告，上海：华东理工大学，2005， 263-277. Tang Xuesong.Research of some problems in fracture [11]Yu W.Qin Q H.Damage analysis of therm and damage mechanics [R].Postdoctoral Researc 279-288 16穆什赫里什维利N1著，赵惠元译.数学弹性力学的几 [12]LuP,Tan MJ.LiewK M.Piezothermoelastic analysis of 个基本间题M.北京：科学出版社，1958. a piezoelectric material with an elliptic cavity unde Muskhelishivili N I.Some basic problems of the mathematical theory of clasticity [M].Beijing.Science ress,1958.(in Chinese 1994-2015 China Academie Joural Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne
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