《高等传热学》课程教学资源（文献资料）土体一维冻结问题温度场半解析解

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D0:10.16285j.rsm.2011.s1.034 文章墙号：1000-7598(20111增刊1一0309-05 土体一维冻结问题温度场半解析解周扬，周国庆 (1.中国矿业大学深都岩士力学与地下工程国家重点实验室，江苏徐州208：2中国矿业大学力学与建筑工程学院。江苏徐州26) 摘要：针对土体的一维冻结过程，采用考虑土体冻结状态下未冻水存在的等效热容模型，建立了其温度场计算的半解析方法，并与相关文献中的数值解进行了对比，验证了方法的正确性。对等效热容模型与显热容模型进行了对比，计算结果表明：在腾态阶段，显热容模型计算的冻结锋面推进速度较等效热容模型慢：而在接近稳态阶段，显热容模型计算的冻土区厚度较等效热容模型厚。在冻结诱导水流较弱的情形下，土体冻结状态下的持水特性越好，采用显热容模型进行温度场计算产生的误差越显著，并且其计算结果应用于人工冻结设计是偏于不安全的。关使词：土壤冻结：温度场：半解析解，等效热容模型：显热容模型：未冻水中图分类号：TU2 文献标识码：A Semi-analytical solution for temperature field of one-dimensional soil freezing problem ZHOU Yang.ZHOU Guo-qing Abstraet:In order to calculate the temperature of the one-dimensionl soil freezing process.the equivalent heat capacity model which considers the nfrz water con has been applied and the semi-analytical solutiofor the temperature field has been obtained.Thesolution procedure has been based ontheFourier method,and the solution has beenonfed by comparing with the numerical solution in some references.The comparison between the equivalent heat capacity model and the apparent heat capacity model has been made,and the resu indicate that,during the transistage,the advancing velocity of the freezing front calculated rom the apparent heat capacity model is smaller than that of the quivalent heat capacity model,during the steady stage.the ckness of the frozen zone calculated from the apparent heat capacity model is larger than that of the equivalent heat capacity mode on that the water model is used to calculate the temperature f arger the error gets ate the temperature field,and the results are unsafe 1引言对于温度场的计算模型，最完善的是综合考虑温度场、水分场、应力场等耦合作用的模型，如刚无论是寒区工程还是冻结法施工均不可避免性冰模型、水-热-力耦合模型等，这些模型一般地遇到土壤的冻结，土壤冻结过程中温度场的计算不适合用于工程计算。常用于工程计算的模型是显具有重要的意义是工地层冻结技术论研究的热容模型，该模型将土体的冻结视为般的相变基础，同时也是运用冻结法进行设计与施工的主要导热过程，许多商业软件计算土壤冻结温度场均是依据四。基于该模型。学整金重点项目(o5053400):国家白然科学基金面上项目(No.4071021)国家科技计划重点项目(0.2006BAB16B01 1994-2016 China Academie Journal Eleetronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.ne

第 32 卷增刊 1 岩土力学 Vol.32 Supp.1 2011 年 4 月 Rock and Soil Mechanics Apr. 2011 收稿日期：2010-11-04 基金项目：国家自然科学基金重点项目（No. 50534040）；国家自然科学基金面上项目（No. 40471021）；国家科技计划重点项目（No. 2006BAB16B01）；中国矿业大学青年科研基金（No. 2009A007）。第一作者简介：周扬，男，1982 年生，博士，讲师，主要从事冻土物理学方面的研究。E-mail：tod2006@126.com 文章编号：1000－7598 (2011)增刊 1－0309－05 土体一维冻结问题温度场半解析解周扬，周国庆（1. 中国矿业大学深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，江苏徐州 221008；2. 中国矿业大学力学与建筑工程学院，江苏徐州 221116）摘要：针对土体的一维冻结过程，采用考虑土体冻结状态下未冻水存在的等效热容模型，建立了其温度场计算的半解析方法, 并与相关文献中的数值解进行了对比，验证了方法的正确性。对等效热容模型与显热容模型进行了对比, 计算结果表明：在瞬态阶段，显热容模型计算的冻结锋面推进速度较等效热容模型慢；而在接近稳态阶段，显热容模型计算的冻土区厚度较等效热容模型厚。在冻结诱导水流较弱的情形下，土体冻结状态下的持水特性越好，采用显热容模型进行温度场计算产生的误差越显著，并且其计算结果应用于人工冻结设计是偏于不安全的。关键词：土壤冻结；温度场；半解析解; 等效热容模型；显热容模型；未冻水中图分类号：TU 2 文献标识码：A Semi-analytical solution for temperature field of one-dimensional soil freezing problem ZHOU Yang, ZHOU Guo-qing （1. State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering, China University of Mining & Technology, Xuzhou, Jiangsu 221008, China; 2. School of Mechanics & Civil Engineering, China University of Mining & Technology, Xuzhou, Jiangsu 221116, China) Abstract: In order to calculate the temperature of the one-dimensional soil freezing process, the equivalent heat capacity model which considers the unfrozen water content has been applied; and the semi-analytical solution for the temperature field has been obtained. The solution procedure has been based on the Fourier method, and the solution has been confirmed by comparing with the numerical solution in some references. The comparison between the equivalent heat capacity model and the apparent heat capacity model has been made; and the results indicate that, during the transient stage, the advancing velocity of the freezing front calculated from the apparent heat capacity model is smaller than that of the equivalent heat capacity model; during the steady stage, the thickness of the frozen zone calculated from the apparent heat capacity model is larger than that of the equivalent heat capacity model. Considering the situation that the water flow induced by the freezing process is weak, then the better the soil freezing characteristic is, the larger the error gets when the apparent heat capacity model is used to calculate the temperature field; and the results are unsafe for the design of the artificial ground freezing engineering. Key words: soil freezing; temperature field; semi-analytical solution; equivalent heat capacity model; apparent heat capacity model; unfrozen water 1 引言无论是寒区工程还是冻结法施工均不可避免地遇到土壤的冻结，土壤冻结过程中温度场的计算具有重要的意义，是人工地层冻结技术理论研究的基础，同时也是运用冻结法进行设计与施工的主要依据[1]。对于温度场的计算模型，最完善的是综合考虑温度场、水分场、应力场等耦合作用的模型，如刚性冰模型[2]、水-热-力耦合模型[3]等，这些模型一般不适合用于工程计算。常用于工程计算的模型是显热容模型[4]，该模型将土体的冻结视为一般的相变导热过程，许多商业软件计算土壤冻结温度场均是基于该模型。 DOI:10.16285/j.rsm.2011.s1.034

310 岩力学 2011年然而，十体风别于传梦相变导执村程的一个品木文将参考文献「11-14]中用于求解线性因结问著特征是在冻结状态下会存在一定数量的未冻水，题的方法获得其半解析解，基本的思想可以表述如这是显热容棋型所没有考虑的。文献5]中通过对才下：对该过程在空间上和时间上进行分段，将士体热耦合模型的简化，得到了形式简单的等效热容模划分为n层，每一层标记为，其厚度为h:同时型。该模型考虑了十体的冻结特性曲线（即未冻水将十体的冻结时程在时间上也制分为是够小的冬个含量与负温的关系)，基本适用于土体中冻结诱导水时段，用符号k来表示其中的某一时段，。流较弱条件下的温度场计算问题。每一薄层在时段k内的参数随空间和时间的本文维冻结过程，采用等效热容变化都较微小，因此，可以近似取：时刻的平均模型进行温度场计算，建立一种半解析分析方法，值作为薄层在时段k内的相应值，这样在每一个并进行相关的算例讨论。时段k内土体经历的过程可以视为层状土体的导热 2基本方程及条件问题，如图1所示。文献5)给出了土壤冻结过程温度场计算的等效热容模型，其基本方程如下： (1) 式中：C,为等效热容，在未冻土段即为体积热容 C,而在冻土段则为C.+Lp0./T,L为相变潜热，P.为水的密度，日，为未冻水体积含量：元为土体导热系数。 3.2k时段的求解 =4-T)8 (2) 通过31节对模型分层线性化后，k时段内的层式中：参数A、B与士性有关。状土体导热问题的基本方程为土体的体积热容C,可由下式计算-：，=1.2.3n (5) C,=C6.+C8+C,8+C8. (3) 式中：日、日、日分别为冰、土颗粒、空气体积含式中：a=a/C,为1时刻2在i层上的平量：Cm、C、C,、C,分别为水、冰、土骨架、空均值，=∫(，4)d:/h,Cw为1时刻C,在气的热容。土导热系数可以用几何平均公式表示-] 1层上的平均值，Cv.=[C(e,-)d:1h。入=元元"入4入% (4) 土体两端的温度边界条件为 7=7.二=0=0 式中：元、无、入、入分别为水、冰、土骨架、 (6) 空气的导热系数。 T=T,E=8.=H 考虑一段土体，其厚度为H,初始时刻温度分在土层交界面：=处，需要满足如下条件：布任意，土体经历由上而下冻结，上端部为冷端， (7) 温度恒定为T:下端部为暖端，温度恒定为T。与此单值性条件相应的工程背景如文献9中的地层 e) 初始条件即为，时刻的温度场分布冬季冻结，此时T:为冬季地表平均温度，H为温度 Ta=T()，l,2,3,n(8) 场影响深度：文献10中的土体室内连续冻结试验也符合此单值性条件。下面对该层状土体导热问题进行求解，首先要进行边界条件齐次化，令 3问题的求解 T=T0+T2,l,2,3,n(9) 3.1基本思想其中T)是满足基本方程及边界、土层交界面对于非线性方程式(1)，无法求得其解析解，条件的一组特解，容易给出如下一组： 1002016Ci Academie al Electronic Publishing House.All rights eserved http://www.cnki.ne

310 岩土力学 2011 年然而，土体区别于传统相变导热过程的一个显著特征是在冻结状态下会存在一定数量的未冻水，这是显热容模型所没有考虑的。文献[5]中通过对水热耦合模型的简化，得到了形式简单的等效热容模型，该模型考虑了土体的冻结特性曲线（即未冻水含量与负温的关系），基本适用于土体中冻结诱导水流较弱条件下的温度场计算问题。本文针对土壤的一维冻结过程，采用等效热容模型进行温度场计算，建立一种半解析分析方法，并进行相关的算例讨论。 2 基本方程及条件文献[5]给出了土壤冻结过程温度场计算的等效热容模型，其基本方程如下： v ( ) T T C txx λ ∂ ∂∂ = ∂∂ ∂ （1）式中： Cv 为等效热容，在未冻土段即为体积热容 Cv ，而在冻土段则为 v wu CL T + ∂∂ ρ θ / ，L 为相变潜热，ρ w 为水的密度，θu 为未冻水体积含量；λ 为土体导热系数。土壤的冻结特性即未冻水与负温的关系可表示为[6] u ( ) B θ A T − = − （2）式中：参数 A、B 与土性有关。土体的体积热容Cv 可由下式计算[7–8]： CC C C C v wu ii ss aa = ++ + θ θθ θ （3）式中：θi 、θs 、θa 分别为冰、土颗粒、空气体积含量；Cw 、Ci 、Cs 、Ca 分别为水、冰、土骨架、空气的热容。土壤导热系数可以用几何平均公式表示[7–8] u sa i w isa θ θ θ θ λ = λ λλλ （4）式中： λw 、 λi 、 λs 、 λa 分别为水、冰、土骨架、空气的导热系数。考虑一段土体，其厚度为 H，初始时刻温度分布任意，土体经历由上而下冻结，上端部为冷端，温度恒定为 Tc；下端部为暖端，温度恒定为 Tw。与此单值性条件相应的工程背景如文献[9]中的地层冬季冻结，此时 Tc为冬季地表平均温度，H 为温度场影响深度；文献[10]中的土体室内连续冻结试验也符合此单值性条件。 3 问题的求解 3.1 基本思想对于非线性方程式（1），无法求得其解析解，本文将参考文献[11–14]中用于求解非线性固结问题的方法获得其半解析解，基本的思想可以表述如下：对该过程在空间上和时间上进行分段，将土体划分为 n 层，每一层标记为 i，其厚度为 hi；同时，将土体的冻结过程在时间上也划分为足够小的各个时段，用符号 k 来表示其中的某一时段[tk-1，tk]。每一薄层 i 在时段 k 内的参数随空间和时间的变化都较微小，因此，可以近似取 tk-1 时刻的平均值作为薄层 i 在时段 k 内的相应值，这样在每一个时段 k 内土体经历的过程可以视为层状土体的导热问题，如图 1 所示。图 1 分层示意图 Fig.1 The divided soil layers 3.2 k 时段的求解通过 3.1 节对模型分层线性化后，k 时段内的层状土体导热问题的基本方程为 2 2 i i ik T T a t z ∂ ∂ = ∂ ∂ ， i=1, 2, 3,…, n （5）式中： v / ik ik ik a C = λ ，λik 为 tk-1 时刻λ 在 i 层上的平均值， 1 1 ( , )d / i i z ik k i z λ λ zt z h − = ∫ − ，Cvik 为 tk-1时刻Cv 在 i 层上的平均值， 1 V 1 ( , )d / i i z ik v k i z C C zt z h − = ∫ − 。土体两端的温度边界条件为 c 0 w , 0 , n TTzz TT zz H = == ⎫ ⎬ = == ⎭ （6）在土层交界面 i z z = 处，需要满足如下条件： 1 ( 1) 1 / / i i ik i i k i T T λ λ Tz T z + + + = ⎫⎪ ⎬ ∂ ∂= ∂ ∂ ⎪⎭ （7）初始条件即为 tk-1时刻的温度场分布 1 ,initial , ( ) k T Tz i it − = ，i=1, 2, 3, …, n （8）下面对该层状土体导热问题进行求解，首先要进行边界条件齐次化，令 (1) (2) Ti = Ti +Ti ， i=1, 2, 3,…, n （9）其中 (2) Ti 是满足基本方程及边界、土层交界面条件的一组特解，容易给出如下一组：

增刊 1 周扬等：土体一维冻结问题温度场半解析解 311 (2) 1 1 1 i i ia b ii ii z z zz TT T zz zz − − − − − = + − − ，i=1, 2, …, n （10）式中：Ta 、Tb 分别为 zi-1、zi处的温度，由下式计算： 1 c wc 1 1 ( ) /( ) i n j j a j j jk jk h h TT TT λ λ − = = =+ − ∑ ∑ （11） c wc 1 1 ( ) /( ) i n j j b j j jk jk h h TT TT = = λ λ =+ − ∑ ∑ （12）式（9）中 (1) Ti 则满足基本方程与齐次边界条件，其初始条件为 (1) ,initial( ) T z i = 1 , 1 (2) , () () () k itk T zT zT z it i − − ∗ − = , i=1,2,…, n （13）对于 (1) Ti 的定解问题，可采用分离变量法进行求解。令 (1) ( ) () T Z zR t i ii = ，i=1,2,…, n （14）代入式（5）后变形得到 () ( ) () ( ) i i ik i i Rt Z z aRt Z z ′ ′′ = （15）上式成立则必同等于一个常数，记为αi ，则有 () () 0 Rt aRt i i ik i ′ − = α （16） () () 0 Zz Zz i ii ′′ − = α （17）由式（16）的解答及实际问题的性质知αi 非正，于是可设 2 αi i = −η （18）则式（16）、（17）的通解分别为 2 () e i ik a t R t i −η = （19） ( ) sin( ) cos( ) Zi ii i i zA zB z = + η η （20）因为ηi 可以为不同的序列，因此，可得到式（5）的通解为 2 (1) 1 [ sin( ) cos( )]e mi ik a t i mi mi mi mi m T A zB z η η η ∞ − = = + ∑ （21）式中：Ami 、Bmi 为系数。因为层间条件式（7），η mi 的选择需需要使各层 (1) Ti 随 t 的变化具有相同的形式，序列 m ε 满足式（22）， 2 22 1 / m k mi ik ε η aH a = ，m=1, 2, 3, … （22）即 / η εµ mi m i = H ，m=1, 2, 3, … （23）式中： 1 / i k ik µ = a a 。于是通解形式变化为 (1) 1 ( )e mt i mi m T gz β ∞ − = = ∑ ，i=1, 2, 3, …, n （24）其中 2 2 1 / m mk β ε = a H （25） ( ) sin( ) cos( ) mi mi i m mi i m z z gz A B H H = + µε µε （26）对于系数 Ami 、 Bmi ，需要满足下列递推公式： T T 11 1 [ , ] [ ,0] AB A mm m = （27） T [,] A B mi mi = T ( 1) ( 1) [,] Si mi mi A B − − , i=2, 3, …, n（28）式（27）由 z0处齐次边界条件获得，式（28）由 z1 ～ zn-1处的层间接触条件获得。递推矩阵 Si ii = C D ，其中 1 1 1 1 sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) i i im im i i i im im z z H H z z H H µε µε µε µε − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ C 1 1 1 1 1 1 1 1 sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) i i im im i i i i im i im z z H H z z d d H H µε µε µε µε − − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ D ( 1) ( 1) i k ik i ik i k a d a λ λ − − = 由式（27）～（28）可知，所有的系数 Ami 、Bmi 都包含同样的因子 Ami ，于是可以把它提取出来，则式（24）变化为 (1) 1 1 ( )e mt i m mi m T Ag z β ∞ − = = ∑ ，i=1, 2, 3，…, n （29）此时式（27）中的 Am1则变为 1，新的系数 Ami ， Bmi 由递推关系完全确定。由 zn 处的边界条件可以得到特征值序列 m ε 的特征方程如下： 1 1 21 0 S SS SS n nn + − " = （30）其中 S2，S3，…，Sn在前面已有定义，另有 T 1 S = [1,0] 1 [sin( ),cos( )] n nm nm µ ε µε S + = 利用初始条件，可以建立方程如下： 1 1 , 1 () () m mi i tk m A gz T z − ∞ ∗ = ∑ = , i=1, 2, 3, …, n （31）特征函数 ( ) mi g z 满足正交关系[15] 1 v 1 ( ) ( )d 0 i i n z ik mi ni z i C g zg z z − = ∑ = ∫ ，当m ≠ n 时。利用该正交关系及初始条件可以获得 Am1 1 1 1 v , 1 1 2 v 1 ( ) ( )d ( )d i k i i i n z ik i t mi z i m n z ik mi z i C T zg z z A C gzz − − − ∗ = = = ∑ ∫ ∑ ∫ （32）

312 力学 2011年上式在计算中可以通过数值积分获得，也可以的各条件下土体冻结锋面的推进曲线。按文献l-l4,取T()为i层的均值温度TM: 两组模型计算结果对比表明：在瞬态阶段，显利用式(9)，将T与T)叠加后，即可以得热容模型计算的冻结锋面推进速度较等效热容模型到k时段上温度场的解析解答。在每一时段上，温慢而在接近稳态阶段显热容模型计算的冻士区府场的解折解均且有相同形式，仅计算参数改亦厚度较等效热容模型厚。这一差异是由于显热容模反复利用该解析解求解各时段上的温度场，便可以型没有考虑上体冻结状态下存在未冻水而造成的，获得温度场在全时间域上的演变过程。一般土体冻结特性越好，两组模型计算结果的差异城显著 4算例分析利用第3节中的半解析方法对具体条件下的土体冻结过程进行了温度场计算。土体孔隙率为 048,初始体积含水率洗取两种计算条件：a,=03 ,=0.18:土体的冻结特性参考文献[61也选取两和计算冬件分别表示为，,《4=02 B033. 40.1 B ，前者冻结特性较好 (即冻结状 400 800 120 下含有更多的未冻水)，后者冻结特性较差。计算时间/m 柱长为H=0.1m,初始温度为均匀分布6℃，冻结用3两组捕型冻深发展曲线对比开始后暖端恒定在T=6℃，冷端恒定在T。= Fig.3 Comp ison freezine fronts of two models 10m 4.1半解析解与数值解对比曲线文献[1-14)中有半解析解与简单条件下的角析解进行的对比，本节主要对半解析解与文献[5]叶 66 由线2 的数值解进行对比，土体初始体积含水率为1，而 88 未冻水关系为0：。半解析解分层间距为0.25mm 时间步长为1s,数值解网格划分与文献5]相同，这些都是经过试算后的网格独立解 400 800 时/min 120 1600 图2为半解析解与数值解的计算结果在各个时刻的对比，两者计算结果的吻合验证了半解析解的图4两组模型冻深发展曲线对比正确性。两组模型计算结果的差异可以从未冻水的角 05h 度进行进一步解释。显热容模型不考虑未冻水的存 2 h 在，其冻结过程中土体释放的潜热要高于等效热容 4日模型，因而其冻结锋面推进速度在瞬态阶段较慢。折解给定边界温度时，接近稳态时的温度场分布取决于导热系数分布，冻土区长度可以利用土柱各处热流相等得到， 23 45678910 距暖城距离/cm H(T,-T) (33) (T.-T入u/2:)+(T-T) Fig.2 Com 式中：为冻土区厚度：T为冻结温度：元、 and numerical solution 为未冻土区及冻土区平均导热系数。 42等效热容模型与显热容模型对比由于显热容模型不考虑未冻水的存在，其元：偏本节进行等效热容模型（模型1）与显热容模大（见式(4）)，由式(33)可知，这将导致其最终型（模型2）的对比，等效热容模型采用本文半解冻土区厚度较等效热容模型计算结果厚土体冻结析解计算，计算参数与4.1节相同，显热容模型则特性越好，考虑与不考虑未冻水产生的差异就越大，采用文献「4数值解计算。图3、4为两组模型计算从而导致两组模型计算结果的差异就越显著。 1002016h ou al Electronic Publishing House All right rved. hup www.cnki.ne

312 岩土力学 2011 年上式在计算中可以通过数值积分获得，也可以按文献[11–14]，取 1 , ( ) k T z i t − ∗ 为 i 层的均值温度 1 , k Ti t − ∗ 。利用式（9），将 (1) Ti 与 (2) Ti 叠加后，即可以得到 k 时段上温度场的解析解答。在每一时段上，温度场的解析解均具有相同形式，仅计算参数改变，反复利用该解析解求解各时段上的温度场，便可以获得温度场在全时间域上的演变过程。 4 算例分析利用第 3 节中的半解析方法，对具体条件下的土体冻结过程进行了温度场计算。土体孔隙率为 0.48，初始体积含水率选取两种计算条件：θ1 = 0.3， θ2 = 0.18；土体的冻结特性参考文献[6]也选取两种计算条件，分别表示为：θu1（A=0.2，B=0.3），θu2 （A=0.1，B=0.5），前者冻结特性较好（即冻结状态下含有更多的未冻水），后者冻结特性较差。计算土柱长为 H = 0.1 m，初始温度为均匀分布 6℃，冻结开始后暖端恒定在 Tw = 6 ℃，冷端恒定在 Tc = -10 ℃。 4.1 半解析解与数值解对比文献[11–14]中有半解析解与简单条件下的解析解进行的对比，本节主要对半解析解与文献[5]中的数值解进行对比，土体初始体积含水率为 θ1，而未冻水关系为 θu1。半解析解分层间距为 0.25 mm，时间步长为 1 s，数值解网格划分与文献[5]相同，这些都是经过试算后的网格独立解。图 2 为半解析解与数值解的计算结果在各个时刻的对比，两者计算结果的吻合验证了半解析解的正确性。图 2 半解析解与数值解对比 Fig.2 Comparison between semi-analytical solution and numerical solution 4.2 等效热容模型与显热容模型对比本节进行等效热容模型（模型 1）与显热容模型（模型 2）的对比，等效热容模型采用本文半解析解计算，计算参数与 4.1 节相同，显热容模型则采用文献[4]数值解计算。图 3、4 为两组模型计算的各条件下土体冻结锋面的推进曲线。两组模型计算结果对比表明：在瞬态阶段，显热容模型计算的冻结锋面推进速度较等效热容模型慢；而在接近稳态阶段，显热容模型计算的冻土区厚度较等效热容模型厚。这一差异是由于显热容模型没有考虑土体冻结状态下存在未冻水而造成的，一般土体冻结特性越好，两组模型计算结果的差异越显著。图 3 两组模型冻深发展曲线对比 Fig.3 Comparison freezing fronts of two models 图 4 两组模型冻深发展曲线对比 Fig.4 Comparison freezing fronts of two models 两组模型计算结果的差异可以从未冻水的角度进行进一步解释。显热容模型不考虑未冻水的存在，其冻结过程中土体释放的潜热要高于等效热容模型，因而其冻结锋面推进速度在瞬态阶段较慢。给定边界温度时，接近稳态时的温度场分布取决于导热系数分布，冻土区长度可以利用土柱各处热流相等得到， f f c wf fc u f ( ) ( )( / ) ( ) HT T H T T TT λ λ − = − +− （33）式中： f H 为冻土区厚度；Tf 为冻结温度；λu 、λf 为未冻土区及冻土区平均导热系数。由于显热容模型不考虑未冻水的存在，其λf 偏大（见式（4）），由式（33）可知，这将导致其最终冻土区厚度较等效热容模型计算结果厚。土体冻结特性越好，考虑与不考虑未冻水产生的差异就越大，从而导致两组模型计算结果的差异就越显著

增刊1 周扬等：土体一维冻结问题温度场半解析解 313 在冻结诱导水流较弱的情形下，采用等效热容 freezing Chinese Journal of Geotechnical 模刑讲行十体族结温度场计算是较完盖的间，此时若采用显热容模型， ce lens the for froct ho 则必将高估接近稳态时的冻士区厚度，对于冻结特性较好的土体这一效果将为显著，在人工冻结领域，该结果是偏于不安全的。王家澄，张立新。冻土物理学.北京：科学 5结论 [8]FAROUKIOT.Thermal properties of soils[M].Germany (1)针对士体的一维冻结过程，采用考虑士 ns Tech Public 体冻结状态下未冻水存在的等效热容模型，建立了 1998 其温度场计算的半解析方法，并与相关文献中的数 LI Hong-sheng.LIU Zeng-li,LI Nan-sheng.Afrost heave 值解答进行了对比，验证了方法的正确性。 e an (2)竿效热容横刑与品热容模刑计算结果的对比表明：在瞬态阶段 ,显热容模型计算的冻结钤 University of Tech gy,1998,38129-33. 面推进速度较等效热容模型慢：而在接近稳态阶段，周因显热容模型计算的冻土区厚度较等效热容模型厚。产生这一差异是由于显热容模型没有考虑土体冻结 ZHOU Jin-sheng ZHOU Gug ing,MA Wei,et al 状态下存在未冻水而造成的。在冻结透导水流较弱 Experimental research on controlling frost heave for 采用显热容模率 2006.3561708-712. 应用于人工冻结设计是偏于不安全的。山谢康和，郑 ,变荷载下成层地基一维 (3)对于实际工程中的成层十体，也可以第用本文的方法讲行求解，其计算过程中的分层分两步进行。首先，以土体天然界面进行次分层： XIE Kang-he,ZHENG Hui,LI Bing-he.et al Analysis of one dimensional nonlinear consolidation of layered soil 后在每一层士体中再进行一次分层而其余求解 g小骤与均匀土层完全相同。 43 参考文献四李冰游和作等初始有效应 1.1999 山胡向 LI Bing-be XIE Kang-he YING Hong-wei et al 555 Sem analytical solution of nonlinear HU Xiang-dong.HUANG Feng.BAI Nan.Models of rsity [13)李冰河，谢康和，应宏伟等.变荷载下软黏士非线性 2008.374550-555. 维固结半解析解)岩土工程学报，19,21)288 [O'NEILL K.MILLER R D.Exploration of a rigid ice heave Water Resoures Research. Sem [3]SHEN M.BRANKO L.Modelling of coupled heat. ation of soft clay und moisture and stress field in freezing soil[J].Cold Regions of 1999.2I3288-293 198 码度场数值模拟的 [14蓝柳和，谢康和。成层软黏土地基黏弹性一锥周结半政进中国矿业大学学报，2005,342179-183. 解析解)土木工程学报，2003,364105 -110 SHANG Xiang-yu,ZHOU Guo-qing,BIE Xiao-yong LAN LI Kang solida 0n9 2005.3i21179-183 36M4105-110 )周扬，周国庆.土壤冻结水热合有限容积模拟研 R L.STEIN J R. On Lo the So HOU 010,323 440 -40 Mechanics and Foundations Division.ASCE.1970 964)1499-1504 1994-016 China Academic Joural Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.ne

增刊 1 周扬等：土体一维冻结问题温度场半解析解 313 在冻结诱导水流较弱的情形下，采用等效热容模型进行土体冻结温度场计算是较完善的[5]，此时若采用显热容模型，则必将高估接近稳态时的冻土区厚度，对于冻结特性较好的土体，这一效果将更为显著，在人工冻结领域，该结果是偏于不安全的。 5 结论（1）针对土体的一维冻结过程，采用考虑土体冻结状态下未冻水存在的等效热容模型，建立了其温度场计算的半解析方法，并与相关文献中的数值解答进行了对比，验证了方法的正确性。（2）等效热容模型与显热容模型计算结果的对比表明：在瞬态阶段，显热容模型计算的冻结锋面推进速度较等效热容模型慢；而在接近稳态阶段，显热容模型计算的冻土区厚度较等效热容模型厚。产生这一差异是由于显热容模型没有考虑土体冻结状态下存在未冻水而造成的。在冻结诱导水流较弱的情形下，土体冻结特性越好，采用显热容模型进行温度场计算产生的误差越显著，并且其计算结果应用于人工冻结设计是偏于不安全的。（3）对于实际工程中的成层土体，也可以采用本文的方法进行求解，其计算过程中的分层分两步进行。首先，以土体天然界面进行一次分层；然后在每一层土体中再进行一次分层，而其余求解步骤与均匀土层完全相同。参考文献 [1] 胡向东, 黄峰, 白楠. 考虑土层冻结温度时人工冻结温度场模型[J]. 中国矿业大学学报, 2008, 37(4): 550－ 555. HU Xiang-dong, HUANG Feng, BAI Nan. Models of artificial frozen temperature field considering soil freezing point[J]. Journal of China University of Mining & Technology, 2008, 37(4): 550－555. [2] O’NEILL K, MILLER R D. Exploration of a rigid ice model of frost heave[J]. Water Resources Research, 1985, 21(3): 281－296. [3] SHEN M, BRANKO L. Modelling of coupled heat, moisture and stress field in freezing soil[J]. Cold Regions Science and Technology, 1987 , 14: 237－246. [4] 商翔宇, 周国庆, 别小勇. 冻结土壤温度场数值模拟的改进[J]. 中国矿业大学学报, 2005, 34(2): 179－183. SHANG Xiang-yu, ZHOU Guo-qing, BIE Xiao-yong. Numerical simulation improvement of freezing soil’s temperature field[J]. Journal of China University of Mining & Technology, 2005, 34(2): 179－183. [5] 周扬, 周国庆. 土壤冻结水热耦合有限容积模拟研究[J]. 岩土工程学报, 2010, 32(3): 440－446. ZHOU Yang, ZHOU Guo-qing. Finite volume simulation for coupled moisture and heat transfer during soil freezing[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 32(3): 440－446. [6] NIXON J F. Discrete ice lens theory for frost heave in soils[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1991, 28: 843 －859. [7] 徐学祖, 王家澄, 张立新. 冻土物理学[M]. 北京: 科学出版社, 2001. [8] FAROUKI O T. Thermal properties of soils[M]. Germany: Trans. Tech. Publications, 1986. [9] 李洪升, 刘增利, 李南生. 基于冻土水分温度和外荷载相互作用的冻胀模式[J]. 大连理工大学学报, 1998, 38(1): 29－33. LI Hong-sheng, LIU Zeng-li, LI Nan-sheng. A frost heave model based on moisture temperature and applied load interaction in frozen soils[J]. Journal of Dalian University of Technology, 1998, 38(1): 29－33. [10] 周金生, 周国庆, 马巍, 等. 间歇冻结控制人工冻土冻胀的试验研究[J]. 中国矿业大学学报, 2006, 35(6): 708 －712. ZHOU Jin-sheng, ZHOU Guo-qing, MA Wei, et al. Experimental research on controlling frost heave for artificial frozen soil with intermission freezing method[J]. Journal of China University of Mining & Technology, 2006, 35(6): 708－712. [11] 谢康和, 郑辉, 李冰河, 等. 变荷载下成层地基一维非线性固结分析[J]. 浙江大学学报(工学版), 2003, 37(4): 426－431. XIE Kang-he, ZHENG Hui, LI Bing-he, et al. Analysis of one dimensional nonlinear consolidation of layered soils under time-dependent loading[J]. Journal of Zhejiang University (Engineering Science), 2003, 37(4): 426－ 431. [12] 李冰河, 谢康和, 应宏伟, 等. 初始有效应力沿深度变化的非线性一维固结半解析解[J]. 土木工程学报, 1999, 32(6): 47－52. LI Bing-he, XIE Kang-he, YING Hong-wei, et al. Semi-analytical solution of nonlinear consolidation considering the initial effective stress distribution[J]. China Civil Engineering Journal, 1999, 32(6): 47－52. [13] 李冰河, 谢康和, 应宏伟, 等. 变荷载下软黏土非线性一维固结半解析解[J]. 岩土工程学报, 1999, 21(3): 288 －293. LI Bing-he, XIE Kang-he, YING Hong-wei, et al. Semi-analytical solution of one dimensional nonlinear consolidation of soft clay under time-dependent loading[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1999, 21(3): 288－293. [14] 蓝柳和, 谢康和. 成层软黏土地基黏弹性一维固结半解析解[J]. 土木工程学报, 2003, 36(4): 105－110. LAN Liu-he, XIE Kang-he. Semi-analytical solution of one-dimensional visco-elastic consolidation for layered soft clay[J]. China Civil Engineering Journal, 2003, 36(4): 105－110. [15] SCHIFFMAN R L, STEIN J R. One-dimensional consolidation of layered systems[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, 1970, 96(4): 1499－1504

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