JOURNAL OF GLACIOLOGY AND GEOCRYOLOGY 文章编号：1000-02402009)01-0113-06 寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解 张耀2，何树生，李靖波 (1.中国科学院寒 ,甘肃兰州73000 摘要在多年冻士地区修建隧道，会影响到多年冻士的热稳定性目前一般采用在隧道衬砌中设置 隔热层的方法米防止冻土围岩酸化。根据隧道现场实测的气温资料考虑正弦曲线规律变化的对流换 热边界条件，建立了一次衬砌.隔热层、二次村砌及围岩4层结构的圆形隧道热传导方程.运用微分方 程求解方法和贝塞尔特征函数的正交和展开定理，对4个热传导方程进行了求解.得到隧道一次村现， 热层，二次衬及围岩4层结构温度场的解析解将计算结果与现场实测结果讲行比较吻合良好 计算结果环表明在村剧中铺设厚5c 导热系数为00W·m1·℃的隔热层可以保证风 道围岩不发生季节性融化。该解析解可用于验证共它数值方法的计算结果 也便于工程设计人员和施 工人员对同类寒区隧道进行温度场的计算因而具有一定的工程应用价值 关键词：寒区隧道：隔热层：解析解：温度场 中图分类号：TU445 文献标识码：A 0引言 次衬砌和围岩的热传导方程，运用微分方程的求解 方法对其进行求解，得到这4层材料的圆形寒区随 在高原多年冻土山区开挖隧道，在夏季隧道围 道温度场的解析解公式，该解析解既可用于工程估 岩会发生季带性融化。为了使族士围岩不融化， 算也可用来校核数值计算的结果 前采取的方法是在一次衬砌和二次衬砌之间加防水 1 问题的数学模型 隔热层，酵道衬彻内铺设防水隔热层以后.用岩的 温度状况如何是值得研究的问题.Lai Yuanmin 为了得到完备的解析解，首先将学道假设成圆 等应用摄动技术考虑相变推导了圆形隧道围岩 形，其次假设传递到围岩时的热量不足以使围岩爬 的冻结深度：Lai Yuanming等考虑围岩的热传 化，故没有考虑相变.隧道的计算内径为R:,保温 导和空气与围岩的对流换热，对风火山隧道进行了 层内侧半径R2,保温层外侧半径R,隧道外径为 三维数值非线性温度场分析YgtI运用摄动法 R4,围岩半径取R.计算示意图见图1 对有限厚度的正弦曲线模型、液相变固相的二维热 该问题的热传导方程为： 传导问颗讲行了析似解析解的求解：张学富云 用有限元法分析了施工对寒区隧道融化圈的影响： 上)=野 何春雄等习 建 了隧道内空气与围岩对流换热及围 R<<R j=1,234 岩传热模型，分析了隧道内空气分别为层流和紊洁 式中：T,(=1,2,3,4)分别为一次村砌、隔热层 的情况时，隧道内气温及围岩的温度。到目前为止 二次衬砌及用岩的温度：入、G(=1,2,3.4)分别为 还没有含隔热层复合衬砌的寒区隧道温度场的解析 一次衬砌、隔热层、二次衬砌及围岩的导热系数和 解.本文考虑隧道内实测气温随时间正弦变化的对 体积比热。 流换热边界条件建立隧道一次衬砌、隔热层、二 边界条件为： 国科学院知识 重庆 199-20吉托程方面的科和方等方面的教作rights reserved.p小ww,.cnki.net
文章编号 :1000-0240(2009)01-0113-06 寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解 收稿日期:2008-06-03;修订日期:2008-09-17 基金项目:中国科学院知识创新工程重要方向项目(KZC X3-SW-351);国家自然科学基金项目(40730736)资助 作者简介:张耀(1968—), 女, 重庆人, 兰州交通大学副教授, 1998 年在四川大学获硕士学位, 现为在读博士研究生, 主要从事寒区岩 土工程方面的科研和力学方面的教学工作.E-m ail:z hangyao @mail.lzjtu.cn 张 耀 1 , 2 , 何树生 1 , 李靖波 1 (1.中国科学院 寒区旱区环境与工程研究所 冻土工程国家重点实验室, 甘肃 兰州 730000; 2.兰州交通大学 土木工程学院, 甘肃 兰州 730070) 摘 要:在多年冻土地区修建隧道, 会影响到多年冻土的热稳定性, 目前一般采用在隧道衬砌中设置 隔热层的方法来防止冻土围岩融化.根据隧道现场实测的气温资料, 考虑正弦曲线规律变化的对流换 热边界条件, 建立了一次衬砌、 隔热层、 二次衬砌及围岩4 层结构的圆形隧道热传导方程.运用微分方 程求解方法和贝塞尔特征函数的正交和展开定理, 对 4 个热传导方程进行了求解, 得到隧道一次衬砌、 隔热层、 二次衬砌及围岩 4 层结构温度场的解析解, 将计算结果与现场实测结果进行比较, 吻合良好. 计算结果还表明, 在衬砌中铺设厚 5 cm 、 导热系数为 0.03 W· m -1 · ℃-1的隔热层可以保证风火山隧 道围岩不发生季节性融化.该解析解可用于验证其它数值方法的计算结果, 也便于工程设计人员和施 工人员对同类寒区隧道进行温度场的计算, 因而具有一定的工程应用价值. 关键词:寒区隧道;隔热层;解析解;温度场 中图分类号:T U445 文献标识码:A 0 引言 在高原多年冻土山区开挖隧道 , 在夏季隧道围 岩会发生季节性融化, 为了使冻土围岩不融化 , 目 前采取的方法是在一次衬砌和二次衬砌之间加防水 隔热层 .隧道衬砌内铺设防水隔热层以后, 围岩的 温度状况如何是值得研究的问题.Lai Yuanming 等[ 1] 应用摄动技术考虑相变, 推导了圆形隧道围岩 的冻结深度;Lai Yuanming 等[ 2] 考虑围岩的热传 导和空气与围岩的对流换热, 对风火山隧道进行了 三维数值非线性温度场分析 ;Yigit [ 3] 运用摄动法 对有限厚度的正弦曲线模型、 液相变固相的二维热 传导问题进行了近似解析解的求解 ;张学富等[ 4] 运 用有限元法分析了施工对寒区隧道融化圈的影响 ; 何春雄等[ 5] 建立了隧道内空气与围岩对流换热及围 岩传热模型, 分析了隧道内空气分别为层流和紊流 的情况时, 隧道内气温及围岩的温度.到目前为止 还没有含隔热层复合衬砌的寒区隧道温度场的解析 解.本文考虑隧道内实测气温随时间正弦变化的对 流换热边界条件, 建立隧道一次衬砌、 隔热层 、 二 次衬砌和围岩的热传导方程 , 运用微分方程的求解 方法对其进行求解 , 得到这 4 层材料的圆形寒区隧 道温度场的解析解公式 , 该解析解既可用于工程估 算也可用来校核数值计算的结果 . 1 问题的数学模型 为了得到完备的解析解 , 首先将隧道假设成圆 形 , 其次假设传递到围岩时的热量不足以使围岩融 化 , 故没有考虑相变 .隧道的计算内径为 R1 , 保温 层内侧半径 R 2 , 保温层外侧半径 R3 , 隧道外径为 R4 , 围岩半径取 R5 .计算示意图见图 1 . 该问题的热传导方程[ 6] 为: λj c j 1 r r (r Tj r )= Tj t Rj <r <Rj+1 j =1 , 2 , 3 , 4 (1) 式中:Tj(j =1 , 2 , 3 , 4)分别为一次衬砌、 隔热层、 二次衬砌及围岩的温度 ;λj 、cj(j =1 , 2 , 3 , 4)分别为 一次衬砌、 隔热层、 二次衬砌及围岩的导热系数和 体积比热. 边界条件为: 第 31 卷 第 1 期 2 0 0 9 年 2 月 冰 川 冻 土 JOURNAL OF GLACIOLOGY AND GEOCRYOLOGY Vo l.31 No .1 Feb.2 0 0 9
114 冻 31卷 式中：函数(r)、(r)和，D=1,2,34)分 别是下列三个子问题的解， 2.1函数中(r)的求解 函数u(r)(=1,2,34)分别是下列与原问题 有相同定义域，在=R处有一非齐次边界条件的 稳态热传导问题的解 0学)=0 Ri0 (2) =0.r=Rs (14) 1=,k安=k 对微分方程(9)进行求解将=入=入， r=R2. >0 (3) =,M=y代入结果可得： 万=为等= ++是 9n(r)=1 r=R3, t>0 (4) +nRR+是+h (15) r=R4,t>0 ⊙ Iningn ga T=T04.r=R5.>0 (6) (r)= 式中：a为空气与围岩的对流换热系数：T()为隧 +nR++h 道内的气温：T:为用岩外边界处的温度 (16) 初始条件为： T=T0. R<r<R n元+n是 a(r)= 1=0 j=1,2.3,4 +h+知+h是 式中：Ty=1,23.4)分别是一次衬砌、隔热层、 二次衬砌及围岩的初始温度. (17) 2问题的求解 p(r)= 上述数学模型是一个非齐次边界条件的非稳态 +++ 热传导问题，为了求解该问题必须对边界条件及 (18) 微分方程进行处理将其分解城下面简单的3个问 式中：入、入和分别为混凝土、隔热层和围岩的 题，前两个问题易于求解.后一个问题的求解要复 导热系数， 杂一些，需要用到计算机数值分析来辅助求解。 具 2.2函数(r)的求解 体形式如下： 函数9(r)=1,23,4)分别是下列与原问题 T;(r.1)=(r)T(1)+(r)To+(r.t) 有相同定义域，在=R处有一非齐次边界条件的 B不t下R出fa Aca0 Joua e3348 blish稳态热传导问腰的解：-served.hitp小www.cnki.net
图 1 寒区含隔热层圆形隧道 Fig .1 C ross-section of a cir cular tunnel in cold r egio n with an insulatio n layer λ1 T1 r +α(T1 -T(t))=0 r =R1 , t >0 (2) T1 =T2 , λ1 T1 r =λ2 T2 r r =R2 , t >0 (3) T2 =T3 , λ2 T2 r =λ3 T3 r r =R3 , t >0 (4) T3 =T4 , λ3 T3 r =λ4 T4 r r =R4 , t >0 (5) T4 =T04 , r =R5 , t >0 (6) 式中 :α为空气与围岩的对流换热系数;T(t)为隧 道内的气温;T04 为围岩外边界处的温度. 初始条件为 : Tj =T0 j , R j 0 j =1 , 2 , 3 , 4 (8) 式中:函数 j(r)、φj(r)和 θj(r , t)(j =1 , 2 , 3 , 4)分 别是下列三个子问题的解. 2 .1 函数 j(r)的求解 函数 j(r)(j =1 , 2 , 3 , 4)分别是下列与原问题 有相同定义域 , 在 r =R1 处有一非齐次边界条件的 稳态热传导问题的解: λj cj 1 r r (r j r )=0 Rj <r <Rj+1 j =1 , 2 , 3 , 4 (9) 具有边界条件 : λj 1 r +α( 1 -1)=0 , r =R1 (10) 1 = 2 , λ1 1 r =λ2 2 r , r =R 2(11) 2 = 3 , λ2 2 r =λ3 3 r , r =R 3(12) 3 = 4 , λ3 3 r =λ4 4 r , r =R 4(13) 4 =0 , r =R5 (14) 对微分方程(9)进行求解, 将 λ1 =λ3 =λc , λ2 =λi , λ4 =λf 代入结果可得 : 1(r)= ln R3 r R 2R4 + λc λi ln R2 R3 + λc λf ln R4 R5 λc αR 1 +ln R 1R3 R 2R4 + λc λi ln R2 R3 + λc λf ln R4 R5 (15) 2(r)= ln R3 R4 +λc λi ln r R 3 +λc λf ln R 4 R 5 λc αR 1 +ln R 1R3 R 2R4 + λc λi ln R2 R3 + λc λf ln R4 R5 (16) 3(r)= ln r R 4 + λc λf ln R4 R5 λc αR 1 +ln R 1R3 R 2R4 +λc λi ln R2 R3 +λc λf ln R4 R5 (17) 4(r)= λc λf ln r R 5 λc αR 1 +ln R 1R3 R 2R4 + λc λi ln R2 R3 + λc λf ln R4 R5 (18) 式中:λc 、 λi 和 λf 分别为混凝土、 隔热层和围岩的 导热系数. 2 .2 函数 φj(r)的求解 函数 φj(r)(j =1 , 2 , 3 , 4)分别是下列与原问题 有相同定义域 , 在 r =R5 处有一非齐次边界条件的 稳态热传导问题的解: 114 冰 川 冻 土 31 卷
1期 张耀等寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解 15 上)=0 Ri0 (32 有下面边界条件： 6=a, 为= 学+1=0 r=R120) r=R4, t>0 (33) 04=0r=R5,>0 (34) 91=9。 及初始条件： 9=9, r=R322) R0 (37) (r) ,+ 9+=0 一+h-n+ j=1,23.4 (38 25) 将式(36)代入边界条件式(30)~(34，可得： r=R1(39) (r) ,r=R2(40) R4 (26) r=R(41) 9(r)= r=R4(42) +h-h是+n是 =0, r=Rs (43 27) 下标n为有无穷多个不连续的特征值B030) 式中：。为常系数，累加号是对上面所有的特征值 A=,太孕=翠 求和. 由于方程式(38)是贝赛尔微分方程它的特征 1994-2014ChiS元R:mElectron3bish函数身应满足下列E交关系式ip小www..cnki.net
λj cj 1 r r (r φj r )=0 R j 0 (30) θ1 =θ2 , λ1 θ1 r =λ2 θ2 r r =R 2 , t >0 (31) θ2 =θ3 , λ2 θ2 r =λ3 θ3 r r =R3 , t >0 (32) θ3 =θ4 , λ3 θ3 r =λ4 θ4 r r =R4 , t >0 (33) θ4 =0 , r =R5 , t >0 (34) 及初始条件 : θj =T0j Rj 0 (37) 1 r · d dr r dψjn dr + cj λj β 2 nψjn =0 R j <r <R j+1 j =1 , 2 , 3 , 4 (38) 将式(36)代入边界条件式(30)～ (34), 可得: λ1 ψ1n r +αψ1n =0 , r =R1 (39) ψ1n =ψ2n , λ1 ψ1n r =λ2 ψ2n r , r =R2 (40) ψ2n =ψ3n , λ2 ψ2n r =λ3 ψ3n r , r =R3 (41) ψ3n =ψ4n , λ3 ψ3n r =λ4 ψ4n r , r =R4 (42) ψ4n =0 , r =R5 (43) 下标 n 为有无穷多个不连续的特征值β1 <β2 < …<βn <…和相应的特征函数 ψjn . 方程式(37)的时间变量函数 Γ(t)的解为: Γ(t)=e -β 2 n t (44) 方程式(38)是贝赛尔微分方程, 一般解为 : ψjn(r)=A jn J 0 H jn r +B jnY 0 Hjn r j =1 , 2 , 3 , 4 (45) 式中 :Ajn , Bjn为常系数;J 0 Hjn r 和Y 0 Hjnr 为 贝塞尔函数 ;Hjn = cj λj βn , j =1 , 2 , 3 , 4 . 将式(44)和式(45)代入式(36)得 : θj(r, t)= ∑ ∞ n =1 cne -β 2 n tψjn(r) j =1 , 2 , 3 , 4 (46) 式中:cn 为常系数 , 累加号是对上面所有的特征值 βn 求和. 由于方程式(38)是贝赛尔微分方程, 它的特征 函数 ψjn 应满足下列正交关系式 : 1 期 张 耀等:寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解 115
116 冰 31卷 r)r= 0n≠m ℃.根据实测气温资料（由中铁西南科学研究院提 Nn=m 供，2004年隧道DK19十046断面的气温边界条 (47) 件为： 式中：范数N定义为： ru =-4.46+8.56m3高0-(51) (48) 式中：1为时间h) 将式(46)代入初始条件(35)得到 将以上参数代入式(15)~(18)计算，可得： p1(r)=1.977-0.764lnw (52) j=1,23.449) pn(r)=48.773-34.521·nr (53 利用下面的算子： 9,3(r)=1.558-0.764·1nw (54 (r)dr i=1.2.3.4 ,(r)=1268-0.567·1n (55 将以上参数代入式(25)-(28)计算 可得 分别对式(49)的两边进行运算，然后相加得： (r)=-0.977+0.764·1nr (56 及rTa(dr 9(r)=-47.773+34.521·1 (57 9(r)=-0.558+0.764ln (58 9(r)=-0.268+0.567·1nr (59 根据正交关系式(47)，于是系数。为： 最后可求得二次衬砌、隔热层、一次衬砌和围 岩温度的解析解公式为： c= (50 r=(1.977-0.764l-4.46+ 式(45)中的8个系数可由边界条件式(39)~ (43哈出的8个线性齐次方程来求解，这些系数可 -2·-0.977+0.764lmr)+ 由其中一个系数（不为零的数）或系数再乘以任意一 1.150e.18401Jo(0.162r)+2.761Yo(0.162r 个常数来表示.结果很复杂，这里不再罗列. 3.5≤r4.0 (60 为了求得特征值B需要一个附加关系式即 T3(r.t)=(48.773-34.521lnw)-4.46十 要使8个边界齐次方程有非零解，只有系数行列式 为零，由这个条件可得到确定特征值的超越方 86--2.3+4.2w计 程求解超越方程可得B值. 1.150e 将以上3个间题的答代入式(8)就可以得 1n119.617J6(0.186r)+ 141.230Wa(0.186r月 到二次衬砌、隔热层 一次衬砌和围岩温度的解析 4.0≤r≤4.05 (61) 万=a.558-0.764)-4.46 3计算结果与分析 -2·(-0.558+0.764r)+ 以青藏铁路线风火山隧道为例，隧道的计算内 856si7品- 径为35m,复合衬砌中二次衬砌厚Q5m,隔热 1.150e510[-1.465J(0.162r)+ 层厚005m, 次衬厚03m.钢筋混凝土的日 2.65m0(0.162r月 热为2465X10J·m3·℃-，导热系数为1355 4.05r4.35 (62) W·m1·℃，隔热层材料为聚氨酯泡沫比热 7(t)=(1.268-0.5671r-4.46+ 为0072×10J·m3·℃，导热系数为003W ·C':隧道DKs9十046断面围岩的导热 8.56sim870- 2 -2·-0.268+0.5671nr)+ m 系数1825W·m1·℃，围岩的比热为1617 i.150-.11o[-0.771Jo(0.113r)+ ×10Jm ·℃，空气与隧道的对流换热系数 2.315Yo(0.113r月 a=150W·m2.℃ 二次衬砌的初始温度T1 4.35≤r9.35 (63) =10℃，隔热层的初始温度T㎡=8℃一次衬砌 计算时间取酵道建成后的第1年.即2004年 的初始温度T巴=5围岩的初始温度T三一s代入二次衬砌，隔热层次衬砌和圃岩的温度解
∑ 4 j =1∫ R j+1 R j rψjn(r)·ψjm(r)dr = 0 n ≠m Nn n =m (47) 式中 :范数 Nn 定义为 : Nn = ∑ 4 j =1∫ Rj+1 R j r ψ2 jn(r)dr (48) 将式(46)代入初始条件(35)得到: T0j = ∑ ∞ n =1 cnψjn(r) j =1 , 2 , 3 , 4 (49) 利用下面的算子 : ∫ R j+1 R j rψjm(r)dr j =1 , 2 , 3 , 4 分别对式(49)的两边进行运算 , 然后相加得 : ∑ 4 j =1∫ R j+1 R j r T0 jψjm(r)dr = ∑ ∞ n =1 cn ∑ 4 j =1∫ R j+1 R j rψjn(r)ψjm(r)dr 根据正交关系式(47), 于是系数 cn 为 : cn = 1 Nn ∑ 4 j=1∫ R j+1 R j rT 0jψjn(r)dr (50) 式(45)中的 8 个系数可由边界条件式(39)～ (43)给出的 8 个线性齐次方程来求解 , 这些系数可 由其中一个系数(不为零的数)或系数再乘以任意一 个常数来表示.结果很复杂 , 这里不再罗列. 为了求得特征值 βn 需要一个附加关系式, 即 要使 8 个边界齐次方程有非零解 , 只有系数行列式 为零 .由这个条件可得到确定特征值 βn 的超越方 程, 求解超越方程可得 βn 值 . 将以上 3 个问题的解答代入式(8), 就可以得 到二次衬砌 、 隔热层、 一次衬砌和围岩温度的解析 解. 3 计算结果与分析 以青藏铁路线风火山隧道为例 , 隧道的计算内 径为 3.5 m , 复合衬砌中二次衬砌厚 0.5 m , 隔热 层厚 0.05 m , 一次衬砌厚 0.3 m .钢筋混凝土的比 热为 2.465 ×10 6 J ·m -3 · ℃ -1 , 导热系数为 1.355 W ·m -1 · ℃-1 ;隔热层材料为聚氨酯泡沫, 比热 为0.072 ×10 6 J · m -3 · ℃-1 , 导热系数为 0.03 W ·m -1 · ℃ -1 ;隧道 DK1159 +046 断面围岩的导热 系数 1.825 W · m -1 · ℃ -1 , 围岩的比热为 1.617 ×10 6 J ·m -3 · ℃-1 ;空气与隧道的对流换热系数 α=15.0 W · m -2 · ℃-1 .二次衬砌的初始温度 T01 =10 ℃, 隔热层的初始温度 T02 =8 ℃, 一次衬砌 的初始温度 T03 =5 ℃, 围岩的初始温度 T04 =-2 ℃.根据实测气温资料(由中铁西南科学研究院提 供), 2004 年隧道 DK1159 +046 断面的气温边界条 件为: T(t)=-4 .46 +8 .56sin 2π 8760 t -π 2 (51) 式中:t 为时间(h). 将以上参数代入式(15)～ (18)计算, 可得 : 1(r)=1 .977 -0 .764 · lnr (52) 2(r)=48 .773 -34 .521 · lnr (53) 3(r)=1 .558 -0 .764 · lnr (54) 4(r)=1 .268 -0 .567 · lnr (55) 将以上参数代入式(25)～ (28)计算, 可得 : φ1(r)=-0 .977 +0 .764 ·lnr (56) φ2(r)=-47 .773 +34 .521 ·lnr (57) φ3(r)=-0 .558 +0 .764 ·lnr (58) φ4(r)=-0 .268 +0 .567 ·lnr (59) 最后可求得二次衬砌、 隔热层、 一次衬砌和围 岩温度的解析解公式为 : T1(r, t)=(1 .977 -0 .764lnr) -4 .46 + 8 .56sin 2π 8760 t -π 2 -2 ·(-0 .977 +0 .764lnr)+ 1 .150 e -5 .184×10 -5 t [ J 0(0 .162r)+2 .761Y0(0 .162r)] 3 .5 ≤r ≤4 .0 (60) T2(r, t)=(48 .773 -34 .521lnr) -4 .46 + 8 .56sin 2π 8760 t -π 2 -2 ·(-47 .773 +34 .521lnr)+ 1 .150 e -5 .184 ×10-5 t [ 19 .617 J 0(0 .186r)+ 141 .230Y 0(0 .186r)] 4.0 ≤r ≤4 .05 (61) T3(r, t)=(1 .558 -0 .764lnr) -4 .46 + 8 .56sin 2π 8760 t -π 2 -2 ·(-0 .558 +0 .764lnr)+ 1 .150 e -5 .184×10 -5 t [ -1 .465J 0(0 .162r)+ 2 .659Y 0(0 .162r)] 4 .05 ≤r ≤4 .35 (62) T4(r, t)=(1 .268 -0 .567lnr) -4 .46 + 8 .56sin 2π 8760 t -π 2 -2 ·(-0 .268 +0 .567lnr)+ 1 .150e -5 .184×10-5 t [ -0 .771J 0(0 .113r)+ 2 .315Y 0(0 .113r)] 4 .35 ≤r ≤9 .35 (63) 计算时间取隧道建成后的第 1 年 , 即 2004 年, 代入二次衬砌 、 隔热层、 一次衬砌和围岩的温度解 116 冰 川 冻 土 31 卷
1期 张耀等寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解 117 析解公式(60)一(63)进行计算，可得到温度随时间 见隔热层起到了预先构想的作用，能保证多年冻土 或半径的分布值，如图2,3所示 围岩不发生季节性融化 6 -10 4上车68 主湖湖主湖 14 234寸6方8902明 5 90 图22004年村南和围岩的温度解析解随时间分布图 Fig.2 Analytical lining and adjacent rock temperatures 图 2004年村和围岩 实测值沿半径的分布图 changing with time in 2004 Fig.5 Isitu ob (2)对图2和图4进行对比分析，发现温度曲 线的变化趋势是相似的。都近似正弦曲线的规律 解析解公式计算的结果与实测结果很接近，说明推 湖湖湖三湖 导的温度场解析解公式可用于计算寒区有隔执层粥 道及附近围岩的温度场 4结语 图32004年村砌和闹岩的温度解析解沿半径分布图 (1)为了得到完备的解析解采用了圆形截面 Fig.3 Analytical lining rock temperature 的假设这与实际断面是有一定差距的，因而解析 changing ith radius in 解的结果与实测值会有一定的差别 根据游道DK1s9+046斯面在2004年的实测 (2)假设隔热层起到了隔热的效果，围岩维持 地温资料（由中铁西南科学研究院提供），可以做出 原来的热状态另外也是为了得到完备的解析解 实测地温的温度分布图（图45）： 所以在公式推导过程中没有考虑相变.本文的例子 正好符合这种情况，所以解析解计算值与实测值吻 合较好 (3)推导的解析解可用于验证寒区有隔热层隧 道的数值方法计算结果，也便于工程设计人员和施 工人员对同类寒区隧道进行温度场的计算，因而具 73 -835m—-9351 14 2345678910112月 有一定的工程应用价值， 图42004年村砌和岩的温度实测值随时间的分布图 参考文献(References) dadjacent rock 对图3与图5、图2与图4进行对比分析可得 341)43-49. 到以下两点结论 Lai Yuanming.Zhang Xuefu.Yu Wenbing.etal.Thre-di )对图3和图5进行对比分析，发现半径4 m ensional时ar analysis for the e电下d problem of th m至405m处，二者的温度曲线都发生了剧烈变 eat trander of bck and the 化这是因为在这里铺设了厚度为005m、导热系 数为003W·m1·℃的隔热层，正是隔热层的 20(4),323-332. 作用才使得曲线发生了突变.还可以看出，二者的 hea h phase-cha 温度典线东过隔热层以后都降到利影度以可blishing小e
析解公式(60)～ (63)进行计算 , 可得到温度随时间 或半径的分布值 , 如图 2 , 3 所示 . 根据隧道 DK1159 +046 断面在 2004 年的实测 地温资料(由中铁西南科学研究院提供), 可以做出 实测地温的温度分布图(图 4 , 5): 图 4 2004 年衬砌和围岩的温度实测值随时间的分布图 Fig.4 In-situ observed lining and adjacent rock tempera ture s chang ing w ith time in 2004 对图 3 与图 5 、 图 2 与图 4 进行对比分析可得 到以下两点结论 : (1)对图 3 和图 5 进行对比分析, 发现半径 4 m 至4.05 m处 , 二者的温度曲线都发生了剧烈变 化, 这是因为在这里铺设了厚度为 0.05 m 、 导热系 数为 0.03 W · m -1 · ℃-1的隔热层, 正是隔热层的 作用才使得曲线发生了突变.还可以看出, 二者的 温度曲线在经过隔热层以后都降到了零度以下 , 可 见隔热层起到了预先构想的作用, 能保证多年冻土 围岩不发生季节性融化 . 图 5 2004 年衬砌和围岩的温度实测值沿半径的分布图 Fig .5 In-situ o bser ved lining and adjacent ro ck temper atures changing with radius in 2004 (2)对图 2 和图 4 进行对比分析 , 发现温度曲 线的变化趋势是相似的 , 都近似正弦曲线的规律. 解析解公式计算的结果与实测结果很接近 , 说明推 导的温度场解析解公式可用于计算寒区有隔热层隧 道及附近围岩的温度场 . 4 结语 (1)为了得到完备的解析解, 采用了圆形截面 的假设, 这与实际断面是有一定差距的 , 因而解析 解的结果与实测值会有一定的差别. (2)假设隔热层起到了隔热的效果 , 围岩维持 原来的热状态;另外也是为了得到完备的解析解, 所以在公式推导过程中没有考虑相变.本文的例子 正好符合这种情况 , 所以解析解计算值与实测值吻 合较好 . (3)推导的解析解可用于验证寒区有隔热层隧 道的数值方法计算结果 , 也便于工程设计人员和施 工人员对同类寒区隧道进行温度场的计算 , 因而具 有一定的工程应用价值 . 参考文献(References): [ 1] Lai Yuan ming , Liu S ongy u , Wu Ziw ang , et a l .App roxim at e analytical solution f or t emperatu re fields in cold regions circul ar tunnels[ J] .Cold Regions S cience and T ech nology , 2002 , 34(1):43-49. [ 2] Lai Yuan ming , Zhang Xu efu , Yu Wenbing , et a l .T hree-dim ensi onal n on linear analysis for the cou pled problem of the heat transf er of the surroundin g rock and the heat convecti on betw een th e air and the su rrounding rock in cold-region tu nnel [ J] .T unnelling and Underg rou nd Space Techn ology , 2005 , 20(4):323-332. [ 3] Yigit F .App roxim at e analy tical solu tion of a tw o-dim en si onal heat condu cti on problem with phase-chan ge on a sinu soidal mold[ J] .Applied T herm al Engineering , 2008 , 28(10):1196 1 期 张 耀等:寒区有隔热层的圆形隧道温度场解析解 117
118 冰 冻 31卷 -1205dd:10.1016i.applthermal eng.2007.08.001 Tun nel in the Oilian MountainsI J.Journal of Glaciology an 14 Zhang Xuefis Su Xinmin 20m22(2):113120.【何春排，吴紫旺 f permaf 连山区大板山隧道围岩的脸状况分析刀冰川诗 and C 200325(6.62 -621.[张学富.苏新 I6] on I M1.Translated by Y 等。昆仑山多年冻土道施工温度影响分析 Changming.Beijing:Higher Edu e 1984.【奥齐西 00325(6: 7 克MN,热传俞昌铭译。北京：高等教有出版社 ing rock wall of the Dabanshan Analytic Solutions for the Temperature Fields of a Circular Tunnel with Insulation Layer in Cold Region ZHANG Yao"2 HE Shu-sheng', LI Jing-bo' (1-Smae Key Lab Gansu 730 Abstract:The thermodynamic stability of pern alytic solutions of the first lining the insulation frost will be enced when a tunnel built into th layer,the second lining and the surroun ing rock permafrost.In order to keep the surrounding rock of tunnel are obtained.Compared the calculation of tunel from thawing.the usual measure is to results of the analytic solutions with the in-situ ob place an insulation laver between the linings.A c served data.it is found that the calculated one is cording to the in-situ observed air temperatures of very close to the observed one.The results alse the tunnel,taking sulation m aterial,w hose com boundary into aco ount the the in of 2 tion co ent is 0 03 W.m-.C and width with sinusoid 80 s 5 cm was applied the Fengh oshan tunnel the rock surrounding the tunnel will not occur sea layer,the second lining and the surrounding rock sonal thaw.The analytical solutions can be used of tunnel are established.U sing the solution of dif both to verfv the numerical method results,and to erential equation and the orthogonal and expan calculate the temperature field of a cold region tun- sion theorem of Bessel eigenfunction.the four dif- nel with an insulation layer,so they are very useful ferential equations are solved.The temperature an for engineers and technicians Key words:tunnel in cold regions:insulation layer:analytic solution:temperature field ?1994-2014 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.ne
-1205 , d oi:10.1016/ j.applthermal eng .2007.08.001. [ 4] Zhang Xuefu , Su Xin min , Lai Yu anming , et al .Analyzing the effect of tunneling on t emperatu re of permafrost in th e Kunlun M ount ain s, Tibetan Pl at eau [ J] .J ou rnal of Glaciology and Geocryology , 2003 , 25(6):621-627.[ 张学富, 苏新 民, 赖远明, 等.昆仑山多年冻土隧道施工温度影响分析 [ J] .冰川冻土, 2003 , 25(6):621-627.] [ 5] H e Chun xi ong , Wu Ziwang , Zhu Linlan.Analysis of freezethaw condition in the su rrounding rock wall of the Dabanshan Tun nel in the Qilian Mount ains[ J] .Journal of Glaciology and Geocryology , 2000 , 22(2):113-120.[ 何春雄, 吴紫旺, 朱 林楠.祁连山区大坂山隧道围岩的冻融状况分析[ J] .冰川冻 土, 2000 , 22(2):113-120.] [ 6] zisik M N .H eat Conduction [ M] .T ran slated by Yu C hangming .Beijing :H igher Edu cation Press, 1984.[ 奥齐西 克 M N .热传导[ M] .俞昌铭译.北京:高等教育出版社, 1984.] Analytic Solutions for the Temperature Fields of a Circular Tunnel with Insulation Layer in Cold Region ZHANG Yao 1 , 2 , HE Shu-sheng 1 , LI Jing-bo 1 (1 .S tat e Key Laborator y o f F rozen S oil Eng ineering , CARE ER I , CA S , Lanz hou Gansu 730000 , China; 2 .S choo l o f Civil En gineering , Lanz hou J iaotong University , Lanz hou Gansu 730070 , Ch ina) Abstract:The thermody namic stability of permafro st will be influenced w hen a tunnel built into the permafrost .In o rder to keep the surrounding rock of tunnel from thawing , the usual measure is to place an insulatio n layer between the lining s .A ccording to the in-situ observed air temperatures o f the tunnel , taking into acco unt the convectio n bo undary condition of air temperatures changed with sinusoid , the go verning differential equations of hea t co nductio n of the first lining , the insulatio n lay er , the second lining and the surro unding rock of tunnel are established .U sing the so lution of differential equatio n and the o rthog onal and expansion theo rem of Bessel eig enfunction , the four differential equa tions are solved .The temperature analytic so lutions of the first lining , the insulation layer , the seco nd lining and the surrounding ro ck of tunnel are obtained .Compared the calculation results of the analy tic solutio ns with the in-situ observed data , it is found that the calculated o ne is very clo se to the observed one .The results also show , suppo se the insulatio n material , w hose conduction coefficient is 0.03 W m -1 ℃-1 and w idth is 5 cm , w as applied to the Fenghuoshan tunnel, the rock surrounding the tunnel w ill no t o ccur seaso nal thaw .The analytical solutions can be used both to verify the numerical method results , and to calculate the temperature field o f a cold region tunnel w ith an insulation lay er , so they are ve ry useful for engineers and technicians . Key words:tunnel in co ld regions ;insulation layer ;analy tic solution ;temperature field 118 冰 川 冻 土 31 卷
