年62用 Vol.30 No.2 1um.2013 文章编号：1673-9469(2013)02-0004-05 dai:10.3969/i.issn.1673-9469.2013.02.002 边界不同恒温时功能梯度板平面稳态温度场 许杨健'，王飞'，杜海洋2，任鹏飞 (1.河北工程大学土木工程学院，河北邯郸056038：2.哈尔滨工业大学航天学院，黑龙江哈尔滨150001) 摘要：假设热导沿功能梯度板高呈指数画形式分布，基于该板的平面稳态热传导基本方程 用分高变量法，导出边界不同恒温时板的平面 态温度场的纸数解析解， 与有限元解对比 ,两 种方法的最大节点湿度误差0.86%。通过数值计算，获得了孩板的平面稳态温度场分布，研究 了板的稀度参数和几何组成对温度场的影响。主要结采表明：板内的温度场分布对称于过形心 的V轴：随着梯度参数值的增加，板内的高温区向左右两边界和下边界逐步扩展：随着板高的递 减，板内中下部的温度分布趋于平绽。因此，可选择造合的梯度参数和几何组成来满足设计、应 用和热应力分析的需要，所获得的解析解可作为检验其他近似方法的参考标准 关键词：功能梯度板；平面稳态温度场：分离变量法：边界恤温；梯度参数：几何组成 中图分类号：TB330.1:TK124 文献标识码：A Plane steady temperature fields in a FGM plate subjected to boundary different constant temperatures XU Yang jian'.WANG Fei',DU Hai-yang'2,REN Peng -fei' (1.College of Civil Engineering,Hebei University of Engin ering.Hebei Handan 056038,China 2.Scbool of Austmonautics.Harbin Institute of Technology,Heilongjiang Harbin 150001,China) Abstract:The heat conductivity in the FGM plate was expressed by exponential function along the height direction of the plate,based on the plane steady heat conduction basic equation of the plate, the series analytical solution of the plane steady temperature fields of in the plate subjected to the dif- ferent constant temperature of boundary was derive FEM,the maximum nod as 0.8%.Through the numerical cal culations,the plane steady temperature field distributions in the plate were obtained,and the effects of material gradient parameters and the geometric composition of the plate on the temperature fields were studied.The main results show as follows:(1)The tem rature field distribution in the plate is of gradient pa high temperature one in the plate is extended to the wo sides and ower side of plate.(3) ）With the decreasing of the plate height,central lower temperature distribution in the plate tends gently.Thus, the suitable selection of gradient parameter and geometric composition can meet the need of the de- sign,application and analysis of the thermal stress,and the analytical solution obtained can be used a refe for othe r a Key words:FGM plate:2D steady temperature fields:variable separation method;boundary different constant te▣perature；gradient parameters；geometric.composition 由于功能梯度材料（简称FGM)在航空、航天 泛-边，分析该材料组成物体的热传导问题十分 以及核反应堆等超高温工作环境中的应用日益广 重要。赵军等用分离变量法推导了FGM无限 收稿日期：2012-12-13
第 30 卷 第 2 期 河 北 工 程 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) Vol． 30 No． 2 2013 年 6 月 Journal of Hebei University of Engineering ( Natural Science Edition) Jun． 2013 收稿日期: 2012 － 12 － 13 基金项目: 河北省自然科学基金资助项目( E2010001007，E2011402033) 特约专稿 作者简介: 许杨健( 1956 － ) ，男，四川富顺人，教授，从事新型材料及结构的热机载性能方面的研究。 文章编号: 1673 － 9469( 2013) 02 － 0004 － 05 doi: 10． 3969 /j． issn． 1673 － 9469． 2013． 02． 002 边界不同恒温时功能梯度板平面稳态温度场 许杨健1 ，王 飞1 ，杜海洋1，2 ，任鹏飞1 ( 1． 河北工程大学 土木工程学院，河北 邯郸 056038; 2． 哈尔滨工业大学 航天学院，黑龙江 哈尔滨 150001) 摘要: 假设热导率沿功能梯度板高呈指数函数形式分布，基于该板的平面稳态热传导基本方程， 用分离变量法，导出边界不同恒温时该板的平面稳态温度场的级数解析解，与有限元解对比，两 种方法的最大节点温度误差 0． 86% 。通过数值计算，获得了该板的平面稳态温度场分布，研究 了板的梯度参数和几何组成对温度场的影响。主要结果表明: 板内的温度场分布对称于过形心 的 y 轴; 随着梯度参数值的增加，板内的高温区向左右两边界和下边界逐步扩展; 随着板高的递 减，板内中下部的温度分布趋于平缓。因此，可选择适合的梯度参数和几何组成来满足设计、应 用和热应力分析的需要，所获得的解析解可作为检验其他近似方法的参考标准。 关键词: 功能梯度板; 平面稳态温度场; 分离变量法; 边界恒温; 梯度参数; 几何组成 中图分类号: TB330． 1; TK124 文献标识码: A Plane steady temperature fields in a FGM plate subjected to boundary different constant temperatures XU Yang － jian1 ，WANG Fei 1 ，DU Hai － yang 1，2 ，ＲEN Peng － fei 1 ( 1． College of Civil Engineering，Hebei University of Engineering，Hebei Handan 056038，China; 2． School of Austronautics，Harbin Institute of Technology，Heilongjiang Harbin 150001，China) Abstract: The heat conductivity in the FGM plate was expressed by exponential function along the height direction of the plate，based on the plane steady heat conduction basic equation of the plate， the series analytical solution of the plane steady temperature fields of in the plate subjected to the different constant temperature of boundary was derived by variable separation method． Compared with FEM，the maximum node temperature error of two methods was 0． 86% ． Through the numerical calculations，the plane steady temperature field distributions in the plate were obtained，and the effects of material gradient parameters and the geometric composition of the plate on the temperature fields were studied． The main results show as follows: ( 1) The temperature field distribution in the plate is symmetrical to the axis y through the centroid． ( 2) With the increase of gradient parameter value，the high temperature zone in the plate is extended to the two sides and lower side of plate． ( 3) With the decreasing of the plate height，central lower temperature distribution in the plate tends gently． Thus， the suitable selection of gradient parameter and geometric composition can meet the need of the design，application and analysis of the thermal stress，and the analytical solution obtained can be used as a reference standard for other approximate methods． Key words: FGM plate; 2D steady temperature fields; variable separation method; boundary different constant temperature; gradient parameters; geometric composition 由于功能梯度材料( 简称 FGM) 在航空、航天 以及核反应堆等超高温工作环境中的应用日益广 泛［1 － 2］，分析该材料组成物体的热传导问题十分 重要。赵军等［3］用分离变量法推导了 FGM 无限
第2期 许杨健等：边界不同恒温时功能梯度板平面稳态温度场 5 大平板、圆筒和圆球的一维瞬态热传导解析解：陈 式中：k(y)-材料的热导率：T(x,Y)-FGM板的 建桥等四用无网格局部彼得罗夫-伽辽金 温度。 (PG)方法研究了变物性FGM的三维瞬态热传 假设材料的热导率沿板高呈指数函数形式分 导问题：张雁等用有限差分法研究了CC/ A,O,FCM板在第 类热边界作用下的解态温度 k(y)=De (2 场分布。许杨健等 一用有限元法和有限差分法 式中：D为y=0处的热导率：d为y方向的梯度参 研究了FGM板在第一类和第三类热边界作用下 。为使边界第件齐次化，今 的常物性和变物性瞬态热传导问题。刘五祥等网 T(x,） +W( :y (3) 用分离变量法结合贝塞尔函数特性，推导了轴对 则W(0,y）=0,w(a,y)=0 (4 称 维 稳态热传导问题的精确解。 W(x,0)=0,W(x,b)=U-4。 (5) 式中：W(x,v)-横是热传导方程的函数 结构的二维稳态热传导问题，该方法通过空间坐标 的离散，将二维热传导偏微分方程降解为一系列 2解析法求解温度场 维常微分方程的求解问题。Jin Zhihe四等研究了 有限冷却/加热率下FCM板热传导问题的渐近解 2.1分离函数 eiMH等研究了FGM圆 的双曲型热 将式(2)和(3)代入式(1)，FGM板的热传导 问题。Golbahar Haghighi M R等 研究了多层 微分方程可变化为 FGNM圆筒的瞬态热传导逆问题。Malekzadeh P 等回用有限元和微分求积法研究了内表面上承受 dW（x,卫+W(x,卫+子W(x,卫=0(6） 功界移动分布热流的FCM圆篇的瞬态传热问颗 本文采用分离变量法推导FGM板的平面稳态热传 采用分离变量法，将函数W(x,y)分离为x,y 方向函数乘积形式，即 导的级数解析解，并研究梯度参数和几何组成对礼 W(x,y）=X(x)xY(y) (7) 度场的影响，以期可通过选择适合的梯度参数来满 将式(7)代入式(6)，可得 足设计，应用和热应力分析的需要。 (dY+Y)Y=-X“/X=A 1研究模型与描述 式中：X,Y·-相应函数的一阶导数：X”,Y“- 相应函数的二阶导数，入为分离常数。式(8)左边 拟推导图1所示℉CM板在边界不同恒温时 为y的函数，右边为x的函数，如果两边相等，则应 的平面稳态温度场的解析解。 等于λ 假设：(1)沿板高的材料性质连续分布：(2) 将式(8)分离成两项函数，并给出相应边界条 板的上边界为恒温UK,其余边界均为恒温uK 件，得 (3)板内无热源，板的几何尺寸与坐标选择见图 X”+X=0 (9a 1。a,b分别为板的宽和高。 x(o) =0,X(a)=0 ”+dY·-λY=0 (10a y(0)=0,Y(b)=U-4o (10b) 2.2函数X(x)的求解 式(9a)的特征方程为 r+入=0 (11） 当A>0时，式(9a)的解为 图1边界不同恒温时的功能梯度板 Fig.1 FGM plate of boundary with different X(x)=C,cosx+C,in√ (12 式中：C,C:-两个任意参数，把式(9b)代入式 该板的二维稳态平面热传导微分方程为 (12),若式(12)有解，得 黑+4梁）=0 C,=0 A=m221a2,(n=12,3,…)
第 2 期 许杨健等: 边界不同恒温时功能梯度板平面稳态温度场 5 大平板、圆筒和圆球的一维瞬态热传导解析解; 陈 建桥 等［4］ 用无网格局部彼得罗夫 － 伽 辽 金 ( MLPG) 方法研究了变物性 FGM 的三维瞬态热传 导问 题; 张 雁 等［5］ 用有限差分法研 究 了 C /C / Al2O3 FGM 板在第二类热边界作用下的瞬态温度 场分布。许杨健等［6 － 7］用有限元法和有限差分法 研究了 FGM 板在第一类和第三类热边界作用下 的常物性和变物性瞬态热传导问题。刘五祥等［8］ 用分离变量法结合贝塞尔函数特性，推导了轴对 称 FGM 圆板二维稳态热传导问题的精确解。蓝 林华［9］等人用分层精细指数法研究了常物性 FGM 结构的二维稳态热传导问题，该方法通过空间坐标 的离散，将二维热传导偏微分方程降解为一系列一 维常微分方程的求解问题。Jin Zhihe ［10］等研究了 有限冷却/加热率下 FGM 板热传导问题的渐近解。 Babaei M H 等［11］研究了 FGM 圆筒的双曲型热传导 问题。Golbahar Haghighi M Ｒ 等［12］ 研 究 了 多 层 FGM 圆筒的瞬态热传导逆问题。Malekzadeh P 等［13］用有限元和微分求积法研究了内表面上承受 边界移动分布热流的 FGM 圆筒的瞬态传热问题。 本文采用分离变量法推导 FGM 板的平面稳态热传 导的级数解析解，并研究梯度参数和几何组成对温 度场的影响，以期可通过选择适合的梯度参数来满 足设计、应用和热应力分析的需要。 1 研究模型与描述 拟推导图 1 所示 FGM 板在边界不同恒温时 的平面稳态温度场的解析解。 假设: ( 1) 沿板高的材料性质连续分布; ( 2) 板的上边界为恒温 UK，其余边界均为恒温 uoK; ( 3) 板内无热源，板的几何尺寸与坐标选择见图 1。a，b 分别为板的宽和高。 该板的二维稳态平面热传导微分方程为 x k( y) T ( ) x + y k( y) T ( ) y = 0 ( 1) 式中: k( y) － 材料的热导率; T( x，y) － FGM 板的 温度。 假设材料的热导率沿板高呈指数函数形式分 布，即［14 － 15］ k( y) = De dy ( 2) 式中: D 为 y = 0 处的热导率; d 为 y 方向的梯度参 数。为使边界条件齐次化，令 T( x，y) = u0 + W( x，y) ( 3) 则 W( 0，y) = 0，W( a，y) = 0 ( 4) W( x，0) = 0，W( x，b) = U － u0 ( 5) 式中: W( x，y) － 满足热传导方程的函数。 2 解析法求解温度场 2． 1 分离函数 将式( 2) 和( 3) 代入式( 1) ，FGM 板的热传导 微分方程可变化为 d W( x，y) y + 2 W( x，y) x 2 + 2 W( x，y) y 2 = 0 ( 6) 采用分离变量法，将函数 W( x，y) 分离为 x，y 方向函数乘积形式，即 W( x，y) = X( x) × Y( y) ( 7) 将式( 7) 代入式( 6) ，可得 ( dY' + Y '') /Y = － X '' / X = λ ( 8) 式中: X '，Y ' － 相应函数的一阶导数; X ''，Y '' － 相应函数的二阶导数，λ 为分离常数。式( 8) 左边 为 y 的函数，右边为 x 的函数，如果两边相等，则应 等于 λ。 将式( 8) 分离成两项函数，并给出相应边界条 件，得 X '' + λX = 0 ( 9a) X( 0) = 0，X( a) = 0 ( 9b) Y '' + dY ' － λY = 0 ( 10a) Y( 0) = 0，Y( b) = U － u0 ( 10b) 2． 2 函数 X( x) 的求解 式( 9a) 的特征方程为 r 2 + λ = 0 ( 11) 当 λ ＞ 0 时，式( 9a) 的解为 X( x) = C1 cos 槡λx + C2 sin 槡λx ( 12) 式中: C1，C2 － 两个任意参数，把式( 9 b) 代入式 ( 12) ，若式( 12) 有解，得 C1 = 0 ( 13) λ = n2 π2 /a2 ，( n = 1，2，3，…) ( 14)
6 河北工程大学学报（自然科学版） 2013年 X(x)的解为 0.86%,因此，两种计算方法正确可靠。 X (x)=C2.sin(nu/a)x (15) 表1两种方法计算结果的对比 Tab.Contrast of the calculation results methods 2.3函数Y(x)的求解 坐标7 FE解温度解析解温度 误差 将式(14)代入式(10a),得 m o) y“+d"-(n2r2/a2)y=0 (16) 其特征方程为 1 2+-n2m2/a2=0 (17) 令8.=√+4nm/a (18) 则式(18)的通解为 1 10 y()=D.e+Ee÷ 1.6 (19 12 14.2 (1,7 20.0 式中：D,E。-待定常数 (1,8 0.0 -0.8 (1,9 51.3 51.2 2.4温度场的解析解 (1,10 100.00 100.00 0.00 将式(15)，式(19)代入式(7)后叠加得 3.2结果与讨论 =引A兴+B,e兴)·血](20) 统一热边界条件为：上边界恒温V=1300K, 式(5)代入式(20)中，利用三角函数的正 其余三边界恒温u。=300K。 交性，得 3.2.1梯度参数对温度场的影响 A.=-B=0,n=21 (21) 设板的几何尺寸a=b=10mm,梯度参数 A:-B.=U--剑剖 别为d=-0.2/mm,0,0.2/mm,此时稳态温度场 n 的等温线分布见图2。 21-1 (22) 由图2可知 式中：1=1,2,3， (1)由于FCM板结构在几何形状，热性质 将式(22)代入式(20)后，再将得到的W(x, 及外加热载等方面关于板中心线x=x/a=0.5对 y)代入式(3)，则边界不同恒温时FGM板的平面 称，所以，在不同梯度参数作用下，温度场等温线 稳态温度场的解析解为 分布也关于板中心线x=0.5对称（图2）。 T=+4" (2)由于左右两边界的常温作用，对于同- 水平梭面，FGM1板内温度在轴x=0.5附近最大 乱·受·血2-：马h2s) 在左右两边界降至常温300K时，板内的温度梯 度变化由中部向左右两边界递增。 3算例与分析 (3)随若梯度参数d的增加，GM板内的高 温区向左右两边界和下边界逐步扩展 400K等 温线的最低点位置：当d=-0.2/mm时，位于y 3.1正确性检验 0.41附近，当d=0/mm时（为均质材料），位于) 分别应用式(23)、式(24)进行计算，然后对 =0.25附折，当d=0.2/mm时，位于￥=0.18明 比结果。板的几何尺寸a=b=10mm,上边界 近。这与FGM板的热导率分布有关，当d>0时 温U=100K,其余三边界恒温4。=0K,梯度参数 热导率自上而下递减，当d<0时，热导率自上而 d=0.1/mm,板的下边界处的热导率D=1W/(m 下端增。 ·K)。在讲行有限元计算时，将FGM板离散为 (4)在无量纲坐标(0.5,0.25)处：当d=0时 800个单元和441个节点，单元边长0.5mm… 部 的温度值为395.57K,当d=-0.2/mm时的温度 分计算结果见表1。 值340.93K比当d=0时低13.8%，当d=0.2 由表1可知：两种方法的最大节点温度误差 mm时的温度值483.46K比当d=0时高22.2%
6 河 北 工 程 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 2013年 X( x) 的解为 Xn ( x) = C2n sin( nπ/a) x ( 15) 2． 3 函数 Y( x) 的求解 将式( 14) 代入式( 10a) ，得 Y '' + dY ' － ( n2 π2 /a2 ) Y = 0 ( 16) 其特征方程为 r 2 + dr － n2 π2 /a2 = 0 ( 17) 令 δn = d2 + 4n2 π2 槡 /a2 ( 18) 则式( 18) 的通解为 Yn ( y) = Dn e － d + δn 2 y + En e － d + δn 2 y ( 19) 式中: Dn，En － 待定常数。 2． 4 温度场的解析解 将式( 15) 、式( 19) 代入式( 7) 后叠加得 W( x，y) = Σ ∞ n =1 Ane － d + δn 2 y +Bne － d + δn 2 ( )y ·sin nπ a [ ] x ( 20) 把式( 5) 代入式( 20) 中，利用三角函数的正 交性，得 An = － Bn = 0，n = 2l ( 21) An = － Bn = 4( U － u0 ) nπ e d 2 ( ) b / e － δn 2 b － e δn 2 ( ) b ，n = 2l － 1 ( 22) 式中: l = 1，2，3，…。 将式( 22) 代入式( 20) 后，再将得到的 W( x， y) 代入式( 3) ，则边界不同恒温时 FGM 板的平面 稳态温度场的解析解为 T( x，y) = u0 + 4 U － u0 π e d( b － y 2 ) · Σ ∞ l = 1 1 2l － 1 ·sh δl 2 y·sin ( 2l － 1) π a x /sh δl 2 [ ] b ( 23) 3 算例与分析 3． 1 正确性检验 分别应用式( 23) 、式( 24) 进行计算，然后对 比结果。板的几何尺寸 a = b = 10 mm，上边界恒 温 U = 100 K，其余三边界恒温 u0 = 0 K，梯度参数 d = 0． 1 /mm，板的下边界处的热导率 D = 1W/( m ·K) 。在进行有限元计算时，将 FGM 板离散为 800 个单元和 441 个节点，单元边长 0． 5 mm。部 分计算结果见表 1。 由表 1 可知: 两种方法的最大节点温度误差 0． 86% ，因此，两种计算方法正确可靠。 表 1 两种方法计算结果的对比 Tab． 1 Contrast of the calculation results of two methods 坐 标/ ( mm，mm ) FEM 解温度 /K 解析解温度 /K 误 差 % ( 1，0) 0． 00 0． 00 0． 00 ( 1，1) 1． 68 1． 67 － 0． 60 ( 1，2) 3． 36 3． 35 － 0． 30 ( 1，3) 5． 22 5． 20 － 0． 38 ( 1，4) 7． 46 7． 43 － 0． 40 ( 1，5) 10． 33 10． 29 － 0． 39 ( 1，6) 14． 29 14． 21 － 0． 56 ( 1，7) 20． 21 20． 07 － 0． 70 ( 1，8) 30． 34 30． 08 － 0． 86 ( 1，9) 51． 30 51． 27 － 0． 06 ( 1，10) 100． 00 100． 00 0． 00 3． 2 结果与讨论 统一热边界条件为: 上边界恒温 U = 1 300 K， 其余三边界恒温 u0 = 300 K。 3． 2． 1 梯度参数对温度场的影响 设板的几何尺寸 a = b = 10 mm，梯度参数分 别为 d = － 0． 2 /mm，0，0． 2 /mm，此时稳态温度场 的等温线分布见图 2。 由图 2 可知: ( 1) 由于 FGM 板结构在几何形状、热性质以 及外加热载等方面关于板中心线 x = x /a = 0． 5 对 称，所以，在不同梯度参数作用下，温度场等温线 分布也关于板中心线 x = 0． 5 对称( 图 2) 。 ( 2) 由于左右两边界的常温作用，对于同一 水平截面，FGM 板内温度在轴 x = 0． 5附近最大。 在左右两边界降至常温 300 K 时，板内的温度梯 度变化由中部向左右两边界递增。 ( 3) 随着梯度参数 d 的增加，FGM 板内的高 温区向左右两边界和下边界逐步扩展。400 K 等 温线的最低点位置: 当 d = － 0． 2 /mm 时，位于 y = 0． 41 附近，当 d = 0 /mm 时( 为均质材料) ，位于 y = 0． 25 附近，当 d = 0． 2 /mm 时，位于 y = 0． 18 附 近。这与 FGM 板的热导率分布有关，当 d ＞ 0 时， 热导率自上而下递减，当 d ＜ 0 时，热导率自上而 下递增。 ( 4) 在无量纲坐标( 0． 5，0． 25) 处: 当 d = 0 时 的温度值为 395． 57 K，当 d = － 0． 2 /mm 时的温度 值 340． 93 K 比当 d = 0 时低 13． 8% ，当 d = 0． 2 / mm 时的温度值 483． 46 K 比当 d = 0 时高 22． 2%
第2期 许杨健等：边界不同恒温时功能梯度板平面稳态温度场 7 3.2.2几何组成对温度场的影响 10mm,b=5mm。此时的稳态等温线的分布见图 设梯度参数分别为d=-0.2/mm,0.2/mm。 3、图4。 板的几何尺寸分别为：a=5mm,b=10mm和a 0.1 0. 0.2 00.20.40.60.8 000.20.4 00.20.4 0.60.8 (a)2m (c)d-02/m 图2在a=b=l0mm时的等温线分布 Fig.2 Isotherm distributions when a=b=10mm 9 0.20.4 0.60.8 0.20. 0.60. a)d-- 图3在a=5mm,b-10mm时的等温线分布 Fig.3 Isotherm distributions when a=5mm,b=10m 0 0.4 0.2 000.20.40.60.8 00.20.40.60.8 时的等道线分布 Fig.4 Isothers distributions when a=10mm,b=5mm 综合分折图2、图3、图4可知，板的几何组成 明显变大：在板的中下部，在a=5mm,b=10mm 对温度场的影响如下 时明显变大，在a=10mm,b=5mm时明显变小 ()板内稳态温度场的对应等温线的梯度 因此在a=5mm,6=10mm时的高温区在板的 与a=b=10mm时比较，在板的两侧，在a=5mm 两侧变化比较缓和，在中部变化较大，在a=10 b=10mm时明显变小，在a=10mm,b=5mm时 mm,b=5mm时的高温区在板的两侧变化比较剧
第 2 期 许杨健等: 边界不同恒温时功能梯度板平面稳态温度场 7 3． 2． 2 几何组成对温度场的影响 设梯度参数分别为 d = － 0． 2 /mm，0． 2 /mm。 板的几何尺寸分别为: a = 5 mm，b = 10mm 和 a = 10 mm，b = 5 mm。此时的稳态等温线的分布见图 3、图 4。 综合分析图 2、图 3、图 4 可知，板的几何组成 对温度场的影响如下: ( 1) 板内稳态温度场的对应等温线的梯度: 与 a = b = 10mm 时比较，在板的两侧，在 a = 5 mm， b = 10 mm 时明显变小，在 a = 10 mm，b = 5 mm 时 明显变大; 在板的中下部，在 a = 5 mm，b = 10 mm 时明显变大，在 a = 10 mm，b = 5 mm 时明显变小。 因此，在 a = 5 mm，b = 10 mm 时的高温区在板的 两侧变化比较缓和，在中部变化较大，在 a = 10 mm，b = 5 mm 时的高温区在板的两侧变化比较剧
河北工程大学学报（自然科学版） 2013年 烈，在中下部变化比较缓和。 参考文献 (2)400K第温线最低点位置：在a=10mm b=5mm时，当d -0.2/mm时位于了=y/b ]韩杰才，徐丽，王保林，等.梯度功能材料的研究进展 0.26附近，当d=0.21mm时位于y=0.06附近：在 及展望门.围体火箭技术，2004,7(3)：27-215. a=5mm,b=10mm时，当d=-0.2/mm时位于y D]仲政，吴林志，陈伟球。功能梯度材料与结构的若干 力学向愿研究进展0].力学进展，2010,40(5) =0.62附近，当d=0.2/mm位于Y=0.5附近：在 528-541 a=b=10mm时，当d=-0.2/mm时位于下=0.41 B]ZHAO J.AI X.HI YZ.Transient field temperature field 附近，当d=0.2mm时位于=0.18附近。因此 in functionally graded materials with different shapes un- 在a=b=10mm时的4O0K等温线最低点位置是 []Heat Mas 处在a=10mm,b=5mm和a=5mm,b=10mm 2007,43(1 2 之间。 (3)板内稳态温度场的对应等温线在￥方向 大学学报。 的位置 与a=b=10 m时比较，在 a=5 mm.b- )张雁，刘霓生，陈林泉，等.第二类边界条件下梯度 l0mm时明显集中到板的中上部，在a=10mm, 维温度场的数值模拟门. 体火箭 -5mm时明显扩展到板的两侧和下半部。因此 犬.2004.272)·145_148 在a=5mm,b=10mm时的高温区主要集中在板 )许杨健，涂代惠，对流换热边界下变物性梯度功能材 的中上部，在a=0mm,b=5mm时的高温区已 料板解态温度场有限元分析).复合材料学报。 扩展到板的两侧和下斗 003.,20(2):94-99 (4)对于同一梯度参数d,随者FGM板高的 ]许杨健，赵志岗。梯度功能材料板解态温度场有限元 分析0们.功能材料，1999,30(1)：103-106 递减，板内中下部的温度分布趋于平缓，高温区迅 ⑧)]刘五样、轴对称功能梯度材料稳态热传导的精确解 速扩展到板的下半部和两侧，且板的两侧的温度 梯度较大，将会造成热应力的变化较大。左、右和 同济大学学报，2010,38(5)：716-719 下边界的恒温作用造成的降温效果 不明显 ,富明号 ,高文乐 热传 随者 FGM板宽的递减，板内的温度分布变化加大，高温 0( 区迅速收缩到板的中上部，左、右和下边界的恒温 作用造成的降温效果明显。 olution0.Materials,2011,412):2108-2118 4结论 D1]BABAEI M H.CHEN Z T.Transi erbolie bea 1)在假设热导率沿功能梯度板高呈指数函 ]Joumnal of Thermophysics and Heat Transfer, 数形式分布的基础上 采用分离变量法，推导出式 2010.24(2)：325-330. 界不同恒温时FGM板的平面稳态温度场的级发 D2]GOLBAHAR HAGHIGHI M R.MALEKZADEH P. RAHIDEH H.et al.Inverse transient heat conduction 解析解，通过与有限元解的对比，检验了研究方法 及其结果的正确性。 2)当上边界恒为1300K与其余三边界恒为 Numerical Heat Transfer,Part A:Applicati 300K时，FCN板的平面稳态等温线分布对称于 An In omputation and Methodol -73 过形心的y轴。随着梯度参数d的增加，FGN板 03 HCHI M R.HE 内的高温区向左右两边界和下边界逐步扩展。板 内的温度梯度变化由中部向左右两边界递增。 3)随着FG板高的递减，板内中下部的温度 分布趋于平缓，高温区迅速扩展到板的下半部利 hlnv.012.61g):614-62 两侧，且板的两侧的温度梯度较大：随着FGM板 4]OHMICHI M.NODA N.Plane themal stresss in a func 宽的递减，板内的温度分布变化加大，高温区迅速 tionally graded plate subjected to a partial heating 收缩到板的中上部。 Journal of Thermal Stresses,2006.29(12):614 -632 (责任编辑马立)
8 河 北 工 程 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 2013年 烈，在中下部变化比较缓和。 ( 2) 400 K 等温线最低点位置: 在 a = 10 mm， b = 5 mm 时，当 d = － 0． 2 /mm 时位于 y = y /b = 0． 26附近，当 d = 0． 2 /mm 时位于 y = 0． 06 附近; 在 a = 5 mm，b = 10 mm 时，当 d = － 0． 2 /mm 时位于 y = 0． 62 附近，当 d = 0． 2 /mm 位于 y = 0． 5 附近; 在 a = b = 10 mm 时，当 d = － 0． 2 /mm 时位于 y = 0． 41 附近，当 d = 0． 2 /mm 时位于 y = 0． 18 附近。因此， 在 a = b = 10 mm 时的 400K 等温线最低点位置是 处在 a = 10 mm，b = 5 mm 和 a = 5 mm，b = 10 mm 之间。 ( 3) 板内稳态温度场的对应等温线在 y 方向 的位置: 与 a = b = 10 mm 时比较，在 a = 5 mm，b = 10 mm 时明显集中到板的中上部，在 a = 10 mm，b = 5mm 时明显扩展到板的两侧和下半部。因此， 在 a = 5 mm，b = 10 mm 时的高温区主要集中在板 的中上部，在 a = 10 mm，b = 5 mm 时的高温区已 扩展到板的两侧和下半部。 ( 4) 对于同一梯度参数 d，随着 FGM 板高的 递减，板内中下部的温度分布趋于平缓，高温区迅 速扩展到板的下半部和两侧，且板的两侧的温度 梯度较大，将会造成热应力的变化较大。左、右和 下边界的恒温作用造成的降温效果不明显。随着 FGM 板宽的递减，板内的温度分布变化加大，高温 区迅速收缩到板的中上部，左、右和下边界的恒温 作用造成的降温效果明显。 4 结论 1) 在假设热导率沿功能梯度板高呈指数函 数形式分布的基础上，采用分离变量法，推导出边 界不同恒温时 FGM 板的平面稳态温度场的级数 解析解，通过与有限元解的对比，检验了研究方法 及其结果的正确性。 2) 当上边界恒为 1300 K 与其余三边界恒为 300 K 时，FGM 板的平面稳态等温线分布对称于 过形心的 y 轴。随着梯度参数 d 的增加，FGM 板 内的高温区向左右两边界和下边界逐步扩展。板 内的温度梯度变化由中部向左右两边界递增。 3) 随着 FGM 板高的递减，板内中下部的温度 分布趋于平缓，高温区迅速扩展到板的下半部和 两侧，且板的两侧的温度梯度较大; 随着 FGM 板 宽的递减，板内的温度分布变化加大，高温区迅速 收缩到板的中上部。 参考文献: ［1］韩杰才，徐 丽，王保林，等． 梯度功能材料的研究进展 及展望［J］． 固体火箭技术，2004，27( 3) : 207 －215． ［2］仲 政，吴林志，陈伟球． 功能梯度材料与结构的若干 力学问题研究进展 ［J］． 力学进展，2010，40 ( 5) : 528 － 541． ［3］ZHAO J，AI X，LI Y Z． Transient field temperature field in functionally graded materials with different shapes underconvective boundary conditions ［J］． Heat Mass Transfer，2007，43 ( 12) : 1227 － 1232． ［4］陈建桥，丁 亮． 功能梯度材料瞬态热传导问题的 M L － PG 方法 ［J］． 华中科技大学学报，2007，35( 4) : 119 － 121． ［5］张 雁，刘霓生，陈林泉，等． 第二类边界条件下梯度 功能材料一维温度场的数值模拟 ［J］． 固体火箭技 术，2004，27( 2) : 145 － 148． ［6］许杨健，涂代惠． 对流换热边界下变物性梯度功能材 料板瞬态温度场有限元分析 ［J］． 复合材料学报， 2003，20 ( 2) : 94 － 99． ［7］许杨健，赵志岗． 梯度功能材料板瞬态温度场有限元 分析 ［J］． 功能材料，1999，30( 1) : 103 － 106． ［8］刘五祥． 轴对称功能梯度材料稳态热传导的精确解 ［J］． 同济大学学报，2010，38( 5) : 716 － 719． ［9］蓝林华，富明慧，高文乐． 功能梯度材料稳态热传导 方程的分层精细指数法 ［J］． 中山大学学报，2011， 50( 4) : 1 － 6． ［10］JIN Z H． Heat conduction in a functionally graded plate subjected to finite cooling /heating rates: an asymptotic solution ［J］． Materials，2011，4( 12) : 2108 － 2118． ［11］ BABAEI M H，CHEN Z T． Transient hyperbolic heat conduction in a functionally graded hollow cylinder ［J］． Journal of Thermophysics and Heat Transfer， 2010，24( 2) : 325 － 330． ［12］ GOLBAHAＲ HAGHIGHI M Ｒ，MALEKZADEH P， ＲAHIDEH H，et al． Inverse transient heat conduction problems of a multilayered functionally graded cylinder ［J］． Numerical Heat Transfer，Part A: Applications: An International Journal of Computation and Methodology，2012，61( 9) : 717 － 733． ［13］MALEKZADEH P，GOLBAHAＲ HAGHIGHI M Ｒ，HEYDAＲPOU Y． Heat transfer analysis of functionally graded hollow cylinders subjected to an axisymmetric moving boundary heat flux［J］． Numerical Heat Transfer，Part A: Applications: An International Journal of Computation and Methodology，2012，61( 8) : 614 －632． ［14］OHMICHI M，NODA N． Plane thermal stresses in a functionally graded plate subjected to a partial heating ［J］． Journal of Thermal Stresses，2006，29( 12) : 614 －632． ( 责任编辑 马立)