高等传热学 §1层流速度边界层的相似解 二维、稳定、恒物性流体的连续与动量方程及边界条件 du 0v0 忽略体积力pgx ax dy Bu av dp 82u + 0x dx ∂v2 2=0 对静止的固体表面边界条件 y=0 u=0 0=0 y=0∞ u=us (主流) 解此问题取决于边界层外的速度山，和压力p。 pus p+ =Const 两者之间的关系由伯努力(Bernoull).方程：
高等传热学 二、边界层内的速度分布 在给定压力情况下，求解边界层的动量方程仍是一个非线性偏微分方程， 很难求得数学解析解，若能用某种变换，把偏微分方程变为常微分方程，那么 问题就相对低简单多了 研究表明，只有在某些特殊情况下，即边界层内的速度型（即速度分布线）， 在不同的x位置处都是相似的，通过相似变换，可把自变量x,y用一个自变量？ 代替，而因变量山，可通过流函数变为一个。此时可把非线性偏微分方程变为常 微分方程，才可求出其数学解析解。这种情况下得到的解叫边界层的相似解。 那么什么是速度型相似？ 若满足下列关系，则速度型相似 y2 边界层内对应位置： 6(x1) 6(x2) 补充斜面 速度图 y2 则对应，点的速度应成比例 X18x1 x28x2 us(x1) u,x2】
高等传热学 ∴在相似条件下，不同x位置的无量纲速度分布都是一样。 “只与 有关，与x无关。 u us .微分方程的两个自变量，在相似条件下，无量纲化后变为一个自变量， 则偏微分方程就化为常微分方程 :边界层厚度是未知量，若以⑧(x)为无量纲坐标的尺度，则应找到6 与那些已知量有关。 用动量方程中： ou 82u u~us pu 82 0x ~μay2 y~6 usP us V·x “边界层厚度正比心 us'x Rex us Rex
高等传热学 现在讨论在什么样情况下边界层内速度型相似呢？ 1930年由法尔克纳-斯肯等作出研究结果，由相似变换得出，若山 按如下形式变化us=Cxm，则速度型相似。 而流体绕流楔型物体时，就具有us=Cxm的速度型，因而流体绕 流楔型物体时，其速度型相似。 式中C为常数，m~楔型物体张角有关，由流体力学知： m=品。支B= m+1 y 引入相似变量： 6(x) 考虑m的影响，即不同张角的情况，令： m+1y 1= 2 Rex 则是考的函数，即是n的函数，fm)=兴d us
高等传热学 ∂ψ 引入流函数： dψan aψdψan u= 0= ay dn ay ∂xdn∂x 动量方程变为： d-f :0 dn dn3 dn2 us Falkner-skan用数值积分解出 结果见王丰P58 后来Hartree用计算机得到数值解 三、边界层厚度的确定 由定义：u=0.99us,y=6,即n=1s 2 1-m m+1, X 2 76由图查出
高等传热学 四、壁面剪切力的计算 根据牛顿的进切利公式： df u=us dn d2 Tw =u 0 dy Tw uus LA n+1 Eckert P306 表7-1 ou 2 见 王丰 P60 表2-7 壁面上剪切力通用表示法为： 4,2 Tw Cfp2 上两式相等， :=√2(m+ Re, C是局部阻力系数，C除了计算流动阻力外，在对流换热上，由于热量 与动量传递类似，可用C计算对流换热的h
高等传热学 §2低速、常物性的层流边界层能量方程 假定：1)物性为常数、稳定、二维的流动与换热 2)低速us《音速 (1)体积力作功Pgx可忽略 (2)粘性力项号( du 可忽略 (③)动能与焓相比很小，忽略动能 ip≈i=Cpt at 能量方程： +10 边界条件：根据边界层外蠓和壁面来确定 「()由于边练温度梯度很小，y方向导热可忽略 边界层外缘。 (2)由于p=Const,流体不膨胀，所以边界层外流体温度不变 1) 给定壁温：tw=Const.或tw=tw(x) 对壁面 2)给定壁面热流：qw=Const或qw=qw(x)
高等传热学 §3壁温为常数的平壁上换热 :是平壁，低速，us=Const,p=Const p+号us2=C0nst 边界层方程： du 8v 02u 动量： + =1 0x dy 0y2 能量： at ot 02t u一+) 0x ay dy2 边界条件： y=0 u=0 V=0 t=tw Const y=∞ u=us t=ts 令： u t-tw 4= us ，=元， y=, ts-tw 带入上式得出：
高等传热学 du +卫y v∂2u a0 a∂20 u 0x usLdy2 +巴 0x usL∂y2 y=0 4=0 2=0 8=0 y=∞ 4=1 8=1 Re usL 在动量与能量方程中分别出现： LPe= usL usL uspCp uspCpAt 流向对流 a Pe= a 流向导热 i IAL 当Re=Pe时，即y=a或 Pr=1 则上两个方程的无因次 形式和边界条件完全一样。 ∴。解出的平板边界层内无量纲的速度与温度相同 即： 旦=4， t-tw u 8=6 ts-tw us 大连理红大学 机械工程与材料能源学部 能源马动力工程学院 159
高等传热学 说明Pr=1时，热和动量二者除物理内容不同外，在传递规律上 是完全一样的。（类似、比拟、模拟） ∴.只需解出速度分布就可计算换热了 从壁面传入流体的热量 qw =h(tw -ts)=-k h= y ts-tw 42 摩擦系数：tw=CfP 两式相等 2 Cf= Pus2 ay Tw M dy W 无量纲化 2u 移项 Cf= pusL dy 24 W