D0Ir10.I3225j.cnki.jccs2012.10.018 第37卷第10期 煤炭学报 Vol.37 No.10 2012年10月 JOURNAL OF CHINA COAL SOCIETY 0et.2012 文章编号：0253-93(2012)10-1649-05 考虑未冻水单管冻结温度场解析解 周扬2，周国庆2 (1.中国矿业大学深部岩士力学与地下工程国家重点实验室，江苏徐州2210082中国矿业大学力学与建筑工程学，江苏徐州221116 摘要：针对冻结法应用中的单管冻结问题，考虑土体在冻结状态下存在随负温连续变化的未冻 水，通过将土中水随负温降低而连续冻结的过程离散化，建立了单管冻结温度场变化的离散相变模 型，并给出了模型的解析计算方法。将解析解答与连续相变模型下的数值解透行了对比，验证了该 解答的正痛性。利用解析解，分析了土体冻结状态下存在的未冻水对冻结锋面推进过程的影响，结 果表明：忽略表冻水将低估土中冻结锋而的推进逸度，并且其低估程度随土体比表而积的增加而增 关键词：未冻水：单冻结管；温度场：解析解 中图分类号：TD265.3 文献标志码：A Analytical solution for temperature field around a single freezing pipe considering unfrozen water ZHOU Yang',ZHOU Guo-qing' Enginering.China f 221116.China) Abstract:For the freezing process induced by single freezing pipe during the application of artificial ground freezing technique,the continuous phase change of the soil water with the decreasing soil temperature was considered.A dis- crete phase change model of the temper ature field was established after the continu phase change of soil water was cal solution for the m odel was presented.The enumerical esu the continuous phase change model.The effect of unfrozen water in the frozen soil was studied.And the results indicate that neglecting the unfrozen water can underestimate the moving velocity of the freezing front,and this effect increases with the soil specifie surface increasing. Key words:unf water:single freezing pipe:temperature field;analytical soution 人工冻结技术是一种特殊的岩土加固技术，它是 展到了多圈，问恶也越来越复杂，尽管如此，单管冻结 采用低温盐溶液作为冷媒，在土体内埋设的管道中循 问题也是一个非常重要、基础的经典问题。 环，吸收土体热量，使土中水冻结，达到加固岩土体， 许多学者对单管冻结问题进行过研究，通过将单 绝地下水的日的，该技术己经在矿、道、恤铁等 冻结管简化为线热源，文献-5]给出了常热流边界 地下工程中得到 “泛应用，多数场合基本是惟 可 条件下单管冻结温度场的解析解答：文献6)]给出 的方法。冻结法的应用中，温度场的计算是一个很 恒壁温条件下的单管冻结温度场的解析解，这些文 要的问题-山，它是进一步计算冻土强度以及辅助设 中的解答均把土体相变视为普通的类似于水的相变 计冻结过程的基础。目前在冻结凿并工程中，随若表 过程，即相变潜热仅在冻结锋面处一次性释放，这显 土层厚度的逐渐变深，冻结管布置也从早期的单圈发 然是没有考虑到土体冻结的基本特征，即负温下存在 家自然 学基会康点资动项日60534040)：中国裤土后基金面上资动项日2011M509%9:中国矿业大学青年科研基会资助项 作者简介：周扬19g2-一)，男，江苏扬州人，讲师，裤士.B-mm:d心06@126.cm 994-016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/www.cnki.ne
第 37 卷第 10 期 煤 炭 学 报 Vol． 37 No． 10 2012 年 10 月 JOURNAL OF CHINA COAL SOCIETY Oct． 2012 文章编号: 0253－9993( 2012) 10－1649－05 考虑未冻水单管冻结温度场解析解 周 扬1，2 ，周国庆1，2 ( 1． 中国矿业大学 深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，江苏 徐州 221008; 2. 中国矿业大学 力学与建筑工程学院，江苏 徐州 221116) 摘 要: 针对冻结法应用中的单管冻结问题，考虑土体在冻结状态下存在随负温连续变化的未冻 水，通过将土中水随负温降低而连续冻结的过程离散化，建立了单管冻结温度场变化的离散相变模 型，并给出了模型的解析计算方法。将解析解答与连续相变模型下的数值解进行了对比，验证了该 解答的正确性。利用解析解，分析了土体冻结状态下存在的未冻水对冻结锋面推进过程的影响，结 果表明: 忽略未冻水将低估土中冻结锋面的推进速度，并且其低估程度随土体比表面积的增加而增 大。 关键词: 未冻水; 单冻结管; 温度场; 解析解 中图分类号: TD265. 3 文献标志码: A 收稿日期: 2011－09－07 责任编辑: 王婉洁 基金项目: 国家自然科学基金重点资助项目( 50534040) ; 中国博士后基金面上资助项目( 2011M500969) ; 中国矿业大学青年科研基金资助项 目( 2009A007) 作者简介: 周 扬( 1982—) ，男，江苏扬州人，讲师，博士。E－mail: tod2006@ 126. com Analytical solution for temperature field around a single freezing pipe considering unfrozen water ZHOU Yang 1，2 ，ZHOU Guo-qing 1，2 ( 1. State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering，China University of Mining ＆ Technology，Xuzhou 221008，China; 2. School of Mechanics ＆ Civil Engineering，China University of Mining ＆ Technology，Xuzhou 221116，China) Abstract: For the freezing process induced by single freezing pipe during the application of artificial ground freezing technique，the continuous phase change of the soil water with the decreasing soil temperature was considered． A discrete phase change model of the temperature field was established after the continuous phase change of soil water was discretized． An analytical solution for the model was presented． The solution was verified with the numerical results of the continuous phase change model． The effect of unfrozen water in the frozen soil was studied． And the results indicate that neglecting the unfrozen water can underestimate the moving velocity of the freezing front，and this effect increases with the soil specific surface increasing． Key words: unfrozen water; single freezing pipe; temperature field; analytical solution 人工冻结技术是一种特殊的岩土加固技术，它是 采用低温盐溶液作为冷媒，在土体内埋设的管道中循 环，吸收土体热量，使土中水冻结，达到加固岩土体、 隔绝地下水的目的，该技术已经在矿山、隧道、地铁等 地下工程中得到广泛应用，多数场合基本是惟一可行 的方法。冻结法的应用中，温度场的计算是一个很重 要的问题［1－11］，它是进一步计算冻土强度以及辅助设 计冻结过程的基础。目前在冻结凿井工程中，随着表 土层厚度的逐渐变深，冻结管布置也从早期的单圈发 展到了多圈，问题也越来越复杂，尽管如此，单管冻结 问题也是一个非常重要、基础的经典问题。 许多学者对单管冻结问题进行过研究，通过将单 冻结管简化为线热源，文献［4－5］给出了常热流边界 条件下单管冻结温度场的解析解答; 文献［6］给出了 恒壁温条件下的单管冻结温度场的解析解，这些文章 中的解答均把土体相变视为普通的类似于水的相变 过程，即相变潜热仅在冻结锋面处一次性释放，这显 然是没有考虑到土体冻结的基本特征，即负温下存在 DOI:10.13225/j.cnki.jccs.2012.10.018
1650 炭 报 2012年第37卷 一定的未冻水2-，土中水的相变是随负温的降低 式(1)表明，随着负温降低，土中的未冻水逐渐 而连续发生的。 减少，相变潜热逐渐释放，这是 个连续的过程，本 本文针对已有解答的不足，考虑土体的冻结特 求解的第1步是将这一连续相变过程进行离敢化 性，建立单管冻结温度场新的解析解答，并给出算例。 (即分为若干步)。记土体初始体积含水量为8。，假 设该液态水随负温的降低分N步冻结，每次冻结日。 1基本思路及方程 N,每次冻结时的土体温度记为了（其计算见表1，表 考虑单管冻结过程，由于冻结管轴向尺寸比径向 中：为冰的密度，(·)为未冻水与负温的函数（式 尺寸大很多，同时冻结管半径较小，于是将问题简化 (1)),(·)为该函数的反函数)，并有 为线热源作用下的平面导热问题-，文献4]中指 出这一简化造成的误差是很小的 其中，,为士体的冻结温度，于是士中水的连续相 土体冻结过程区别于 般水冻结过程的 一个导 变过程被简化为了发生N次相变的离散相变过程 著特点是负温下存在 一定的未冻水，未冻水体积含量 该离散过程决定于原连续相变过程，当N足够大时， 与负温的关系可以用式(1)描述。 离散相变过程与原连续相变过程等价， 0。=002ewp(0.2618+0.55191nS- 由于当土体温度变化到了 时，会产生部分未冻 水的冻结，士体的成分将发生改变， 是利用这N个 .449 5s-a34InT) (1) 温度点，可以将土体分为+1相，各相温度范围、组 式中，A为体积未冻水含量：P4为土体干密度：p.为 成及相变温度点计算见表1。在每一相中，土体的成 水的密度：S为比表面积：T为土体温度。 分固定，因而其热物性参数为常数 表1 Table 1 Pa hase of soil 相号 温度范围 体积未冻水含量 体积冰含量 离散相变湿度点计算 0 21 0 Bap.Ip. =f(6/N) T aT>Ti (N-1)6/Nxe./e T=4(2A/N0 3 T≥万 28八 (N-2)6o/Nxp./p. T=(38/Nm T=l(说/0 N-1 Tat>I (N-1)8/N 广=(&) D(来冻土) T=T 经过上述简化及连续相变过程离散化后，单管冻 初始及边界条件分别为 结问题转化为了线热源作用下N+1相材料的径向冻 结问题，其基本方程为 式中，V为初始温度：Q为线热源强度：k。为第0相导 Sy(t)<r<oo 热系数 在相界面S,()上，需要满足温度的连续性及相 at 变潜热关系： T.ls0o =T-1 =T (i=1,2,,0(4) S,()<r≤S( or ko =t'ds() +， dt (5) 0<r≤S,(t) (i=1,2,…,N) 式中，L=Lp.N:k:为第i相的导热系数：山4为水 (2) 的相变潜热。 式中，T,为第i相中的温度场：为径向坐标：为时 容易看出，文献4-5]中不考虑未冻水存在时的 间：a,为第i相中的热扩散系数：S,()为第i-1相与 基本方程及条件实际上是式(2)-(5)在N=1时的 第相之间的相界面，随时间变化而移动。 特例（此时土体仅为两相材料）。 1994-2016Chin Academic Joumal Electronic Publishing House. All rights reserved http://www.cnki.ne
煤 炭 学 报 2012 年第 37 卷 一定的未冻水［12－13］，土中水的相变是随负温的降低 而连续发生的。 本文针对已有解答的不足，考虑土体的冻结特 性，建立单管冻结温度场新的解析解答，并给出算例。 1 基本思路及方程 考虑单管冻结过程，由于冻结管轴向尺寸比径向 尺寸大很多，同时冻结管半径较小，于是将问题简化 为线热源作用下的平面导热问题［4－5］，文献［4］中指 出这一简化造成的误差是很小的。 土体冻结过程区别于一般水冻结过程的一个显 著特点是负温下存在一定的未冻水，未冻水体积含量 与负温的关系可以用式( 1) ［14］描述。 θu = ρd 100ρw exp( 0. 261 8 + 0. 551 9ln S － 1. 449 5S －0. 264 ln T ) ( 1) 式中，θu 为体积未冻水含量; ρd 为土体干密度; ρw 为 水的密度; S 为比表面积; T 为土体温度。 式( 1) 表明，随着负温降低，土中的未冻水逐渐 减少，相变潜热逐渐释放，这是一个连续的过程，本文 求解的第 1 步是将这一连续相变过程进行离散化 ( 即分为若干步) 。记土体初始体积含水量为 θ0，假 设该液态水随负温的降低分 N 步冻结，每次冻结 θ0 / N，每次冻结时的土体温度记为 T* i ( 其计算见表 1，表 中 ρi 为冰的密度，f( ·) 为未冻水与负温的函数( 式 ( 1) ) ，f －1 ( ·) 为该函数的反函数) ，并有 T* 1 ＜ T* 2 ＜ … ＜ T* N－1 ＜ T* N = Tf 其中，Tf 为土体的冻结温度。于是土中水的连续相 变过程被简化为了发生 N 次相变的离散相变过程， 该离散过程决定于原连续相变过程，当 N 足够大时， 离散相变过程与原连续相变过程等价。 由于当土体温度变化到 T* i 时，会产生部分未冻 水的冻结，土体的成分将发生改变，于是利用这 N 个 温度点，可以将土体分为 N+1 相，各相温度范围、组 成及相变温度点计算见表 1。在每一相中，土体的成 分固定，因而其热物性参数为常数。 表 1 土体各相参数 Table 1 Parameters for each phase of soil 相号 温度范围 体积未冻水含量 体积冰含量 离散相变温度点计算 0 T* 1 ≥T 0 θ0 ρw /ρi T* 1 = f －1 ( θ0 /N) 1 T* 2 ≥T＞T* 1 θ0 /N ( N－1) θ0 /N×ρw /ρi T* 2 = f －1 ( 2θ0 /N) 2 T* 3 ≥T＞T* 2 2θ0 /N ( N－2) θ0 /N×ρw /ρi T* 3 = f －1 ( 3θ0 /N) T* i = f －1 ( iθ0 /N) N－1 Tf≥T＞T* N－1 ( N－1) θ0 /N θ0 /N×ρw /ρi T* N = f －1 ( θ0 ) N T＞T* N ( 未冻土) θ0 0 T* N =Tf 经过上述简化及连续相变过程离散化后，单管冻 结问题转化为了线热源作用下 N+1 相材料的径向冻 结问题，其基本方程为 TN t = αN 1 r r r TN r ( ) ， SN( t) ＜ r ＜ " TN－1 t = αN－1 1 r r r TN－1 r ( ) ， SN－1( t) ＜ r ≤ SN( t) T1 t = α1 1 r r r T1 r ( ) ， S1( t) ＜ r ≤ S2( t) T0 t = α0 1 r r r T0 r ( ) ， 0 ＜ r ≤ S1( t) ( 2) 式中，Ti 为第 i 相中的温度场; r 为径向坐标; t 为时 间; αi 为第 i 相中的热扩散系数; Si ( t) 为第 i－1 相与 第 i 相之间的相界面，随时间变化而移动。 初始及边界条件分别为 TN( r，0) = V，lim r→0 2πrk0 T0 r ( ) = Q ( 3) 式中，V 为初始温度; Q 为线热源强度; k0 为第 0 相导 热系数。 在相界面 Si ( t) 上，需要满足温度的连续性及相 变潜热关系: Ti Si ( t) = Ti－1 Si ( t) = T* i ( i = 1，2，…，N) ( 4) － ki Ti r Si ( t) + ki－1 Ti－1 r Si ( t) = L* dSi ( t) dt ( i = 1，2，…，N) ( 5) 式中，L* = Lfρw θ0 /N; ki 为第 i 相的导热系数; Lf 为水 的相变潜热。 容易看出，文献［4－5］中不考虑未冻水存在时的 基本方程及条件实际上是式( 2) ～ ( 5) 在 N = 1 时的 特例( 此时土体仅为两相材料) 。 1650
第10期 周扬等：考虑未冻水单管冻结温度场解析解 1651 2问题的求解 Th-V -Ap-Ao）+ 在土体的每一相中，如下形式的温度分布满足基 △0 本方程式(2)： k exp()(15) (i=0,1,2,…,0 式(13)~(15)构成参数入的N阶封闭非线性 方程组，利用牛顿迭代法求解这些方程组后得到A, 6 将,代入式(8)，(10 (12)中获得S,(),a,b,再 其中，4：b,为待定系数，并且有指数积分函数： 将这些参数代入式(6)便可以得到各相中的温度解 Ei()=f 答。 利用初始条件及边界条件式(3)，可以得到 3算例分析 3.1参数的计算 土体孔隙率为0.375，初始体积含水量 由于在两相交界面上任意时刻均需要满足式 为0.2208，土体的冻结特性按式(1)计算，其中S= (4),(5),因此移动边界必须具有如下形式： 60m1.0.=1670lg/m3 S(t)=2λ(a-t)1 (i=1,2,…,N0(8) 各相士体的导热系数按照其成分进行计算，采用 其中，入，为待定系数。 如下公式 利用相界面上的温度关系式(4)，可以得到 k=经经 (16) -1+6-Ei(-A）=T 式中，k为冰的导热系数，2.32W/(m·K):a为冰的 a +bEi(-)= (9) 体积含量：k。为水的导热系数，0.58W1(m·K):k.为 (i=1,2,…,N) 土骨架的导热系数，0.907W1(m·K):日为土骨架体 式中，u,=(ae1/a)n。 积含量：k,为空气的导热系数，0.029W1(m·K):0 利用式(9)，可以将a,b,用A,表示，即 为空气的体积含量 4,=4kT-0E(-A 各相土体体积热容采用式(17)四计算： C.=CB.+C+C+C (17) 4Tko (10) 其中，C为体积热容：C,C,C,C分别为冰，未冻 0 b=4 水，士骨架，空气的体积热容，分别取为1.928x10 a,-TEi(-A)-TEi(-A 4.18×10°，2.2279×10,15.5818×102W1(m3·K)。 若无说明，下文算例中所用参数均与本节相同。 2(λ） (11) 3.2解析解的验证 (i=1,2,…,N-1) 为了验证将十体连相变程离化后得到的 温度场解析解的正确性，将该解析解 土体连续相 模型下的数值解答进行了对比，柱坐标系中土体连续 T-V (12) ,i(-A】 相变过程的控制方程为 式中，△a=T-T:2(a,)=Ei(-A)-Ei(-Aiw)。 c,=-p. (18) 利用相界面上的潜热关系式(5)及的形式可 [0.=f(T) (T≤T) 以 (19) 18.=8 (T>T) -与说p(A》m,+是× △8 式中，k为导热系数 初始、边界条件及计算参数与相应解析解相同 exp(-A)=L'Aiad (13) 对于这样的定解问题，没有解析解，作为对比参考，采 用Matlab中pdepe命令求解其数值解。 下面给出两组算例中解析解与数值解的对比，算 exp(-A)=LA&-1(i=2,3,…,N-1) 例1中0=50W/m,V=2℃，S=60m1:算例2中0 100W/m,V=4℃，=30m. 994-016 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnkine
第 10 期 周 扬等: 考虑未冻水单管冻结温度场解析解 2 问题的求解 在土体的每一相中，如下形式的温度分布满足基 本方程式( 2) : Ti ( r，t) = ai + biEi － r 2 4αi ( )t ( i = 0，1，2，…，N) ( 6) 其中，ai，bi 为待定系数，并且有指数积分函数: Ei( z) = ∫ z －" eu u du 利用初始条件及边界条件式( 3) ，可以得到 aN = V，b0 = Q 4πk0 ( 7) 由于在两相交界面上任意时刻均需要满足式 ( 4) ，( 5) ，因此移动边界必须具有如下形式: Si ( t) = 2λi ( αi－1 t) 1 /2 ( i = 1，2，…，N) ( 8) 其中，λi 为待定系数。 利用相界面上的温度关系式( 4) ，可以得到 ai－1 + bi－1Ei( － λ2 i ) = T* i ai + biEi( － λ2 i ω2 i ) = T* i ( i = 1，2，…，N) { ( 9) 式中，ωi = ( αi－1 /αi ) 1 /2 。 利用式( 9) ，可以将 ai，bi 用 λi 表示，即 a0 = 4πk0T* 1 － QEi( － λ2 1 ) 4πk0 b0 = Q 4πk0 ( 10) ai = T* i Ei( － λ2 i+1 ) － T* i+1Ei( － λ2 i ω2 i ) Ω( λi ) bi = Δθi Ω( λi ) ( i = 1，2，…，N － 1) ( 11) aN = V bN = T* N － V Ei( － λ2 Nω2 N) { ( 12) 式中，Δθi = T* i+1－T* i ; Ω( λi ) = Ei( －λ2 i+1 ) －Ei( －λ2 i ω2 i ) 。 利用相界面上的潜热关系式( 5) 及 bi 的形式可 以得到 － k1 Δθ1 Ω( λ1 ) exp( － λ2 1ω2 1 ) ω1 + Q 4π × exp( － λ2 1 ) = L* λ2 1α0 ( 13) － ki Δθi Ω( λi ) exp( － λ2 i ω2 i ) + ki－1 Δθi－1 Ω( λi－1 ) × exp( － λ2 i ) = L* λ2 i αi－1 ( i = 2，3，…，N － 1) ( 14) － kN T* N － V Ei( － λ2 Nω2 N) exp( － λ2 Nω2 N) + kN－1 ΔθN－1 Ω( λN－1 ) exp( － λ2 N) = L* λ2 NαN－1 ( 15) 式( 13) ～ ( 15) 构成参数 λi 的 N 阶封闭非线性 方程组，利用牛顿迭代法求解这些方程组后得到 λi， 将 λi 代入式( 8) ，( 10) ～ ( 12) 中获得 Si ( t) ，ai，bi，再 将这些参数代入式( 6) 便可以得到各相中的温度解 答。 3 算例分析 3. 1 参数的计算 土 体 孔 隙 率 为 0. 375，初始体积含水量 为 0. 220 8，土体的冻结特性按式( 1) 计算，其中 S = 60 m－1 ，ρd = 1 670 kg /m3 。 各相土体的导热系数按照其成分进行计算，采用 如下公式［15］: k = kθi i kθu u kθs s kθa a ( 16) 式中，ki 为冰的导热系数，2. 32 W/( m·K) ; θi 为冰的 体积含量; ku 为水的导热系数，0. 58 W/( m·K) ; ks 为 土骨架的导热系数，0. 90 7 W/( m·K) ; θs 为土骨架体 积含量; ka 为空气的导热系数，0. 029 W/( m·K) ; θa 为空气的体积含量。 各相土体体积热容采用式( 17) ［15］计算: CV = Ciθi + Cu θu + Csθs + Caθa ( 17) 其中，CV 为体积热容; Ci，Cu，Cs，Ca 分别为冰，未冻 水，土骨架，空气的体积热容，分别取为 1. 922 8×106 ， 4. 18×106 ，2. 227 9×106 ，15. 581 8×102 W/( m3 ·K) 。 若无说明，下文算例中所用参数均与本节相同。 3. 2 解析解的验证 为了验证将土体连续相变过程离散化后得到的 温度场解析解的正确性，将该解析解与土体连续相变 模型下的数值解答进行了对比，柱坐标系中土体连续 相变过程的控制方程为 CV T t = 1 r r kr T ( ) r － Lfρw θu t ( 18) θu = f( T) ( T ≤ Tf ) θu = θ0 ( T ＞ Tf { ) ( 19) 式中，k 为导热系数。 初始、边界条件及计算参数与相应解析解相同， 对于这样的定解问题，没有解析解，作为对比参考，采 用 Matlab 中 pdepe 命令求解其数值解。 下面给出两组算例中解析解与数值解的对比，算 例 1 中 Q= 50 W/m，V = 2 ℃，S = 60 m－1 ; 算例 2 中 Q= 100 W/m，V = 4 ℃，S = 30 m－1 。 1651
1652 炭 学 报 2012年第37卷 图1为算例2中不同N对解析解结果的影响，从 T-V 图中可以看出，N=50时与N=100时的解析解基本 无差异，因此，以下计算中均取N=50作为考虑土体 Lm。λ (20 冻结特性的解析解答。 求解这一方程得到A,再得到相应S(),4,b 0.20 后，便可以获得不考虑未冻水存在时温度场的解答 图3显示了两组解答在单值性条件Q=100W m,V=4℃下，不同S时，冻结锋面推进曲线的对比 0.20 ·解心0 考感未冰水一 0.05 忽略来冻水 400 102d00 图2为两组算例中解析解与数值解得到的冻结 锋面推进曲线的对比，从图中可以看出简化为离散相 025 变后的解析解答与连续相变模型的数值解答一致，从 7020 考虑未冻水一 而说明了本文解析解答的正确性。 0.20 0,10 0.05 16002090 。 02 考虑未冻水 400800120016002000 0.20 路未冻水 010 0.15 400800.12001600200 0.10 。蟹解 (e)$7om 图3未冻水存在对冻结锋面推进过程的影 400 2001600200 Fig.3 er of 两者的对比主要表明了两点：其一是不考虑未冻 水存在时，其冻结锋面推进速度较者虑未陈水存在时 冻结锋面推进速度慢：其二是随着比表面积的增大 未冻水的存在造成的两者之间的差距也在增大（图3 3.3未冻水存在的影响 中2000 时锋面位置的差距分别为0.0181 本节将老虑未冻水存在时的单管冻结问题的温 0.0254,0.0313m)。 度场解答与文献中己有的不考虑未冻水存在时获得 产生的这一差异可以通过土体的冻结特性加以 的解答进行对比，以分析未冻水存在产生的影响 解释，对于不考虑未冻水存在时的解答，其计算中液 不考虑未冻水存在时，土体只能分为冻土与未冻 态水在陈结锋面处完全冻结，释放了大量的相变潜 土两相，其基本方程及条件实际上是式(2)~(5)中 热，对冻结逢面的推进有阻碍作用，并且随着土体比 N=1时的特殊情形，求解中只需要确定一个移动界 表面积的增大，土体负温下含有的未冻水增加.因 面参数A,该参数满足如下方程： 不考虑未冻水便会更大程度的高估锋面处的相变泄 1994-2016 China Academic Joumal Electronic Publishing House All rights reserved http://www.cnki.ne
煤 炭 学 报 2012 年第 37 卷 图 1 为算例2 中不同 N 对解析解结果的影响，从 图中可以看出，N = 50 时与 N = 100 时的解析解基本 无差异，因此，以下计算中均取 N = 50 作为考虑土体 冻结特性的解析解答。 图 1 算例 2 中不同 N 对解析解的影响 Fig. 1 Effect of N on analytical solution of case 2 图 2 为两组算例中解析解与数值解得到的冻结 锋面推进曲线的对比，从图中可以看出简化为离散相 变后的解析解答与连续相变模型的数值解答一致，从 而说明了本文解析解答的正确性。 图 2 解析解与数值解冻结锋面推进对比 Fig. 2 Comparison of analytical solution and numerical solution on advancing freezing front 3. 3 未冻水存在的影响 本节将考虑未冻水存在时的单管冻结问题的温 度场解答与文献中已有的不考虑未冻水存在时获得 的解答进行对比，以分析未冻水存在产生的影响。 不考虑未冻水存在时，土体只能分为冻土与未冻 土两相，其基本方程及条件实际上是式( 2) ～ ( 5) 中 N= 1 时的特殊情形，求解中只需要确定一个移动界 面参数 λ，该参数满足如下方程: Q 4π exp( － λ2 ) － k1 Tf － V Ei( － λ2 ω2 1 ) exp( － λ2 ω2 1 ) = L* α0λ2 ( 20) 求解这一方程得到 λ，再得到相应 S( t) ，ai，bi 后，便可以获得不考虑未冻水存在时温度场的解答。 图 3 显示了两组解答在单值性条件 Q = 100 W/ m，V = 4 ℃下，不同 S 时，冻结锋面推进曲线的对比。 图 3 未冻水存在对冻结锋面推进过程的影响 Fig. 3 Effect of unfrozen water on advancing freezing front for different S 两者的对比主要表明了两点: 其一是不考虑未冻 水存在时，其冻结锋面推进速度较考虑未冻水存在时 冻结锋面推进速度慢; 其二是随着比表面积的增大， 未冻水的存在造成的两者之间的差距也在增大( 图 3 中 2 000 min 时锋面位置的差距分别为 0. 018 1， 0. 025 4，0. 031 3 m) 。 产生的这一差异可以通过土体的冻结特性加以 解释，对于不考虑未冻水存在时的解答，其计算中液 态水在冻结锋面处完全冻结，释放了大量的相变潜 热，对冻结锋面的推进有阻碍作用，并且随着土体比 表面积的增大，土体负温下含有的未冻水增加，因而 不考虑未冻水便会更大程度的高估锋面处的相变潜 1652
第10期 周扬等：考虑未冻水单管冻结温度场解析解 1653 热，从而更加低估冻结锋面的移动速度， .2004.34(4):469-473 回]装这松，沈春福.冯强.外禁恒温条件下单管裤结温度场解析 4结 论 计算0，爆炭学报，2010,35(6)：923-927. Jiang Binsong.Shen Chunru,Feng Qiang..Analytical formulation o (1)针对冻结法工程中经典的单管冻结问题，考 虑土体的实际冻结特性，在将负温下土体中水的连续 相变过程离散化后，建立了其温度场的离散相变 型，并给出了模型的解析计算方法，将该解答与连续 id ttar 相变模型下的数值解进行了对比，验证了解析解答的 正确性， ,2010,46(8):989-9 (2)对比了本文解答与文献中不考虑未冻水存 明向东，何提秀.多排管直线冻士墙平均温度的等效梯度计算 在时的解答，结果表明：忽略未冻水的存在将低估诊 方法0.炭学报，209,34(1):146 结锋面的推进速度，并且随者土体比表面积的增加， d lumdl of Ching Codl sicts.309.34113-145-1469 其低估程度增大。 可汪仁和，李株伟.正冻士中水热耦合数学模型及有限元数值模 参考文献： 拟0.煤炭学报，200%，31(6)：757-760. Wang Renhe,Li Dongwe D]李述训.立并涤结法并工程中的热工计算.冰川士 194,16(1):181-185 316.170 Li Shu 王，杨好，任度龙冻然法番井冻结温度场的数值反演与 ters in drilling shaft of artificial fro 模拟.中圆矿业大学学报，2005.34(3)：626-629 1994,16(1):181-185 Wang Yansen.Yang Wcihao.Ren Yanlong.Numerical buck anal 结壁形成及其温度分布的有限元法口.煤炭 field foe shaft sinking with artifi Journal of China University o 下冻结管壁热流密度变化规 shaft sinking Joumal of China Coal Society,1979(2):29-37 数值计算研究0.冰川士，2006.28(3)：401-405. 】胡向东，黄峰，白.考忠土层冻结温度时人工冻结温度场 Yanz Weihao.Huanz jiabui.Numerical analsis on the beat fu 模型们.中国矿业大 学报，2008 374)550-55 v of a fm g pipe with e a-tant ouler surface Hu 12 可蒋斌松，王金鹤，周国庆.单管冻结温度场解析计算门.中国矿 .Soil Sei.Soc.Am.Pmoe..1971.35 业大学学报，2009,38(4)：463-466. g8-0 Jia Binsong,anging D3 Anderon D M.Tioe A R.The interfacial phase in froe od Chin oil water systems [Ecol.Stud.1973(4):107-124 )]李方政，明萍.基于指数积分函数的人工冻士温度场解析研 究m东南大学整据.004.4460-4 rties of soils []Gemmam:Tram ture field of artifieial frooen soil by exponent-integral funetion Tech Publicstions.1986 1994-2016 China Academie Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne
第 10 期 周 扬等: 考虑未冻水单管冻结温度场解析解 热，从而更加低估冻结锋面的移动速度。 4 结 论 ( 1) 针对冻结法工程中经典的单管冻结问题，考 虑土体的实际冻结特性，在将负温下土体中水的连续 相变过程离散化后，建立了其温度场的离散相变模 型，并给出了模型的解析计算方法，将该解答与连续 相变模型下的数值解进行了对比，验证了解析解答的 正确性。 ( 2) 对比了本文解答与文献中不考虑未冻水存 在时的解答，结果表明: 忽略未冻水的存在将低估冻 结锋面的推进速度，并且随着土体比表面积的增加， 其低估程度增大。 参考文献: ［1］ 李述训． 立井冻结法凿井工程中的热工计算［J］． 冰川冻土， 1994，16( 1) : 181－185． Li Shuxun． Approximate calculating method of some design parameters in drilling shaft of artificial freezing［J］． Journal of Glaciology and Geocryology，1994，16( 1) : 181－185． ［2］ 张 燕． 预报冻结壁形成及其温度分布的有限元法［J］． 煤炭学 报，1979( 2) : 29－37． Zhang Yan． Using finite element method to predict the formation and temperature distribution of the freezing-wall in the freezing method of shaft sinking［J］． Journal of China Coal Society，1979( 2) : 29－37． ［3］ 胡向东，黄 峰，白 楠． 考虑土层冻结温度时人工冻结温度场 模型［J］． 中国矿业大学学报，2008，37( 4) : 550－555． Hu Xiangdong，Huang Feng，Bai Nan． Models of artificial frozen temperature field considering soil freezing point［J］． Journal of China University of Mining ＆ Technology，2008，37( 4) : 550－555． ［4］ 蒋斌松，王金鸽，周国庆． 单管冻结温度场解析计算［J］． 中国矿 业大学学报，2009，38( 4) : 463－466． Jiang Binsong，Wang Jinge，Zhou Guoqing． Analytical calculation of temperature field around a single freezing pipe［J］． Journal of China University of Mining ＆ Technology，2009，38( 4) : 463－466． ［5］ 李方政，夏明萍． 基于指数积分函数的人工冻土温度场解析研 究［J］． 东南大学学报，2004，34( 4) : 469－473． Li Fangzheng，Xia Mingping． Study on analytical solution of temperature field of artificial frozen soil by exponent-integral function［J］． Journal of Southeast University，2004，34( 4) : 469－473． ［6］ 蒋斌松，沈春儒，冯 强． 外壁恒温条件下单管冻结温度场解析 计算［J］． 煤炭学报，2010，35( 6) : 923－927． Jiang Binsong，Shen Chunru，Feng Qiang． Analytical formulation of temperature field of single freezing pipe with constant outer surface temperature［J］． Journal of China Coal Society，2010，35( 6) : 923 － 927． ［7］ Zhou Yang，Zhou Guoqing． Numerical simulation of coupled heat-fluid transport in freezing soils using finite volume method［J］． Heat and Mass Transfer，2010，46( 8) : 989－998． ［8］ 胡向东，何挺秀． 多排管直线冻土墙平均温度的等效梯度计算 方法［J］． 煤炭学报，2009，34( 11) : 1465－1469． Hu Xiangdong，He Tingxiu． Equivalent trapezoid method of average temperature calculation for multi-row-pipe straight frozen soil wall ［J］． Journal of China Coal Society，2009，34( 11) : 1465－1469． ［9］ 汪仁和，李栋伟． 正冻土中水热耦合数学模型及有限元数值模 拟［J］． 煤炭学报，2006，31( 6) : 757－760． Wang Renhe，Li Dongwei． Moisture-temperature coupling mathematical model in freezing soil and finite element numerical simulation ［J］． Journal of China Coal Society，2006，31( 6) : 757－760． ［10］ 王衍森，杨维好，任彦龙． 冻结法凿井冻结温度场的数值反演与 模拟［J］． 中国矿业大学学报，2005，34( 3) : 626－629． Wang Yansen，Yang Weihao，Ren Yanlong． Numerical back analysis and simulation of temperature field for shaft sinking with artificial ground freezing method［J］． Journal of China University of Mining ＆ Technology，2005，34( 3) : 626－629． ［11］ 杨维好，黄家会． 外壁恒温条件下冻结管壁热流密度变化规律 数值计算研究［J］． 冰川冻土，2006，28( 3) : 401－405． Yang Weihao，Huang Jiahui． Numerical analysis on the heat flux density of a freezing pipe with constant outer surface temperature ［J］． Journal of Glaciology and Geocryology，2006，28 ( 3 ) : 401 － 405． ［12］ Anderson D M，Tice A R． Low temperature phases of interfacial water in clay-water systems［J］． Soil Sci． Soc． Am． Proc． ，1971，35: 498－504． ［13］ Anderson D M，Tice A R． The unfrozen interfacial phase in frozen soil water systems［J］． Ecol． Stud． ，1973( 4) : 107－124． ［14］ Vlodek R T，Bernhard W． On the prediction of hydraulic conductivity of frozen soils［J］． Canadian Geotechnical Journal，1996，33: 176－180． ［15］ Farouki O T． Thermal properties of soils［M］． Germany: Trans． Tech． Publications，1986． 1653
