《高等传热学》课程教学资源（文献资料）寒区圆形截面隧道温度场的解析解

第23杂第2期 冰川冻土 Vol.23 No.2 2001年6月 JOURNAL OF GLACIOLOGY AND GEOCRYOLOGY Jm.2001 文章编号：1000-0240(2001)02-012605 寒区圆形截面隧道温度场的解析解 赖远明，喻文兵，吴紫汪，何平，张孟喜2 (1中国科学院寒区早区环境与工程研究所冻土工程国家重点实验室甘肃兰州00 2.兰州铁道学院土木工程系，甘肃兰州73000 摘要：根据冻土地区的实际情况对圆形隧道正冻区和未冻区的热传导方程进行简化应用无量纲量 和摄动技术对简化方程进行求解给出了圆形隧道冻结过程的近似解析解通过和有限元数值解结果比 较发现该近似解析解具有较高的精度，能满足工程实际的精度要求.该解既可用于工程估算也可用米 检验数值计算的计算程序及结果， 关键同：寒区：馑道：温度场：近似解析解 中图分类号：T445 文献标识码：A 1引言 微分方程应用伽辽金法导出了这一问题的有限元 计算公式，以大坂山隧道为例考察了渗流和保温层 对于冻土研究中遇到的大多数有相变的热传导 对洋道用岩冻深的影响规律，到目前为止还没有圆 问题只能求近似解和数值解对于高维问题，即使 形隧道冻结问题的解析解。本文应用摄动技术导出 用近似方法也很难给出解析解，个别问题尽管可以 圆形隧道冻结问题的近似解析解该解既可用于工 用近似方法使问题简化，但最终结果的获得还需要 程估算也可用来检验数值计算的计算机程序. 应用数值方法.所以，数值方法便成为求解有相变 2 数学模型及其求解过程 热传导问颜的非常重要的方法，尽管如此。近以方 法能够给出系统中各物理量和时间及空间变量之间 对于图1所示圆形隧道，假设大气的温度为 明确的数值关系，近似解析解也能用来检查数值解 T,隧道内径为a,冻结锋面半径为R"(t),正 和计算机程序的可靠性.此外，在工程实际中，技 冻和未冻围岩的热物理学参数保持不变热量传布 术人员偏爱于简便易行又满足工程精度的简单解析 是通过热传导进行的，在正冻和未冻状态中的热传 解，以使省去繁琐的数值计算前的数据准备和输入 导方程为： 工作 在冻结区0内有： 许多学者都研究过管道表面结冰的问题。 Ehmg提出了与此问题相关的准静态解，Pekarisc a 部+剽 al.给出了一阶正确准静态解Hwarg)考察了由 a<r*<R‘(t) 1) Carslaw et al..提出的埋设管道冻结的二维数值解的 正确性：何春雄等建立了隧道内空气与围岩对流 a=ia.-刀a 换热及固体传热影响的综合模型，分析了隧道内空 T(R().)=Tr (3) 气分别为层流和混流的情况时，隧道内气温及围岩 冻结、融化状况：赖远明等9根据传热学和渗流理 式中：∫为冻结状态；T、G和入y分别为正冻区 内围岩的温度、体积比热和导热系数 论导出了带相变的温度场和渗流场糕合问题的控制 作者简介，扰明1④6 男。江西龙南入 新福琴项里科入入选99年在中国科学院兰州冰川冻士研 21994-20所铁裤士位丰从岩程和结构工程方的科研和教学工作，伊p w.enkine

第 23 卷 第 2 期 2 0 0 1 年 6 月 冰 川 冻 土 JOURNAL OF GLACIOLOGY AND GEOCRYOLOGY Vol.23 No.2 Jun .2 0 0 1 文章编号 :1000-0240(2001)02-0126-05 寒区圆形截面隧道温度场的解析解 收稿日期:2000-09-15;修订日期:2000-12-25 基金项目:中国科学院寒区旱区环境与工程研究所知识创新工程项目(CACX210013)资助 作者简介:赖远明(1962—), 男, 江西龙南人, 博士, 教授, 博导, 中国科学院“百人计划”入选者, 1999年在中国科学院兰州冰川冻土研 究所获博士学位, 主要从事岩土工程和结构工程方面的科研和教学工作.E-mail :ymlai@ns.lzb.ac .cn 赖远明 1 , 喻文兵 1 , 吴紫汪 1 , 何 平 1 , 张孟喜 2 (1.中国科学院 寒区旱区环境与工程研究所冻土工程国家重点实验室, 甘肃 兰州 730000; 2.兰州铁道学院 土木工程系, 甘肃 兰州 730000) 摘 要:根据冻土地区的实际情况对圆形隧道正冻区和未冻区的热传导方程进行简化, 应用无量纲量 和摄动技术对简化方程进行求解, 给出了圆形隧道冻结过程的近似解析解.通过和有限元数值解结果比 较, 发现该近似解析解具有较高的精度, 能满足工程实际的精度要求.该解既可用于工程估算也可用来 检验数值计算的计算程序及结果. 关键词:寒区;隧道;温度场;近似解析解 中图分类号:TU445 文献标识码:A 1 引言 对于冻土研究中遇到的大多数有相变的热传导 问题只能求近似解和数值解, 对于高维问题 , 即使 用近似方法也很难给出解析解 , 个别问题尽管可以 用近似方法使问题简化, 但最终结果的获得还需要 应用数值方法.所以, 数值方法便成为求解有相变 热传导问题的非常重要的方法.尽管如此, 近似方 法能够给出系统中各物理量和时间及空间变量之间 明确的数值关系 , 近似解析解也能用来检查数值解 和计算机程序的可靠性 .此外, 在工程实际中 , 技 术人员偏爱于简便易行又满足工程精度的简单解析 解, 以便省去繁琐的数值计算前的数据准备和输入 工作 . 许多学者都研究过管道表面结冰的问题 . Elmer 〔1〕提出了与此问题相关的准静态解;Pekeris et al .〔2〕给出了一阶正确准静态解;Hwang 〔3〕考察了由 Carslaw et al .〔提4〕出的埋设管道冻结的二维数值解的 正确性;何春雄等〔5〕建立了隧道内空气与围岩对流 换热及固体传热影响的综合模型 , 分析了隧道内空 气分别为层流和混流的情况时 , 隧道内气温及围岩 冻结、 融化状况;赖远明等[ 6] 根据传热学和渗流理 论导出了带相变的温度场和渗流场耦合问题的控制 微分方程, 应用伽辽金法导出了这一问题的有限元 计算公式, 以大坂山隧道为例考察了渗流和保温层 对隧道围岩冻深的影响规律 .到目前为止还没有圆 形隧道冻结问题的解析解.本文应用摄动技术导出 圆形隧道冻结问题的近似解析解, 该解既可用于工 程估算也可用来检验数值计算的计算机程序. 2 数学模型及其求解过程 对于图 1 所示圆形隧道 , 假设大气的温度为 Ta , 隧道内径为 a , 冻结锋面半径为 R ＊(t ＊), 正 冻和未冻围岩的热物理学参数保持不变, 热量传布 是通过热传导进行的, 在正冻和未冻状态中的热传 导方程为: 在冻结区 Ψf 内有: T ＊ f t ＊ = λf Cf 2 T ＊ f r ＊2 + 1 r ＊ T ＊ f r ＊ , a <r ＊ <R ＊(t ＊) (1) λf T ＊ f r ＊(a , t ＊)=α[ T ＊ f (a , t ＊)-Ta] (2) T ＊ f (R ＊(t ＊), t ＊)=Tf (3) 式中:f 为冻结状态 ;T ＊ f 、 Cf 和λf 分别为正冻区 Ψf 内围岩的温度、 体积比热和导热系数

2期 赖远明等：寒区圆形截而隧道温度场的解析解 127 a<r"<R*(t') 8) .r T旷(R*(.t')= R*(0)=a 式中：T广(，t)为在1时刻正冻围岩位于， 处的温度：R(:)为在1时刻冻结锋面的位置 图1圆形隧道 引进无量纲量 ===答 (11) 在未冻结区0内有： -+ R*(t*)<r*<o∞ 1=c”0B=名 (12) 则方程(8)~(10)简化为： Ti(∞t*)=T 哥-+部 式中：表示未冻结状态：T、C,和入，分别为未 冻区内围岩的温度、体积比热和导热系数. 1<r<R() (3) 在冻结锋面有： T1,D-B4,)=1.TR)=0 Ti(R'(.')=Ti(R*(.t)=T(6) (14) 哥(R.)=-竖R0)=1 (15 为了简化方程(13)~(15)，再次引入新的变量： (7) p=贤t=eR,T0=R)6 R'(0)=a 则方程(13)~15)变为： 式中：L为含水岩土的相变潜热 ne21-p”e=e(.t)(Ae-tu） (7) 由于方程组(1)~(7)没有完备的解析解，为了 -Be(0)=1-u(0.月，u(1.t)=0(18) 集中研究冻结锋面的运动本质，避免求解的困难， 假设融土开始时的温度均处于T在边界r=a处 w,）=- ,(0)=0 的对流空气的温度为T。(恒温).当隧道横截面处于 (9) 多年冻土以下50m以内，根据3%的地热梯度，可 对于较大的？值。可用常规的摄动技术求解方 程组(17)一(19).设： 知位于隧道战面中心处的温度只有1.5，和零度 之间相差较少，即初始未冻围岩的温度场比较均 匀而且和零度接近。故近似假设未冻围岩部分的 a)=oa+g+g+ 初始温度场为均匀温度场，因此式(1)~(7)简化 (20) 为1994-2015 China Academic Joumal Electronic Publishi将式20)f代入武SlZ)CI9a.得：tp/Mwww.cmki.nct

图 1 圆形隧道 Fig.1 Circular tunnel 在未冻结区 Ψu 内有 : T ＊ u t ＊ = λu Cu 2 T ＊ u r ＊2 + 1 r ＊ T ＊ u r ＊ , R ＊(t ＊)<r ＊ < ∞ (4) T ＊ u (∞, t ＊)=Tl (5) 式中 :u 表示未冻结状态;T ＊ u 、 Cu 和 λu 分别为未 冻区 Ψu内围岩的温度 、 体积比热和导热系数 . 在冻结锋面有: T ＊ f (R ＊(t ＊), t ＊)=T ＊ u (R ＊(t ＊), t ＊)=Tf (6) λf T ＊ f r ＊(R ＊(t ＊), t ＊) -λu T ＊ u r ＊(R ＊(t ＊), t ＊)=L dR ＊ dt ＊ (7) R ＊(0)=a 式中 :L 为含水岩土的相变潜热 . 由于方程组(1)～ (7)没有完备的解析解 , 为了 集中研究冻结锋面的运动本质, 避免求解的困难 , 假设融土开始时的温度均处于 T0 , 在边界 r =a 处 的对流空气的温度为 Ta(恒温).当隧道横截面处于 多年冻土以下 50 m 以内 , 根据 3 %的地热梯度 , 可 知位于隧道截面中心处的温度只有 1 .5 ℃, 和零度 之间相差较少 , 即初始未冻围岩的温度场比较均 匀, 而且和零度接近, 故近似假设未冻围岩部分的 初始温度场为均匀温度场, 因此, 式(1)～ (7)简化 为: T ＊ f t ＊ = λf Cf 2 T ＊ f r ＊2 + 1 r ＊ T ＊ f r ＊ , a <r ＊ <R ＊(t ＊) (8) λf T ＊ f r ＊(a , t ＊)= α[ T ＊ f (a , t ＊)-Ta] T ＊ f (R ＊(t ＊), t ＊)=Tf (9) λf T ＊ f r ＊(R ＊(t ＊), t ＊)=L dR ＊ dt R ＊(0)=a (10) 式中:T ＊ f (r ＊ , t ＊)为在 t ＊时刻, 正冻围岩位于 r ＊ 处的温度;R ＊(t ＊)为在 t ＊时刻冻结锋面的位置. 引进无量纲量 r =r ＊ a , R =R ＊ a , t = λft ＊ Cfa 2 (11) T(r , t)= Tf -T ＊ f (r ＊ , t ＊) Tf -Ta , η= Lρ Cf(Tf -Ta) , β = λf αa (12) 则方程(8)～ (10)简化为: T t = 2 T r 2 + 1 r T r , 1 <r <R(t) (13) T(1 , t)-β T r (1 , t)=1 , T(R(t), t)=0 (14) T r (R(t), t)=-η dR dt , R(0)=1 (15) 为了简化方程(13)～ (15),再次引入新的变量 : ρ= logr logR , τ=logR , T(r , t)=u(ρ, τ) (16) 则方程(13)～ (15)变为: ηe 2r(1-ρ) uρρ =uρ(1 , τ)(ρuρ-τuτ) (17) -βuρ(0 , τ)=τ[ 1 -u(0 , τ)] , u(1 , τ)=0 (18) uρ(1 , τ) =- ηe ττ d τ dt , τ(0) = 0 (19) 对于较大的 η值, 可用常规的摄动技术求解方 程组(17)～ (19).设: u(ρ, τ)=u0(ρ, τ)+ u1(ρ, τ) η + u2(ρ, τ) η2 +0 1 η 3 (20) 将式(20)代入式(17)～ (19), 得 : 2 期 赖远明等:寒区圆形截面隧道温度场的解析解 127

128 冰 川 土 23卷 0=0 Boe(0.t)=1-uo(0.t，u0=(,t)= -12R(B gR)(BgR) X(-23-3-2gR[-(3+logR)X (21) X (3-28-2logr)(3+bgr) e=()(Puoe-o) (22) ×(3-23-21gR)R-3-123+83 X (logr-bgR85-5(B+logR) 和 +2(3+logR)R-(8+logR) =mp (1 Pu-wo) X (1-8-bgr)+(3+bgr) +uop(Pure-tut) (23) X(1-B-bgR)R2-(1-2B+2B -Bp(0.t)=-2(0.t),(1,t)=0 ×Igr-gR)1-40(1-23+2B3 求解方程21)-(23)可得(t,1(,t) XI-(B+logR)r2+(B+logr)R2 2(p,t的表达式为： -(1-23)(1og-logR]+8(1-23 (B) (24) +283(23+5+2lgR)(ogr-lgR) 【-(3+lgR)r2+1-23)logR+ ()-((+)(1-B-0)m (29) 将式(27).(28)和(29)代入式(19)并积分，可得到冻 +B+)×(1-B-)e2x-4 结锋面移动和时间的关系： -23+233x(P-1)月 (25) -4r 1=2R1gR+1-28)1-R)H士 ,t)-12s+可+2+2r+3》 X[-(B+t)X(-2B+3-2Pr)e X1-2++器 +(B+:)(-23+3-2r)e-(3-123 +833x(p-1)+85-5(3+x) +2(B+)22×[-(B+) +2D(3+lgR)2-21(3+bgR)+8R X -B+1-Pr)e2 -8(1-23+23[2-B+1-lgR)R -(1-28+293+5-203+4032 +(3+)(1-B-x)2 -(1-28+233x(p-1月 -9g+eR+引 (30) -40(1-23+2B3 将冻结锋面半径R代入上式，可算出与该冻深所需 X[-(B+t)e+(B+Pr)e2 冻结时间1. -(1-2)x(p-1)叶8(1-23+23 3数值结果与比较 ×(28+2t+5)r(p-1[-(3+x)e2 +-23)x+ (26 有一圆形隧道内径a=3.0m,其正冻围岩的 将式(16)代入式24)~(26)得 体积比热和导热系数分别为C=1.617×10Jm .℃1和y=1.8247Wm1.℃1.其未冻围岩的体 (27) 积比热和导热系数分别为C=1.929X10J“m M=4Rg+lgR了仁(B+bgR) ·℃-1和入w=1.4338Wm1.℃，体积相变潜热 (L)为46.44X10Jm3,大气温度T。=-3℃.下 X (1-B-logr)2+(B+bgr) 面分两种情况考察本文导出的近似公式的精度. ×(1-B-lgR)R2-1-2B+2B3 (1)当空气和围岩的对流换热系数为a=15.0 21994-2个Qg后bg2 oEro（28》blishou时，围岩的初始温度为=0n9时的

u0ρρ =0 -βu0ρ(0 , τ)=τ[ 1 -u0(0 , τ)] , u0 =(1 , τ)=0 (21) e 2τ(1-ρ) u1ρρ= u0 ,ρ(1 , τ)(ρu0ρ-τu0τ) -βuu1ρ(0 , τ)=-τu1(0 , τ), u1(1 , τ)=0 (22) 和 e 2τ(1-ρ) u2ρρ =u1ρ(1 , τ)(ρu0ρ-τu0τ) +u0ρ(ρu1ρ-τu1τ) -βu2ρ(0 , τ)=-τu2(0 , τ), u2(1 , τ)=0 (23) 求解方程(21)～ (23)可得 u0(ρ, τ), u1(ρ, τ), u2(ρ, τ)的表达式为 : u0(ρ, τ)= -τ(ρ-1) β +τ (24) u1(ρ, τ)= e -2τ 4(β +τ)4{-(β +τ)(1 -β -ρτ)e 2ρτ +(β +ρτ)×(1 -β -τ)e 2τ-(1 -2β +2β )2 τ(ρ-1)} (25) u2(ρ, τ)= -e -4τ 128(β +τ) 7{(β +τ)(2β +2τ+3) ×[ -(β +τ)×(-2β +3 -2ρτ)e 4ρτ +(β +ρτ)(-2β +3 -2 τ)e 4τ-(3 -12β +8β 2)τ(ρ-1)〗+8[ 5 -5(β +τ) +2(β +τ)2〗e 2τ×[ -(β +τ) ×(-β +1 -ρτ)e 2ρτ +(β +ρτ)(1 -β -τ)e 2τ -(1 -2β +2 β 2)τ(ρ-1)] -40(1 -2β +2β )2 ×[ -(β +τ)e 2ρτ+(β +ρτ)e 2τ -(1 -2β)τ(ρ-1)〗+8(1 -2β +2β )2 ×(2β +2 τ+5)τ(ρ-1)[ -(β +τ)e 2ρτ +(1 -2β)τ+β] } (26) 将式(16)代入式(24)～ (26)得 u0 =- logr -logR β +logR (27) u1 = 1 4R 2(β +logR) 4{-(β +logR) ×(1 -β -log r)r 2 +(β +logr) ×(1 -β -logR)R 2 -(1 -2β +2β 2) ×(log r -logR) (28) u2 = 1 -128R 4(β +logR) {-(β +logR) ×(-2 β -3 -2logR)[ -(β +logR)× ×(3 -2β -2log r)r 4 +(β +logr) ×(3 -2β -2logR)R 4 -(3 -12β +8β 2) ×(log r -logR)] +8[ 5 -5(β +logR) +2(β +logR)2〗R 2 [ -(β +logR) ×(1 -β -logr)r 2 +(β +logr) ×(1 -β -logR)R 2 -(1 -2 β +2β 2) ×(log r -logR)〗-40(1 -2β +2 β 2) ×[ -(β +logR)r 2 +(β +log r)R 2 -(1 -2β)(logr -logR] +8(1 -2β +2β 2)(2β +5 +2logR)(logr -logR) [ -(β +logR)r 2 +(1 -2 β)logR +β] } (29) 将式(27),(28)和(29)代入式(19)并积分, 可得到冻 结锋面移动和时间的关系: t = η 4 [ 2R 2 logR +(1 -2β)(1 -R 2)〗+ 1 4 ×[ (1 -2β +R 2)+ 1 -2β +2β 2-R 2 β +logR ] + 1 128ηR 2(β +logR) 4{[ -8(β +logR) 3 +20(β +logR) 2 -21(β +logR)+8〗R 4 -8(1 -2β +2β 2)[ 2(-β +1 -logR)R 2 -(1 -2β +2β )2〗+(5 -20β +40 β 2 -32 β 3)(β +logR)}+0 1 η 2 (30) 将冻结锋面半径 R 代入上式, 可算出与该冻深所需 冻结时间 t . 3 数值结果与比较 有一圆形隧道内径 a =3 .0 m , 其正冻围岩的 体积比热和导热系数分别为 Cf =1 .617 ×10 6 J·m -3 ·℃-1和 λf =1 .8247 W·m -1·℃-1 .其未冻围岩的体 积比热和导热系数分别为 Cu =1 .929 ×10 6 J·m -3 ·℃-1和 λu =1 .4338 W·m -1·℃-1 , 体积相变潜热 (ρL)为46 .44 ×10 6 J·m -3 , 大气温度 Ta =-3 ℃.下 面分两种情况考察本文导出的近似公式的精度 . (1)当空气和围岩的对流换热系数为 α=15 .0 W·m -1·℃-2时, 围岩的初始温度为 T0 =0 ℃时的 128 冰 川 冻 土 23 卷

2期 赖远明等：寒区圆形截面隧道温度场的解析解 129 近似解析解和初始温度分别为T一-0℃和T6-1.5 从表1可知，当围岩的初始温度为T6=0℃ ℃时的数值解见表1. 表1a=15.0Wm2.℃-时的近似解析解和数值解的结果 Table I Realts of approximae soton and numerical solution when a=15.0 W'm 近似解析解 数值解 T=0℃ T=0℃ T=L.s℃ 时间彫 冻结锋面半径 时同V 冻结锋面半径 时同V 冻结锋面半径m 5.33 4.0 5.33 5.7 6.23 2.0 6.23 370 40 20 7837 7837 50 7145 表2a一©○时的近似解析解和数值解的结果 Table 2 Results of approximate analtical solution and numerical solution when a 近似解析解 数值解 T=0 C T=00 T=L.5 时间/ 冻结锋面半径m 时间/ 涂锋面半径/国 时间/ 冻结锋面半径/ 636 8 2487 2487 4 5.0m1 7.958 7.958 50 7.316 时，由近似解析解可确定当冻结锋面半径R= 始温度小于1.5℃时，该近似解析解和数值解之间 7.837m,所需的冻结时间为1=5.039a.由数值解 的误差较小，可用于工程实际中估算冻结锋面的位 可知，只要5a时间，冻结锋面半径可达7.837m, 置.当围岩的初始温度为0℃时，该近似解的结果 两者的误差为0.78%.从表1还可以看到当围岩的 完全吻合于数值结果故可用该解析解来检验数值 初始温度大于1.5℃时，近似解析解的结果和数值 解和计算机程序的正确性】 解的结果相差较大.误差可达8.83%这时近似解 参考文献(References) 析解只能用于工程实际中的近似估算. (2)当空气和围岩的对流换热系数为a→时， 即取与空气接触的围岩表面温度等于空气温度，当 1.B.Pablem of ice fomti.urml o 围岩的初始温度为T0=0Q时的近似解析解和初始 Appfed 193 10:135-17. 温度分别为To=0℃和To=1.5℃时的数值解见表 (3)Hwag C T.On qui-static Soltioas fo buried pipes in pemafos I.Camdian burmL 1977.14:180-191. 2. (4)HS C.Conluction of Heat in Solids (2n Ed.) 从表2可以看到，当a→c∞围岩初始温度为 T0℃时，二级摄动近似解析解和数值解之间几 乎没有误差.当围岩初始温度为T0=1.5℃时，由 and.2000 表2可知，用近似解析解估算的冻结锋面半径为 22(2:113-12D.【何春能吴紫汪朱林楠.祁连山区大坂山 道国岩的冻融状况分析月.冰川冻土200022(2)：113 7.958m,用数值解算出的结果为7.316m两者相 差8.07%. 〔6 通过以上分析可以看到。随着对流换热系数。 的增大近似解析解的精度逐渐提高：总围岩的初1 ishing H9™299的 'reserved.http://www.cnki.net

近似解析解和初始温度分别为 T0=0 ℃和 T0 =1 .5 ℃时的数值解见表 1 . 从表1可知 , 当围岩的初始温度为T0 =0 ℃ 表 1 α=15 .0 W·m -2·℃-1时的近似解析解和数值解的结果 Table 1 Results of approximate solution and numerical solution when α=15.0 W·m -1·℃-1 近 似 解 析 解 T0=0 ℃ 时 间/ a 冻结锋面半径/ m 数 值 解 T0 =0 ℃ 时 间/ a 冻结锋面半径/m T0 =1.5 ℃ 时 间/ a 冻结锋面半径/m 1.075 5.332 1.0 5.332 1.0 5.087 2.131 6.237 2.0 6.237 2.0 5.824 3.077 6.847 3.0 6.847 3.0 6.364 4.046 7.370 4.0 7.370 4.0 6.808 5.039 7.837 5.0 7.837 5.0 7.145 表 2 α※∞时的近似解析解和数值解的结果 Table 2 Results of approximate analytical solution and numerical solution when α※∞ 近 似 解 析 解 T0=0 ℃ 时 间/ a 冻结锋面半径/ m 数 值 解 T0 =0 ℃ 时 间/ a 冻结锋面半径/m T0 =1.5 ℃ 时 间/ a 冻结锋面半径/m 1.082 5.463 1.0 5.463 1.0 5.204 2.123 6.360 2.0 6.360 2.0 5.942 3.053 6.966 3.0 6.966 3.0 6.491 4.009 7.487 4.0 7.487 4.0 6.940 5.001 7.958 5.0 7.958 5.0 7.316 时 , 由近似解析解可确定当冻结锋面半径R = 7 .837 m , 所需的冻结时间为 t =5 .039 a .由数值解 可知 , 只要 5 a 时间 , 冻结锋面半径可达 7 .837 m , 两者的误差为 0 .78 %.从表 1 还可以看到当围岩的 初始温度大于 1 .5 ℃时, 近似解析解的结果和数值 解的结果相差较大.误差可达 8 .83 %, 这时近似解 析解只能用于工程实际中的近似估算. (2)当空气和围岩的对流换热系数为α※∞时 , 即取与空气接触的围岩表面温度等于空气温度 , 当 围岩的初始温度为 T0 =0 ℃时的近似解析解和初始 温度分别为 T0 =0 ℃和 T0 =1 .5 ℃时的数值解见表 2 . 从表 2 可以看到 , 当 α※∞, 围岩初始温度为 T0=0 ℃时, 二级摄动近似解析解和数值解之间几 乎没有误差 .当围岩初始温度为 T0 =1 .5 ℃时, 由 表2可知 , 用近似解析解估算的冻结锋面半径为 7 .958 m , 用数值解算出的结果为7 .316 m, 两者相 差8 .07 %. 通过以上分析可以看到 , 随着对流换热系数 α 的增大 , 近似解析解的精度逐渐提高.当围岩的初 始温度小于 1 .5 ℃时, 该近似解析解和数值解之间 的误差较小 , 可用于工程实际中估算冻结锋面的位 置 .当围岩的初始温度为 0 ℃时 , 该近似解的结果 完全吻合于数值结果, 故可用该解析解来检验数值 解和计算机程序的正确性. 参考文献(References): 〔1〕 Elmer S L.Ice formation on pipe surf ace[ J] .Refrigerating Engineer￾ing, 1932 , 24:17-19. 〔2〕 Pekeris C L, Slichter L B .Problem of ice formation[ J] .Journal of Appli ed Physics, 1939 , 10:135-137. 〔3〕 Hwang C T.On quasi-static Solutions for buried pipes in permafrost [ J] .Canadian Geotechni cal Journal, 1977 , 14:180-191. 〔4〕 Carslaw H S , Jaeger J C .Conduction of Heat in Solids (2nd Ed.) [ M] .Oxford:Clarendon Press, 1965. 〔5〕 He Chunxiong, Wu Ziwang , Zhu Linnan.Analysis of freeze -thaw condition in the surrounding rock wall of the Dabanshan Tunnel in the QilianMountains[ J] .Journal of Glaciology and Geocryology , 2000 , 22(2):113～ 120.[ 何春雄, 吴紫汪, 朱林楠.祁连山区大坂山 隧道围岩的冻融状况分析[ J] .冰川冻土, 2000 , 22(2):113- 120.] 〔6〕 Lai Yuanming , Wu Ziwang , Zhu Yuanlin and Zhu Linnan.Nonlinear analysis for the coupled problem of temperature and seepage fields in cold regions tunnels [ J] .Cold Regions Science and Technology , 1999 , 29(1):89-96. 2 期 赖远明等:寒区圆形截面隧道温度场的解析解 129

130 冰 族 土 23卷 Approximate Analytical Solution for the Temperature Fields of a Circular Tunel in Cold Regions LAI Yuan-ming',YU Wen-bing',WU Zi-wang',He Ping',ZHANG Meng-xi 730.Chind: 2.Department of Civil Enginaring.Lachot Raikay Uniursiv.lalou Gos B070 Chin) Abstract.Acoording to the situation in pemafrost e- tion is only 5 years for the same frost front radus.The er app analytical results and the Then numerical resultsare4.6%,6.62%7.05%7.63% using dmensionless and perturbative method.an appoxi- and 8.83%for the initial temperature of surounding mate analytical solution for simplified heat transfer equa- mocks of 1.5 C.For the initial temperature of sur circular tumel with initial temperature near 0 ounding rock kss than 1.5C the approximate analyti cal solution can be used in practical engineering.be been made. cause the emor less than 5%can be ignored from the en- As a numerical example a circular tunnel in cold region has been studied.Its inner radius is gineering point of view. 3.0m The themmal the Condition 2 The convective heat- -transfer coeffi- cient between air and rock verges to infinity,i.e..the nic specific hea里fis surounding rock in frozen area are入y=L.8247W·m1K-1andC=1. temperature at the tunnel surface is equal to the air tem- perature.The results of approximate analytical solution and the numerical solution are given in Table 2 for two ductivity and the volumetric specific heat of its suound ing rocks in unfrozen area are=1.4338 W'mK temperatures From Table 2.on can see that there are almost ne and C=1.99X10J'm3K.Besides,its volumet- eror between the perturbative approximate analytical solu- ion and the numerical olutionor the initial temperatur of aumunding mck of 0C.The emors between the ap The precision of the ae formulae in this pa poximate ana per has bee lytical results Comdition I The corvective heat-transfer coeffi- 4.75%6.5866.82%.7.31%and8.07%far cient hetween air and mcks is 15 00W'm2K)and of T the frozn temperatue of the rock- nel,is-0.1 C.The approximate analytical s for From the mentioned above.one can conclude that the initial temperature of the sumounding rock of 0 C can be obtained using the fomulae of this paper Again transfer coefficient.The emor between the approximate method.presented by Lai et al..are given in Table I for maltical soltion and the numerical solution is smal two initial temperatures of the suroundine ock. when the intial tempe rature of surounding rock is less Table I shows that for the fros font radius of 7.837 haml.5℃epecially,for0℃.so】 can be used to the the estimate the position of frost front of rock-surounding poximate analytical solutions of this paper 15 tumel in cold regions. 5.039 years.The time detemined by the numerical solu- Key words tumel;cold regions;temperature field;appr oximate analvtical solution 1994-2015 China Academic Journal electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnkine

Approximate Analytical Solution for the Temperature Fields of a Circular Tunnel in Cold Regions LAI Yuan-ming 1 , YU Wen-bing 1 , WU Zi-wang 1 , He Ping 1 , ZHANG Meng-xi 2 (1.StateKey Laboratory of Frozen Soil Engineering , CAREERI , CAS , Lanzhou Gansu 730000 , China ; 2.Department of Civil Engineering , Lanzhou Railway University , Lanzhou Gansu 730070, China) Abstract:According to the situation in permafrost re￾gions, the governing differential equations of heat transfer in frozen zone and unfrozen zone are simplified .Then , using dimensionless and perturbative method , an approxi￾mate analytical solution for simplified heat transfer equa￾tion has been obtained .A research of freezing process of circular tunnel with initial temperature near 0 ℃ has been made . As a numerical example , a circular tunnel in cold region has been studied . Its inner radius is 3 .0 m.The thermal conductivity and the volumet ric specific heat of its surrounding rock in frozen area are λf =1 .8247 W·m -1·K -1 and Cf =1 . 617 ×10 6 J·m -3·K -1 , respectively .The thermal con￾ductivity and the volumetric specific heat of its surround￾ing rocks in unfrozen area are λu =1 .4338 W·m -1·K -1 and Cu =1 .929 ×10 6 J·m -3·K -1 .Besides, its volumet￾ric phase -change latent heat , ρL , is 46 .44 ×10 6 J· m -3 .The air temperature Ta is -3 ℃. The precision of the approximate formulae in this pa￾per has been examined under following two conditions : Condition 1 The convective heat -transfer coeffi￾cient between air and rocks is 15 .0(W·m -2·K -1)and Tf , the frozen temperature of the rock -surrounding tun￾nel , is -0 .1 ℃.The approximate analytical results for the initial temperature of the surrounding rock of 0 ℃ can be obtained using the formulae of this paper .Again the numerical results worked out by a computation method , presented by Lai et al ., are given in Table 1 for two initial temperatures of the surrounding rock . Table 1 shows that for the frost front radius of 7 .837 m , the frozen time determined by the ap proximate analytical solutions of this paper is 5 .039 years .The time determined by the numerical solu￾tion is only 5 years for the same frost front radius .The er￾rors between the approximate analytical results and the numerical results are 4 .6 %, 6 .62 %, 7 .05 %, 7 .63 % and 8 .83 % for the initial temperature of surrounding rocks of 1 .5 ℃.For the initial temperature of sur￾rounding rock less than 1 .5 ℃, the approximate analyti￾cal solution can be used in practical engineering , be￾cause the error less than 5 %can be ignored from the en￾gineering point of view . Condition 2 The convective heat -transfer coeffi￾cient between air and rock verges to infinity , i .e ., the temperature at the tunnel surface is equal to the air tem￾perature.The results of approximate analytical solution and the numerical solution are given in Table 2 for two temperatures of surrounding rock . From Table 2 , one can see that there are almost no error between the perturbative approximate analytical solu￾tion and the numerical solution for the initial temperature of surrounding rock of 0 ℃.The errors between the ap￾proximate ana lytical results and the numerical results are 4 .75 %, 6 .58 %, 6 .82 %, 7 .31 % and 8 .07 % for the initial temperature of surrounding rocks of 1 .5 ℃. From the mentioned above , one can conclude that the precision of the approximate analytical solution goes up gradually with the increase of the convective heat - transfer coefficient .The error between the approximate analytical solution and the numerical solution is small when the initial temperature of surrounding rock is less than 1 .5 ℃, especially , for 0 ℃.So it can be used to estimate the position of frost front of rock -surrounding tunnel in cold regions . Key words: tunnel ;cold regions ;temperature field ;approximate analytical solution 130 冰 川 冻 土 23 卷