第品春装用 文章编号.0253-374X(2015)03-038G-06 D)I:10.11908/i.issn.0253-374x.2015.03.010 双排管冻结稳态温度场广义解析解 胡向东12，韩延广12，虞兴福 (L.同济大学岩士及地下工程教育部重点实验室，上海200092： 2.同济大学士木工程学院.上寿200092：3.新江大学城市学院工程学院，新江杭州310015) 痛要。人工地结法工中，对于理排的布管形，巴密尔 solution to the steady-state emperature field was derived for 金给出了双排管冻结稳态温度场解析解。但巴霍尔金解析解 ing in 只针对对齐和标准销位这两种情况，不能完全满足现实的型 pip of the 求，针对工程中的不规则布管问题，利用调和方程边界条件 可分离性，通过叠加单排冻结巴摆尔金问恩解和线性温度场 问题解，获得了特殊单摆冻结问题的解析解：借鉴特殊单排 温度场问题，完成布管形式复杂的双排管冻结温度场问题的 solution meets the accucy requirement in 广义解析解，并利用ANSYS数值模拟和物理模型实验结果 engineering 验证了解析解的正确性 Keywords artificial ground field 关键词：人工地层冻结：温度场：单排管：双排管解析解 single-row-pipe freezing double-row-pipe freezing analytical olution:harmonie equations 调和方程 中图分类号：TK124 文献标志码：A 人工地层冻结技术，由于其冻土推幕的良好封 Generalized Analytical Solution to Steady-state 水效果和力学强度，因此广泛应用于地下工程施1 Temperature Field of Double-row-pipe Freezing 中，在施工过程中，掌握冻土帷幕的厚度和力学性厨 HU Xiangdong HAN Yangwang.YU Xingfu 等参数是非常重要的，而这些参数均依赖于冻结温 (1.Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of 度场的分布因此，温度场理论是冻结法理论的基 the Ministry of Education.Tongii University.Shanghai 200092. China:2.College of Civil Engineering.Tongii University.Shanghai 温度场理论研究分为瞬态温度场和稳态温度 200092.China:3.School of Engineering.Zhejiang University City 场，由于数学上的困难，多管冻结的瞬态温度场解析 College.Hanezhou 310015.China) 解难以获得，不能满足工程中多管、排管和圈管等复 Abstract.for the doublerow atrangement of freezing pipes 杂的布管形式的要求：而稳态温度场相对简单日能 in artificial ground frrezing.Bakholdin gave an analytical 够满足工程上的精度要求，因此是各国学者研究的 olution to the stead-state temrerature field However.the 重点内容.目前，世界上最流行和实用的人工冻结移 solution only aimed at the inline and general staggered 态温度场解析解有单管冻结温度场公式[)，两管至 ents.which could not mee 五管直线排列冻结温度场公式，单排管冻结温度 gements of freezing pipes in 场公式以及双排管冻结温度场公式等.笔者对这 e.in this field of double 些公式进行了完善与应用性研究[]，并完成了绝热 of boundary 幼界附诉单管和双管[10任章排列的三管[1】和四 管，冻结管温度不等时的双管、单排管，冻 a special single-row-pip solved b 结管温度相等时的三排管[】、冻土帷幕厚度非对称 problen was superposition of the singl ow-pipe solution and the linea 发的单推管和内部冻实的单围管结温度场解 emperature field solution.Then.the generalized analytical 析解切的推导 作 朝东(1961一)，男， 1994-2015 China Acade lournal electronic publishing House http:/ www.cnki.ne
第４３卷第３期 ２０１５年３月 同 济 大 学 学 报（自 然 科 学 版） ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＯＮＧＪＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮＡＴＵＲＡＬＳＣＩＥＮＣＥ） Ｖｏｌ．４３Ｎｏ．３ Ｍａｒ．２０１５ 文章编号：０２５３－３７４Ｘ（２０１５）０３－０３８６－０６ ＤＯＩ：１０．１１９０８／ｊ．ｉｓｓｎ．０２５３－３７４ｘ．２０１５．０３．０１０ 收稿日期：２０１３－１２－０５ 基金项目：国家自然科学基金（５１１７８３３６）；浙江省自然科学基金（ＬＺ１３Ｅ０８０００２） 第一作者：胡向东（１９６１—），男，副教授，博士生导师，工学博士，主要研究方向为隧道与地下工程．Ｅ－ｍａｉｌ：ａｎｔｏｎ．ｇｅｏｔｅｃｈ＠ｔｏｎｇｊｉ．ｅｄｕ．ｃｎ 双排管冻结稳态温度场广义解析解 胡向东１，２，韩延广１，２，虞兴福３ （１．同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 ２０００９２； ２．同济大学 土木工程学院，上海 ２０００９２；３．浙江大学城市学院 工程学院，浙江 杭州 ３１００１５） 摘要：人工地层冻结法施工中，对于双排的布管形式，巴霍尔 金给出了双排管冻结稳态温度场解析解．但巴霍尔金解析解 只针对对齐和标准错位这两种情况，不能完全满足现实的要 求．针对工程中的不规则布管问题，利用调和方程边界条件 可分离性，通过叠加单排冻结巴霍尔金问题解和线性温度场 问题解，获得了特殊单排冻结问题的解析解；借 鉴 特 殊 单 排 温度场问题，完成布管形式复杂的双排管冻结温度场问题的 广义解析解，并利用 ＡＮＳＹＳ数值模拟和物理模型实验结果 验证了解析解的正确性． 关键词：人工地层冻结；温度场；单排管；双排管；解析解； 调和方程 中图分类号：ＴＫ１２４ 文献标志码：Ａ ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＡｎａｌｙｔｉｃａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｔｏＳｔｅａｄｙ－ｓｔａｔｅ ＴｅｍｐｅｒａｔｕｒｅＦｉｅｌｄｏｆＤｏｕｂｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅＦｒｅｅｚｉｎｇ ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ１，２，ＨＡＮ Ｙａｎｇｕａｎｇ１，２，ＹＵ Ｘｉｎｇｆｕ３ （１．ＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＧｅｏｔｅｃｈｎｉｃａｌａｎｄＵｎｄｅｒｇｒｏｕｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｏｆ ｔｈｅ Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０００９２， Ｃｈｉｎａ；２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＴｏｎｇｊｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９２，Ｃｈｉｎａ；３．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＺｈｅｊｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＣｉｔｙ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ３１００１５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒｔｈｅｄｏｕｂｌｅ－ｒｏｗａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔｏｆｆｒｅｅｚｉｎｇｐｉｐｅｓ ｉｎａｒｔｉｆｉｃｉａｌｇｒｏｕｎｄｆｒｅｅｚｉｎｇ，Ｂａｋｈｏｌｄｉｎ ｇａｖｅａｎ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅｓｔｅａｄｙ－ｓｔａｔｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｎｌｙ ａｉｍｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｉｎｌｉｎｅ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｔａｇｇｅｒｅｄ ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔｓ，ｗｈｉｃｈｃｏｕｌｄｎｏｔｍｅｅｔｐｒａｃｔｉｃａｌｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ． Ｆｏｒｉｒｒｅｇｕｌａｒａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔｓｏｆｆｒｅｅｚｉｎｇｐｉｐｅｓｉｎｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｐｒａｃｔｉｃｅ，ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅ ｓｔｅａｄｙ－ｓｔａｔｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄｏｆｄｏｕｂｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅｆｒｅｅｚｉｎｇｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｆｉｒｓｔ， ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｅｐａｒａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｈａｒｍｏｎｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ａｓｐｅｃｉａｌｓｉｎｇｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅ ｆｒｅｅｚｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗａｓ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｂａｋｈｏｌｄｉｎ’ｓ ｓｉｎｇｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅｓｔｅａｄｙ－ｓｔａｔｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄ ｗａｓｄｅｒｉｖｅｄｆｏｒ ｄｏｕｂｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅｆｒｅｅｚｉｎｇｉｎｉｒｒｅｇｕｌａｒａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔｓａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏｔｈｅｓｐｅｃｉａｌｓｉｎｇｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗｉｔｈｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｔｈｅｒｍａｌａｎａｌｙｓｉｓｓｈｏｗｓ ｔｈａｔｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅ ｅｎｏｕｇｈ，ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｍｅｅｔｓ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ｉｎ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ａｒｔｉｆｉｃｉａｌｇｒｏｕｎｄｆｒｅｅｚｉｎｇ；ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄ； ｓｉｎｇｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅｆｒｅｅｚｉｎｇ；ｄｏｕｂｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅｆｒｅｅｚｉｎｇ；ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｈａｒｍｏｎｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ 人工地层冻结技术，由于其冻土帷幕的良好封 水效果和力学强度，因此广泛应用于地下工程施工 中．在施工过程中，掌握冻土帷幕的厚度和力学性质 等参数是非常重要的，而这些参数均依赖于冻结温 度场 的 分 布．因 此，温 度 场 理 论 是 冻 结 法 理 论 的 基 础． 温度场理论研究分为瞬态温度场和稳态温度 场，由于数学上的困难，多管冻结的瞬态温度场解析 解难以获得，不能满足工程中多管、排管和圈管等复 杂的布管形式的要求；而稳态温度场相对简单且能 够满足工程上的精度要求，因此是各国学者研究的 重点内容．目前，世界上最流行和实用的人工冻结稳 态温度场解析解有单管冻结温度场公式［１］，两 管 至 五管直线排列冻结温度场公式［２］，单 排 管冻 结 温 度 场公式以及双排管冻结温度场公式［３－４］等．笔者对这 些公式进行了完善与应用性研究［５－９］，并完成了绝热 边界附近 单 管 和 双 管［１０］、任意排列的三管［１１］和 四 管［１２］、冻结管温度不等时的双管［１３］、单 排 管［１４］、冻 结管温度相等时的三排管［１５］、冻土帷幕厚度非对称 发展的单排管［１６］和内部冻实的单圈管冻结温度场解 析解［１７］的推导．
第3期 胡向东，等：双持管冻结稳态温度场广义解析解 387 单排和双排直线布置是冻结法中最常见的冻结 称发展，其将退化为经典单排管冻结巴霍尔金解) 管布置方式.对此，巴霍尔金给出了单排和双排管冻 结稳态温度场解析解)，其中双排管解折解解决了 2双排管冻结温度场广义解析解 等管距的两排管对齐和错位 分之 管间距（以下 简称标准错位)这两种布管方式的问题.但双排管冻 本文考虑的冻结管布管形式为第 一排冻结管间 结时，对齐方式不止对齐和标准错位这两种情况，两 距与第二排冻结管间距不一致并且第二排冻结管相 排管错位量可能是任意的：另外，两排管的管间距有 对于第一排冻结管有偏移量和：在冻土推幕充分交 可能不一致.而这些布管形式特殊的问题尚无解析 圈后，即冻结后期，冻土帷幕边界近似为直线边界， 解.本文通过引入特殊的单 冻结温度场问恩，并 则双排管冻结广义问题 图2所示.其中，L为冻结 结合调和方程边界可分离性，完成了适应特殊布 管排间距.这里需要说明，第一排冻结管间距：和第 管方式的双排管冻结温度场的广义解析解。 一挂族结管间距。是相互独立的，即1，可以大于 ,,也可以小于，，并不相互制约.另外，冻土推幕厚 1特殊的单排管冻结温度场 度和品也是相互独立的.图2表示的冻结问愿应 理解为双排管冻结的普遍问题，而不是仅指图中所 为了求解广义双推管冻结问题，引入特殊的单 示的一种模型 排管冻结温度场，其冻土雌幕非均匀对称发展.这种 第二冻土边界1y 温度场问题如图1所示 第1管 第一 第二冻士边界 6 第一冻士边界 第一冻土边界 图1特殊的单排管冻结温度场模型 其温度场数学模型为 Fig.1 Model of special single-row-pipe freezing 此温度场的数学模型为 T(x,一（台十L/2)=T。,第一冻土边界 臣+票-0 T(x,点+L/2)-T。,第二冻土边界 (3) T(,一L/2+n)=T,第一排冻结管 T(.一名)=T。。第一族土边界 (1 T(+l,,L/2+r。)=T,第二排冻结管 T(，)=T。,第二冻士边界 根据边界条件可分离性)，将上述问遐分解为 T(,r)■T,冻结管处 第一排和第二排冻结管温度场问题.即 式中：1为冻结管管间距：白和点均为冻土帷幕厚 度：。为族结管半径：T。为冻土雄幕边界温度：T。为 +=0 东结管表面温度丁表示温度场的分布。笔者已在文 T(r.- (十L/2)=T。,第一冻土边界 献[16]中给出了上述问题的解 (4) T(x,6+L/2)一T。,第二冻土边界 T= T,(j1,-L/2+r)=T-Tn,第一排管 T(A-吾+8音十元 (2) T(e十：，L/2+)=T,第二排管 A=h[2(osh學-cos竿)】 +-0 T:(x,-(+L/2)=0,第一冻土边界 T-T。 (5) T:(x,+L/2)=0,第二冻土边界 T(l1,一L/2+)=Ta,第一排管 对于式(2)，当白=合=时，即两侧冻土惟幕对 T:(w+j,L/2+)=T-T,第二排管 1994-2015 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rightsr http://www.cnki.ne
第３期 胡向东，等：双排管冻结稳态温度场广义解析解 单排和双排直线布置是冻结法中最常见的冻结 管布置方式．对此，巴霍尔金给出了单排和双排管冻 结稳态温度 场 解 析 解［３］，其中双排管解析解解决了 等管距的两排 管 对 齐 和 错 位 二 分 之 一 管 间 距（以 下 简称标准错位）这两种布管方式的问题．但双排管冻 结时，对齐方式不止对齐和标准错位这两种情况，两 排管错位量可能是任意的；另外，两排管的管间距有 可能不一致．而这些布管形式特殊的问题尚无解析 解．本文通过引入特殊的单排管冻结温度场问题，并 结合调和方程边界可分离性［１８］，完成了适应特殊布 管方式的双排管冻结温度场的广义解析解． １ 特殊的单排管冻结温度场 为了求解广 义 双 排 管 冻 结 问 题，引 入 特 殊 的 单 排管冻结温度场，其冻土帷幕非均匀对称发展．这种 温度场问题如图１所示． 图１ 特殊的单排管冻结温度场模型 Ｆｉｇ．１ Ｍｏｄｅｌｏｆｓｐｅｃｉａｌｓｉｎｇｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅｆｒｅｅｚｉｎｇ 此温度场的数学模型为 ２ Ｔ ｘ２ ＋２ Ｔ ｙ２ ＝０ Ｔ（ｊｌ，－ξ１）＝Ｔ０，第一冻土边界 Ｔ（ｊｌ，ξ２）＝Ｔ０，第二冻土边界 Ｔ（ｊｌ，ｒ０）＝Ｔｆ， 烅 烄 烆 冻结管处 （１） 式中：ｌ为 冻 结管 管 间 距；ξ１ 和ξ２ 均为冻土帷幕厚 度；ｒ０ 为冻结管半径；Ｔ０ 为冻土帷幕边界温度；Ｔｆ 为 冻结管表面温度；Ｔ 表示温度场的分布．笔者已在文 献［１６］中给出了上述问题的解． Ｔ ＝ ＴＡ Ａ－ π ｌ ２ξ１ξ２ ξ１ ＋ξ２ ＋ π ｌ ξ１ －ξ２ （ ξ２ ＋ξ１ ｙ）＋Ｔ０ （２） Ａ＝１ ２ｌｎ ２ ｃｏｓｈ２πｙ ｌ －ｃｏｓ２πｘ ［ （ ｌ ）］ ＴＡ ＝ Ｔｆ－Ｔ０ ｌｎ２πｒ０ ｌ －２π ｌ ξ１ξ２ ξ１＋ξ２ 对于式（２），当ξ１＝ξ２＝ξ时，即两侧冻土帷幕对 称发展，其将退化为经典单排管冻结巴霍尔金解［３］ ． ２ 双排管冻结温度场广义解析解 本文考虑的冻结管布管形式为第一排冻结管间 距与第二排冻结管间距不一致并且第二排冻结管相 对于第一排冻 结 管 有 偏 移 量 ｗ；在 冻 土帷 幕 充 分 交 圈后，即冻结 后 期，冻土帷幕边界近似为直线边界， 则双排管冻结广义问题如图２所示．其中，Ｌ 为冻结 管排间距．这里需要说明，第一排冻结管间距ｌ１ 和第 二排冻 结 管 间 距ｌ２ 是 相 互独 立 的，即ｌ１ 可 以 大于 ｌ２，也可以小于ｌ２，并不相互制约．另外，冻土帷幕厚 度ξ１ 和ξ２ 也是相互独立的．图 ２表示的冻结问题应 理解为双排管冻结的普遍问题，而不是仅指图中所 示的一种模型． 图２ 广义双排管冻结温度场模型 Ｆｉｇ．２ Ｍｏｄｅｌｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｄｏｕｂｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅｆｒｅｅｚｉｎｇ 其温度场数学模型为 ２ Ｔ ｘ２ ＋２ Ｔ ｙ２ ＝０ Ｔ（ｘ，－ （ξ１ ＋Ｌ／２））＝Ｔ０，第一冻土边界 Ｔ（ｘ，ξ２ ＋Ｌ／２）＝Ｔ０，第二冻土边界 Ｔ（ｊｌ１，－Ｌ／２＋ｒ０）＝Ｔｆ，第一排冻结管 Ｔ（ｗ＋ｊｌ２，Ｌ／２＋ｒ０）＝Ｔｆ， 烅 烄 烆 第二排冻结管 （３） 根据边界条件可分离性［１８］，将上述问题分解为 第一排和第二排冻结管温度场问题．即 ２ Ｔ１ ｘ２ ＋２ Ｔ１ ｙ２ ＝０ Ｔ１（ｘ，－ （ξ１ ＋Ｌ／２））＝Ｔ０，第一冻土边界 Ｔ１（ｘ，ξ２ ＋Ｌ／２）＝Ｔ０，第二冻土边界 Ｔ１（ｊｌ１，－Ｌ／２＋ｒ０）＝Ｔｆ－Ｔｆ１，第一排管 Ｔ１（ｗ＋ｊｌ２，Ｌ／２＋ｒ０）＝Ｔｆ２， 烅 烄 烆 第二排管 （４） ２ Ｔ２ ｘ２ ＋２ Ｔ２ ｙ２ ＝０ Ｔ２（ｘ，－ （ξ１ ＋Ｌ／２））＝０，第一冻土边界 Ｔ２（ｘ，ξ２ ＋Ｌ／２）＝０，第二冻土边界 Ｔ２（ｊｌ１，－Ｌ／２＋ｒ０）＝Ｔｆ１，第一排管 Ｔ２（ｗ＋ｊｌ２，Ｌ／２＋ｒ０）＝Ｔｆ－Ｔｆ２， 烅 烄 烆 第二排管 （５） ３７８
38 问济大学学报（白然科学版） 第43卷 其中，Tn和T为参数.设想式(4)表示的温度场问 腰是一种特殊的单挂管冻结间题，则先老虑满足第 -+兴-T 和第二冻土边界条件及第一排冻结管条件的温度 场通解为 M- 五=+[A- 266 +】 (6) N- T-Ta- 经整理后得双排管冻结广义解析解 T-Ti+T:- A-支nf2(eo2巡/2-os2')】 (T:-T)生点奇士(A 2 由于T:为常数，则问题(4)的解必须满足在 =L/2十。的值为常数T,而与x值无关，这是个 经学+云干+》十 先决条件 对于式(6)，由于只有A:这部分与x有关，将 (红-工)款立，(A- (e十l,L/2十m)带入A,可以得到 A-2-a红四】 ++-)+T (10 在一般的工程实际中冻结管间距与排间距/L 为0.51.0，则 A=h[2ohav/2-o】 A= h2(osh2y/2-os2a-四1 所以在y=L/2+%,A的值与x值无关，则式 (6)的值在y=L/2+n也与r值无关， 因此式(6)满 当考虑=点=：1=1=【时，则式(10)简化 足问题(4)的第二排冻结管处条件的先决要求，因此 为 将第二排冻结管处条件带入式(6)得到 T= 26 n-20-2++ (7) (11 同理，对于式(5)表示的温度场问恩，先考虑满 足第一和第二冻土边界条件及第二挂冻结管处条件 的温度场通解 T.TALA:- 「oh2y1/2-co2= 对于式(11)，当=0时，即为双排管对齐排列 ++特-] (8) 的巴霍尔金解；当■1/2时，即为双排管标准错位 -T 排列的巴霍尔金解[可 T 3解析解准确性检验 3.1与稳态温度场数值模拟的对比 同理T,需要满足 上述推导过程中采用了一定的简化处理，故有 Tn-Te无a++8 268 (9)必要对解的准确性进行验证，因此采用ANSYS进 联立求解式(7)和(9)得 行稳态数值模拟参数选择采用工程上常用的数值 -- 工程上排间距L的取值范围为1.0~ :6,而冻 管间距l/L通常为0.5一1.0，另外冻土椎幕厚度/0 1994-2015 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enkine
同 济 大 学 学 报（自 然 科 学 版） 第４３卷 其中，Ｔｆ１和Ｔｆ２为 参 数．设想 式（４）表示的温度场问 题是一种特殊的单排管冻结问题，则先考虑满足第 一和第二冻土边界条件及第一排冻结管条件的温度 场通解为 Ｔ１ ＝Ｔ０ ＋ＴＡ１［Ａ１ －２π ｌ１ ξ１（ξ２ ＋Ｌ） ξ１ ＋ξ２ ＋Ｌ＋ π ｌ１ ξ１ －ξ２ －Ｌ ξ２ ＋Ｌ＋ξ１ ｙ＋Ｌ （ ）２ ］ （６） ＴＡ１＝ Ｔｆ－Ｔｆ１－Ｔ０ ｌｎ２πｒ０ ｌ１ －π ｌ１ ２ξ１（ξ２＋Ｌ） ξ１＋ξ２＋Ｌ Ａ１＝１ ２ｌｎ ２ ｃｏｓｈ２π（ｙ＋Ｌ／２） ｌ１ －ｃｏｓ２πｘ ［ （ ｌ１ ）］ 由于Ｔｆ２为常 数，则问 题（４）的解必须满足在ｙ ＝Ｌ／２＋ｒ０ 的 值 为常 数 Ｔｆ２，而 与ｘ 值 无 关，这是 个 先决条件． 对于式（６），由 于 只 有 Ａ１ 这 部 分与ｘ 有 关，将 （ｗ＋ｊｌ２，Ｌ／２＋ｒ０）带入Ａ１，可以得到 Ａ１ ＝ １ ２ｌｎ ２ ｃｏｓｈ２π（Ｌ＋ｒ０） ｌ１ －ｃｏｓ２π（ｗ＋ｊｌ２） ［ （ ｌ１ ）］ 在一般的工程实际中冻结管间距与排间距ｌ１／Ｌ 为０．５～１．０，则 ｃｏｓｈ２π（Ｌ＋ｒ０） ｌ１ ｃｏｓ２π（ｗ＋ｊｌ２） ｌ１ 所以在ｙ＝Ｌ／２＋ｒ０，Ａ１ 的值与ｘ 值无关，则式 （６）的值在ｙ＝Ｌ／２＋ｒ０ 也与ｘ值无关，因此式（６）满 足问题（４）的第二排冻结管处条件的先决要求，因此 将第二排冻结管处条件带入式（６）得到 Ｔｆ２ ＝－ＴＡ１ π ｌ１ ２ξ１ξ２ ξ２ ＋Ｌ＋ξ１ （７） 同理，对于式（５）表示的温度场问题，先 考 虑 满 足第一和第二冻土边界条件及第二排冻结管处条件 的温度场通解 Ｔ２ ＝ＴＡ２［Ａ２ －２π ｌ２ ξ２（ξ１ ＋Ｌ） ξ１ ＋ξ２ ＋Ｌ＋ π ｌ２ ξ１ －ξ２ ＋Ｌ ξ２ ＋Ｌ＋ξ１ ｙ－Ｌ （ ）２ ］ （８） ＴＡ２＝ Ｔｆ－Ｔｆ２ ｌｎ２πｒ０ ｌ２ －π ｌ２ ２ξ２（ξ１＋Ｌ） ξ１＋ξ２＋Ｌ Ａ２＝１ ２ｌｎ ２ ｃｏｓｈ２π（ｙ－Ｌ／２） ｌ２ －ｃｏｓ２π（ｘ－ｗ） ［ （ ｌ２ ）］ 同理Ｔｆ１需要满足 Ｔｆ１ ＝－ＴＡ２ π ｌ２ ２ξ１ξ２ ξ２ ＋Ｌ＋ξ１ （９） 联立求解式（７）和（９）得 Ｔｆ１ ＝ ＭＮ ＋Ｎ ＭＮ －１（Ｔｆ－Ｔ０） Ｔｆ２ ＝ ＭＮ ＋Ｍ ＭＮ －１（Ｔｆ－Ｔ０） Ｍ ＝ π ｌ１ ２ξ１ξ２ ξ１ ＋Ｌ＋ξ２ ｌｎ２πｒ０ ｌ１ － π ｌ１ ２ξ１（ξ２ ＋Ｌ） ξ１ ＋Ｌ＋ξ２ Ｎ ＝ π ｌ２ ２ξ１ξ２ ξ１ ＋Ｌ＋ξ２ ｌｎ２πｒ０ ｌ２ － π ｌ２ ２ξ２（ξ１ ＋Ｌ） ξ１ ＋Ｌ＋ξ２ 经整理后得双排管冻结广义解析解 Ｔ ＝Ｔ１ ＋Ｔ２ ＝ （Ｔｆ－Ｔ０）ＭＮ ＋Ｍ １－ＭＮ ｌ１ π ξ２ ＋Ｌ＋ξ１ ２ξ１ξ２ ·（Ａ１ － ２π ｌ１ ξ１（ξ２ ＋Ｌ） ξ１ ＋ξ２ ＋Ｌ＋ π ｌ１ ξ１ －ξ２ －Ｌ ξ２ ＋Ｌ＋ξ１ ｙ＋Ｌ （ ）２ ）＋ （Ｔｆ－Ｔ０）ＭＮ ＋Ｎ １－ＭＮ ｌ２ π ξ２ ＋Ｌ＋ξ１ ２ξ１ξ２ ·（Ａ２ － ２π ｌ２ ξ２（ξ１ ＋Ｌ） ξ１ ＋ξ２ ＋Ｌ＋π ｌ２ ξ１ －ξ２ ＋Ｌ ξ２ ＋Ｌ＋ξ１ ｙ－Ｌ （ ）２ ）＋Ｔ０ （１０） Ａ１ ＝ １ ２ｌｎ ２ ｃｏｓｈ２π（ｙ＋Ｌ／２） ｌ１ －ｃｏｓ２πｘ ［ （ ｌ１ ）］ Ａ２ ＝ １ ２ｌｎ ２ ｃｏｓｈ２π（ｙ－Ｌ／２） ｌ２ －ｃｏｓ２π（ｘ－ｗ） ［ （ ｌ２ ）］ 当考虑ξ１＝ξ２＝ξ；ｌ１＝ｌ２＝ｌ时，则 式（１０）简 化 为 Ｔ ＝ Ｔｆ－Ｔ０ ｌｎ２πｒ０ ｌ －２πξ ｌ ｍ２（ｘ，ｙ）－ π ｌ （ （２ξ＋Ｌ） ）＋Ｔ０ （１１） ｍ２（ｘ，ｙ）＝ １ ２ｌｎ ４｛ ｃｏｓｈ２π（ｙ＋Ｌ／２） ｌ －ｃｏｓ２πｘ ［ ｌ ］· ｃｏｓｈ２π（ｙ－Ｌ／２） ｌ －ｃｏｓ２π（ｘ－ｗ） ［ ｌ ］｝ 对于式（１１），当 ｗ＝０时，即为双排管对齐排列 的巴霍尔金解；当 ｗ＝ｌ／２时，即为双排管标准错位 排列的巴霍尔金解［３］ ． ３ 解析解准确性检验 ３．１ 与稳态温度场数值模拟的对比 上述推导过程中采用了一定的简化处理，故 有 必要对解的准确性进行验证，因 此 采 用 ＡＮＳＹＳ进 行稳态数值模拟．参数选择采用工程上常用的数值． 工程上排间距Ｌ 的取值范围为１．０～１．６ｍ，而冻结 管间距ｌ／Ｌ 通常为０．５～１．０，另外冻土帷幕厚度ξ／ｌ ３８８
第3期 胡向东，等：双持管冻结稳态温度场广义解析解 的取值为0.51.5.冻结管半径r。=0.054m:冻结 管表面温度T=一30℃：冻土边界温度T。=0℃ 数值模拟参数见表1及图3数值模拟模型及计算结 果见图4.数值解与解析解对比结果见图5，分 别为与第一排冻结管和第 二排冻结管相应的冻土韩 幕厚度：山1为第一排冻结管的间距，1。为第二排陈结 管的间距：L为第一排冻结管与第二排冻结管的排 间距，心为第二排冻结管的偏移量，参见图2. 5-1.0-05 表1数值模拟参数 ·面1数值解一面1解析解×面2数值解一面2解析 Tab.1 Simulatio a第1姐 组号 30 0.80 1.0 1.000.50 0.251.00 1.60 2 -10 00-000000 915-10-05005101520 面2数值解一面2解析 b第2组 第 面1 0…00… c第3组 d第4组 图3形象化的布管形式 Fig.3 Visualization of freezing pipe arrangement 915-10-0500510520 ·面1数 / 解析解面2数值 面2解析解 一面3解析 66 a网格划分 0 图单位. 图4第3组网格划分及温度云 Fig.4 mperature ficld /n 面1数值解 一面1解析 面2数值解一面2解析 第4 从上述4组数值模拟和解析解的结果对比知 道，在工程常用的参数情况下，解析公式具有较高精 图5解析解计算结果与数值计算结果对比 Fig.S on of analytical and 度，仅在冻结管处出现1℃左右的误差。 1994-2015 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights http://www.cnki.ne
第３期 胡向东，等：双排管冻结稳态温度场广义解析解 的取值为０．５～１．５．冻结管半径ｒ０＝０．０５４ｍ；冻结 管表面温度Ｔｆ＝－３０ ℃；冻土边界温度 Ｔ０＝０ ℃． 数值模拟参数见表１及图３．数值模拟模型及计算结 果见图４．数值解与解析解对比结果见图５．ξ１，ξ２ 分 别为与第一排冻结管和第二排冻结管相应的冻土帷 幕厚度；ｌ１ 为第一排冻结管的间距，ｌ２ 为第二排冻结 管的间距；Ｌ 为 第 一排 冻 结 管 与 第 二 排 冻 结 管 的 排 间距，ｗ 为第二排冻结管的偏移量，参见图 ２． 表１ 数值模拟参数 Ｔａｂ．１ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｍ 组号 ξ１ ξ２ ｌ１ ｌ２ ｗ Ｌ １ １．００ １．００ １．００ １．００ ０ １．００ ２ ０．８０ １．００ １．００ ０．５０ ０ １．００ ３ ０．８０ １．００ １．００ ０．５０ ０．２５ １．００ ４ １．６０ １．２０ ０．８０ １．６０ ０ １．６０ ａ第１组 ｂ第２组 ｃ第３组 ｄ第４组 图３ 形象化的布管形式 Ｆｉｇ．３ Ｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｆｒｅｅｚｉｎｇｐｉｐｅａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ ａ网格划分 ｂ温度云图（单位：℃） 图４ 第３组网格划分及温度云图 Ｆｉｇ．４ Ｍｅｓｈｉｎｇｆｉｇｕｒｅａｎｄｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄ ｃｏｌｏｒｍａｐｏｆＧｒｏｕｐ３ 从上述 ４ 组数值模拟和解析解的结果对比知 道，在工程常用的参数情况下，解析公式具有较高精 度，仅在冻结管处出现１ ℃左右的误差． ａ第１组 ｂ第２组 ｃ第３组 ｄ第４组 图５ 解析解计算结果与数值计算结果对比 Ｆｉｇ．５ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆａｎａｌｙｔｉｃａｌａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ３９８
390 同济大学学提（白然科学版） 第43卷 3.2与物理模型试验温度数据对比 名为3.45m,这与圈管冻结时，冻结圈内的冻土垢 由于采用双排广义布管形式的冻结工程较少 幕厚度大于园外的族土堆幕厚度是一致的，自此理 缺乏系统的温度监测数据，因此笔者采用双图管海 论公式需要的冻结管间距，冻结管排距，冻结管管半 结的物理模型试验温度监测数据与理论公式的计算 径、冻结管壁温度及冻土帷幕厚度均已知，可以根 结果进行对比，这能从一定程度上说明理论公式的 理论公式对己知测点的温度进行计算，其计算结果 实用性。 列于表3. 采用文献「191的物理模型试验数据进行对比 表31-1制面的8个测点温府及位置 其双圈管布置形式及温度测点如图6所示. Tab.3 Temperature and position of elght gp0 点 位置 2 250 -6.40 -65 0.1a 1.5 1.37 -12.0 -11.9 0. 112680 -1.37 -120 -11.80 0.20 567 -7.20 -7. 0.6 8-810 -200-1.70 0.30 15.0 考虑剖而2-2，坐标系选取原理与1-1剖面 致，则可知2-2剖面的1至8个测点位置与1-1剖面 的一样.另外面-2与面1-1的冻结参粉的推 区别在于第 排冻结管相对于第 排冻结管的偏移 困6冻结管及温度测点的分布（单位：m) 量心为(：/2，其余的理论公式需要的计算参数可直 Fig.6 Distribution of freezing pipe and 接使用1-1剖面的冻结参数.则22剂面的8个测点 measuring points (unit:m) 实测温度和理论计算温度加表4所示 本文将内图管当做第二推冻结管，外图管当做 ,2面的8个测点温度及位置 第一排冻结管，考虑的冻结温度曲线由5一25h(实 ad p 际对应时间30一150d,根据相似比将试验时间换算 measuring poi 为实际时间，后同)的5条，而不考虑后续的30~4( 点位置 实测理 h(180-240d)的3条族结曲线，因为前5条冻结曲 线的冻结管管壁温度是一样的.另外根据几何相似 比，可以将试验参数换算为实际参数，其且体布管形 1.37 -8.9 -8.86 0.0 式及相应的参数如表2所示 二10 表？冻结管布置参数 -6.80 -7.80 1.00 Tah 2 L 0 80 数值1.313 2.60.072-12 0 通过1-1剖面与2-2剖面的实测温度与理论温 考虑到理论公式的使用条件，即冻结中后期，则 度的对比可以看出.两者的临对误弟都不超过1℃ 选择25h(15 d的冻 温度分布曲线，考虑内图管 理论公式的精度满足工程上的误差要求，另外也说 与外圈管之间的中间位置作为直角坐标的原点，极 明利用理论公式估算冻士帷暮厚度精度较高 径方向作为y轴，向圆中心点的方向作为正方向，并 考虑横坐标x的取值水远为0.经量测可知1-1制面 4结论 的1至8个测点温度及位置如表3所示 根据测点1,3,5,7的实测温度和坐标值，依据 ()以特殊的单排管冻结温度场解析解为基 式(10)可以测算出冻土椎幕6为2.12m,冻土惟幕 础，将双排管冻结广义问题分解为两个特殊的单捕 1994-2015 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/www.cnkine
同 济 大 学 学 报（自 然 科 学 版） 第４３卷 ３．２ 与物理模型试验温度数据对比 由于采用双排广义布管形式的冻结工程较少， 缺乏系统的温度监测数据，因此笔者采用双圈管冻 结的物理模型试验温度监测数据与理论公式的计算 结果进行对比，这能从一定程度上说明理论公式的 实用性． 采用文献［１９］的 物 理 模 型 试 验 数 据 进 行 对 比． 其双圈管布置形式及温度测点如图６所示． 图６ 冻结管及温度测点的分布（单位：ｍ） Ｆｉｇ．６ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｆｒｅｅｚｉｎｇｐｉｐｅａｎｄ ｍｅａｓｕｒｉｎｇｐｏｉｎｔｓ（ｕｎｉｔ：ｍ） 本文将内圈管当做第二排冻结管，外圈管当做 第一排冻结管，考虑的冻结温度曲线由５～２５ｈ（实 际对应时间３０～１５０ｄ，根据相似比将试验时间换算 为实际时间，后同）的５条，而不考虑后续的３０～４０ ｈ（１８０～２４０ｄ）的３条冻结曲线，因为前５条冻结曲 线的冻结管管壁温度是一样的．另外根据几何相似 比，可以将试验参数换算为实际参数，其具体布管形 式及相应的参数如表２所示． 表２ 冻结管布置参数 Ｔａｂ．２ Ｌａｙｏｕｔｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｆｒｅｅｚｉｎｇｐｉｐｅｓ 参数 ｌ１／ｍ ｌ２／ｍ Ｌ／ｍ ｒ０／ｍ Ｔｆ／℃ Ｔ０／℃ 数值 １．３１ ３ ２．６ ０．０７２ －１２ ０ 考虑到理论公式的使用条件，即冻结中后期，则 选择２５ｈ（１５０ｄ）的冻结温度分布曲线，考虑内圈管 与外圈管之间的中间位置作为直角坐标的原点，极 径方向作为ｙ轴，向圆中心点的方向作为正方向，并 考虑横坐标ｘ的取值永远为０，经量测可知１－１剖面 的１至８个测点温度及位置如表３所示． 根据测点１，３，５，７的实测温度和坐标值，依据 式（１０）可以测算出冻土帷幕ξ１ 为２．１２ｍ，冻土帷幕 ξ２ 为３．４５ｍ，这 与 圈管 冻 结 时，冻 结 圈 内 的 冻 土 帷 幕厚度大于圈外的冻土帷幕厚度是一致的．自此理 论公式需要的冻结管间距、冻结管排距、冻结管管半 径、冻结管壁温度及冻土帷幕厚度均已知，可以根据 理论公式对已知测点的温度进行计算，其计算结果 列于表３． 表３ １－１剖面的８个测点温度及位置 Ｔａｂ．３ Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅａｎｄｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｅｉｇｈｔ ｍｅａｓｕｒｉｎｇｐｏｉｎｔｓｉｎＳｅｃｔｉｏｎ１－１ 测点 位置 ｙ／ｍ 实测温 度／℃ 理论温 度／℃ 绝对误 差／℃ 相对误 差／％ １ ３．１０ －４．７０ －４．７２ ０．０２ ０ ２ ２．５０ －６．４０ －６．５０ ０．１０ １．５ ３ １．３７ －１２．００ －１１．９０ ０．１０ ０．８ ４ ０．１０ －９．６０ －１０．３０ ０．７０ ６．８ ５ －１．３７ －１２．００ －１１．８０ ０．２０ １．７ ６ －１．９０ －７．２０ －７．８０ ０．６０ ８．３ ７ －２．５０ －４．７０ －４．７０ ０．００ ０ ８ －３．１０ －２．００ －１．７０ ０．３０ １５．０ 考虑 剖 面 ２－２，坐标系选取原理与 １－１ 剖 面 一 致，则可知２－２剖面的１至８个测点位置与１－１剖面 的一样，另外剖面２－２与剖面１－１的冻结参数的惟一 区别在于第二排冻结管相对于第一排冻结管的偏移 量ｗ 为ｌ２／２，其余的理论公式需要的计算参数可直 接使用１－１剖面的冻结参数．则２－２剖面的８个测点 实测温度和理论计算温度如表 ４所示． 表４ ２－２剖面的８个测点温度及位置 Ｔａｂ．４ Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅａｎｄｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｅｉｇｈｔ ｍｅａｓｕｒｉｎｇｐｏｉｎｔｓｉｎＳｅｃｔｉｏｎ２－２ 测点 位置 ｙ／ｍ 实测温 度／℃ 理论温 度／℃ 绝对误 差／℃ 相对误 差／％ １ ３．１０ －５．００ －４．６５ ０．３５ ７．０ ２ ２．５０ －６．４０ －６．３０ ０．１０ １．５ ３ １．３７ －８．９０ －８．８６ ０．０４ ０．４ ４ ０．１０ －９．６０ －１０．１６ ０．５６ ５．８ ５ －１．３７ －１２．００ －１１．８０ ０．０２ ０．２ ６ －１．９０ －６．８０ －７．８０ １．００ １４．７ ７ －２．５０ －４．００ －４．７０ ０．７０ １７．５ ８ －３．１０ －２．００ －１．７０ ０．３０ １５．０ 通过１－１剖面与２－２剖面的实测温度与理论温 度的对比可以看出，两者的绝对误差都不超过１ ℃， 理论公式的精度满足工程上的误差要求，另外也说 明利用理论公式估算冻土帷幕厚度精度较高． ４ 结论 （１）以特殊的单排管冻结温度场解析解为 基 础，将双排管冻结广义问题分解为两个特殊的单排 ３０９
第3期 胡向东，等：双持管冻结稳态温度场广义解析解 391 管冻结温度场问题，由此完成了双排广义解析解公 式.但公式必须在工程中常用的参数下使用（冻结中 Fp.013.57-20 后期，日1/L为0.510)使用 [11门湖向东，郭旺，张洛。无限大区城内少量冻结管稳态温度 (2)分别采用数值模拟和物理模型试验数据对 解析解的正确性进行了对比检验，解析解与数值解 几乎完全吻合，与物理模型试验实测数据吻合程度 in infinite.Journal of Chins Cosl Society.2013.38 也很高.表明了解析解的正确性， [12] D19 参考文献 HU Xiangdong.GUO Wang.ZHANG Luoyu.Analytical re field of four freezing pipe 1 Jiao Tong [2]户部帽。秋元政。谏士内湿度分布計算式上，专@吃用].冷 [3] 谏.1979.51(622)：3. [1]HU Xiangdong.ZHANG Luoyu.Analytical soino ng University S013.186.06 ing in construction].Joumal of th [14]HU Xiangdong.ZHANG Luoyu.HAN Yanguang.An analytica n to temperature distribution of singl ns Division.1968.94 (SM1) 131 sture model of doubl [15]湖向东，汪洋.三挂管冻结温度场的势函数叠加法解析解 5)107 1333-1338. a of 考虑土层冻结温度时人工冻结湿度场 :日然科学板，20风 enng2012.31(5):1071 HU Xiangdong.HUANG Feng.BAI Nan.Models of artificial 16 ning and HU Xiangdong.SHE Siyuan.YU Ruizhi. [1门湖向东，陈，汪洋，等。环形单圈管陈结稳态温皮场解折 [1.岩士力学，2013,34(3)1874. [8]杨被，丁文其，潮向东，等。单排管冻士幕平均温度控制 HU Xiangdong.CHEN Jin,WANG Yang..Analyticn 数敏多性分析.地下空间与工程学报，2012,8(6)：1208 2013.34(3):874 [18】陈想行，案铁虎，周忆.数学物理方程[M门.上海：复旦大学 Space and Eng 9] CHEN Sh HU Xiangdong.ZHAO Fei.SHE Siyuan.a Equivalent 200 olic arch oSocicty.2012,371):28. WANG Renhe.XU Shiliang.Modeling tet of tem state temperatur Teld ot one and two freezing pipes nea 1994-2015 China Academic Joural Electronic Publishing House All rights re http://www.cnki.ne
第３期 胡向东，等：双排管冻结稳态温度场广义解析解 管冻结温度场问题，由此完成了双排广义解析解公 式．但公式必须在工程中常用的参数下使用（冻结中 后期，且ｌ／Ｌ 为０．５～１．０）使用． （２）分别采用数值模拟和物理模型试验数据对 解析解的正确性进行了对比检验，解析解与数值解 几乎完全吻合，与物理模型试验实测数据吻合程度 也很高．表明了解析解的正确性． 参考文献： ［１］ Трупак Н Г．Замораживаниегорных пород при проходке стволов［Ｍ］．Москва：Углетехиздат，１９５４． ［２］ 戸部暢，秋元攻．凍土内温度分布計算式と，その応用［Ｊ］．冷 凍，１９７９，５４（６２２）：３． ［３］ БахолдинБ В．Выбороптимальногорежимазамораживания грунтоввстроительныхцелях［Ｍ］．Москва：Госстройиздат， １９６３． ［４］ ＳａｎｇｅｒＦＪ．Ｇｒｏｕｎｄｆｒｅｅｚｉｎｇｉｎｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅ ＳｏｉｌＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｓＤｉｖｉｓｉｏｎ，１９６８，９４ （ＳＭ１）： １３１． ［５］ ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ．Ａｖｅｒａｇｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｍｏｄｅｌｏｆｄｏｕｂｌｅ－ｒｏｗ－ ｐｉｐｅｆｒｏｚｅｎｓｏｉｌｗａｌｌｂｙｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｒａｐｅｚｏｉｄｍｅｔｈｏｄ［Ｃ］∥ＡＩＰ ＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：ＡＩＰＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇ，２０１０： １３３３－１３３８． ［６］ 胡向东，黄峰，白 楠．考虑土层冻结温度时人工冻结温度场 模型［Ｊ］．中 国 矿 业 大 学 学 报：自 然 科 学 版，２００８，３７（４）： ５５０． ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ，ＨＵＡＮＧＦｅｎｇ，ＢＡＩＮａｎ．Ｍｏｄｅｌｓｏｆａｒｔｉｆｉｃｉａｌ ｆｒｏｚｅｎｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｓｏｉｌｆｒｅｅｚｉｎｇｐｏｉｎｔ［Ｊ］． ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆ Ｍｉｎｉｎｇ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，２００８，３７（４）：５５０． ［７ ］ ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ， ＳＨＥ Ｓｉｙｕａｎ， ＹＵ Ｒｕｉｚｈｉ． Ａｖｅｒａｇｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｆｏｒｓｔｒａｉｇｈｔｓｉｎｇｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅｄｆｒｏｚｅｎｓｏｉｌ ｗａｌｌ［Ｊ］．ＳｃｉｅｎｃｅｓｉｎＣｏｌｄａｎｄＡｒｉｄＲｅｇｉｏｎｓ，２０１１，３（２）：１２４． ［８］ 杨波，丁文其，胡向东，等．单排管冻土帷幕平均温度控制参 数敏感性分析［Ｊ］．地下空间与工程学报，２０１２，８（６）：１２０８． ＹＡＮＧＢｏ，ＤＩＮＧ Ｗｅｎｑｉ，ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ，ｅｔａｌ．Ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓｏｆｃｏｎｔｒｏｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｆｏｒａｖｅｒａｇｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｏｆｓｉｎｇｌｅ－ ｒｏｗ－ｐｉｐｅｆｒｏｚｅｎｓｏｉｌｗａｌｌ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｄｅｒｇｒｏｕｎｄ ＳｐａｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１２，８（６）：１２０８． ［９］ 胡向东，赵飞，佘思源，等．直线双排管冻结壁平均温度的等 效抛物弓形模型［Ｊ］．煤炭学报，２０１２，３７（１）：２８． ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ，ＺＨＡＯ Ｆｅｉ，ＳＨＥＳｉｙｕａｎ，ｅｔａｌ．Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｐａｒａｂｏｌｉｃａｒｃｈ ｍｅｔｈｏｄｏｆａｖｅｒａｇｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｆｏｒ ｓｔｒａｉｇｈｔｄｏｕｂｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅｆｒｏｚｅｎｓｏｉｌｗａｌｌ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｎａ ＣｏａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２０１２，３７（１）：２８． ［１０］ ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ，ＺＨＡＮＧＬｕｏｙｕ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｓｔｅａｄｙ－ ｓｔａｔｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄ ｏｆｏｎｅａｎｄｔｗｏｆｒｅｅｚｉｎｇ ｐｉｐｅｓｎｅａｒ ｌｉｎｅａｒａｄｉａｂａｔｉｃ ｂｏｕｎｄａｒｙ［Ｃ］∥ ２０１３ Ｆｏｕｒｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＤｉｇｉｔａｌＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ＆Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ．Ｑｉｎｇｄａｏ： ＩＥＥＥＣＰＳ，２０１３：２５７－２６０． ［１１］ 胡向东，郭旺，张 洛 瑜．无限大区域内少量冻结管稳态温度 场解析解［Ｊ］．煤炭学报，２０１３，３８（１１）：１９５３． ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ，ＧＵＯ Ｗａｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｌｕｏｙｕ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｓｔｅａｄｙｓｔａｔｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄｏｆａｆｅｗｆｒｅｅｚｉｎｇｐｉｐｅｓ ｉｎｉｎｆｉｎｉｔｅｒｅｇｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｎａＣｏａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２０１３，３８ （１１）：１９５． ［１２］ 胡向东，郭旺，张 洛 瑜．无限大区域内四管冻结稳态温度场 解析解［Ｊ］．上海交通大学学报，２０１３，４７（９）：１３６７． ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ，ＧＵＯ Ｗａｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｌｕｏｙｕ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｓｔｅａｄｙｓｔａｔｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄｏｆｆｏｕｒｆｒｅｅｚｉｎｇｐｉｐｅｓ ｉｎａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅｒｅｇｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ ＳｈａｎｇｈａｉＪｉａｏ Ｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０１３，４７（９）：１３６７． ［１３］ ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ，ＺＨＡＮＧＬｕｏｙｕ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｓｔｅａｄｙ－ ｓｔａｔｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄｏｆｔｗｏｆｒｅｅｚｉｎｇｐｉｐｅｓ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ ＳｈａｎｇｈａｉＪｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ： Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１３，１８（６）：７０６． ［１４］ ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ，ＺＨＡＮＧＬｕｏｙｕ，ＨＡＮ Ｙａｎｇｕａｎｇ．Ａｎａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｓｉｎｇｌｅ－ｒｏｗ－ｐｉｐｅｄｆｒｅｅｚｉｎｇ ｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｉｐｅｓｕｒｆａｃｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｓ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ，２０１３（３５３／３５４／３５５／３５６）：４７８． ［１５］ 胡向 东，汪 洋．三排管冻结温度场的势函数叠加法解析解 ［Ｊ］．岩石力学与工程学报，２０１２，３１（５）：１０７１． ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ，ＷＡＮＧ Ｙａｎｇ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｒｅｅ－ ｒｏｗ－ ｐｉｐｅｄｆｒｏｚｅｎｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄｂｙｍｅａｎｓｏｆｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆｐｏｔｅｎｔｉａｌ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｒｏｃｋ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１２，３１（５）：１０７１． ［１６］ ＨＵＸｉａｎｇｄｏｎｇ，ＨＡＮＹａｎｇｕａｎｇ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｓｔｅａｄｙ－ ｓｔａｔｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄｏｆａｓｙｍｍｅｔｒｉｃｆｒｏｚｅｎｓｏｉｌｗａｌｌｂｙｓｉｎｇｌｅ－ ｒｏｗ－ｐｉｐｅｆｒｅｅｚｉｎｇ［Ｃ］∥ ２０１３ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ， Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ． Ｐｅｎｎｓｙｌｖａｎｉａ：ＤｅｓｔｅｃｈＰｕｂｌｉｃａｔｉｏｎｓＩｎｃ，２０１３：６３６－６４１． ［１７］ 胡向东，陈锦，汪洋，等．环形单圈管冻结稳态温度场解析解 ［Ｊ］．岩土力学，２０１３，３４（３）：８７４． ＨＵ Ｘｉａｎｇｄｏｎｇ，ＣＨＥＮＪｉｎ，ＷＡＮＧ Ｙａｎｇ，ｅｔａｌ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｓｔｅａｄｙ－ｓｔａｔｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄｏｆｓｉｎｇｌｅ－ｃｉｒｃｌｅ－ｐｉｐｅ ｆｒｅｅｚｉｎｇ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆ Ｒｏｃｋａｎｄ Ｓｏｉｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， ２０１３，３４（３）：８７４． ［１８］ 陈恕行，秦铁虎，周忆．数学物理方程［Ｍ］．上海：复旦大学 出版社，２００３． ＣＨＥＮ Ｓｈｕｘｉｎｇ， ＱＩＮ Ｔｉｅｈｕ， ＺＨＯＵ Ｙｉ． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｈｙｓｉｃｓｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｍ ］．Ｓｈａｎｇｈａｉ：Ｆｕｄａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， ２００３． ［１９］ 汪仁和，徐士良．冻结壁温度场模型试验及其导热系数反分 析［Ｊ］．安徽理工大学学报：自然科学版，２００３，２３（４）：１８． ＷＡＮＧ Ｒｅｎｈｅ，ＸＵ Ｓｈｉｌｉａｎｇ．Ｍｏｄｅｌｉｎｇｔｅｓｔｏｆｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｆｉｅｌｄｏｆｆｒｅｅｚｉｎｇｗａｌｌａｎｄｉｎｖｅｒｓｅｈｅａｔｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ： ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ，２００３，２３（４）：１８． １９３