510.4最小费用流问题 13 图10-14 10.4最小费用流问题 在律立运输网络时.除了考虑运输能力（即每条边有容量）外坏要考虑运输费用。寻 求一个在运输一定数量的货物的同时使总耗费的运输费用最小的运输方案。前几节讨论 的最大流问题反映的是运输网络的运输能力问题。本节讨论有关运输费用的问题. 一、最小费用流问题的数学模型 设网路G=(V.E.c,b).对于G的每条边e,除了考虑容量c,外.还赋予表示费用 (可指距离，时间等各种指标)的权()=b(,)或简写为b,b,≥0.若f是G的一个 可行流，我们定义流f的费用或流f的权为： f)=∑bi (,)EE 如果∫是所有流值等于V(f)的可行流中费用()最小的可行流，了就称为最小费用流 般来讲，G中流值相等的可厅流不止一个。若给定网络G=(V,E,c,b)及一一个给定 的流值6，求流值为%的最小费用流，即： b(f')=min{b(f)f为G的可行流，V(U)=%} 则称为G的流值为6的最小费用流 在最大流问题里。可行流是每条边上的流量不超过其能力以及每一中转点输入和输 出的流量相等。前者称为限制条件，后者称为平衡条件。对于最小费用流问题的能力限制 和平衡条件仍与最大流问题同，至于最小费用流问题的目标函数是 minz=∑bf词 (wDAEE 显然，这也是一个线性规划问题，因为两个约束条件和目标函数都是线性的。我们列 出最小费用流向题的线性规划模型： min 2=∑bf 0≤f≤c,其中(，)∈E 6,当i-s时 ∑f-∑j= 0,当i≠s,t时 -%,当i-t时 §10.4 ➬✁➱✁➓✁➔✁①❫→✺➣ 13 ❚ 10–14 §10.4 ÏÑÓ↕↔↕➙ÑÒ↕➛↕➜ ⑦✁✎✁✏ô✁õ ❍❇■✁✖, ➝ ÿ✁➞✁➟✁ô✁õ❻✁➭ (✿✁r❸✁❆⑨ ➡✾ ) ➠, ➡✁❚➞✁➟✁ô✁õ✁➢✶✁✺ ➎ ❙➦✪➦✫⑦ô➦õ➦✪➦â➦❴✾❩➤✁➥❋ ➤ ✕✁✖, ➷þ❩➦❩➢➤ô➦õ❩➢✶❨➦❭➤ô➦õ✁❧❩❹✺ ❄ ④ Ü❩✹✁✻ ➤❨✁❩✴✁ú✁ü✁➄✁➧➤❃ô✁õ ❍❇■➤ô✁õ❻✁➭ú✁ü, ◗ Ü✁✹✁✻⑨✁➨ô✁õ✁➢✶➤ ú✁ü✁✺ æèç✣➩✥➫✥➭✩❇✩➯✩➲✫➳ðí✫➵✩➸✩➺✫➻ ✒ ❍✰■ G = (V, E, c, b), ❏✟✵ G ➤r ❸✣❆ e, ➝ ÿ✟➞✟➟✣➡✾ ci,j ➠, ➡✟➼✟➽✇ ❱➢ ✶ (❋ ✗✁➾✁➚, ✖❀✁➪➈ ✶✁✗✁➶) ➤✁➹ b(e) = b(vi , vj ) ✳✁➘✁➴♦ bi,j ,bi,j ≥ 0✺➷❺ f ❃ G ➤✁➬✁➮ ❋✁●✴, Þ✁ßâ✁➱✴ f ➤➢ ✶✁✳✁✴ f ➤✁➹♦ : b(f) = X (i,j)∈E bi,jfi,j . ➇✁➚ f ❃✁❯✁⑨✁✴✁➩➪✵ V (f) ➤❋✁●✴ ♣✺➢✶ b(f) ❨✁❭➤❋✁●✴,f ➘✁➂♦✁❨✁❭✁➢✶✁✴✁✺ ➬✁✃➾✁❐,G ♣✴✁➩➍➪ ➤❋✁●✴♠✁❒➬✁➮✺P❺✁❞â ❍❇■ G = (V, E, c, b) ❲ ➬✁➮❞ â ➤✴✁➩ V0, ❙ ✴✁➩♦ V0 ➤❨✁❭✁➢✶✁✴, ✿: b(f 0 ) = min{b(f)|f♦ G ➤❋✁●✴, V (f) = V0} ❻✁➂ f 0 ♦ G ➤✴✁➩♦ V0 ➤❨✁❭✁➢✶✁✴✁✺ ⑦ ❨✣❩✴✣ú✣üÝ , ❋✣●✴✣❃✟r❸✣❆✣❢➤✴✾ ♠✟❮◆▲ ❻✣➭❄✟❲✟r➬ ♣✰ù➌õ▼ ÷õ ✲ ➤✴✾ ➍➪✺ ❄ ✴✁➂♦✁✱✁✲✁❸✁❹, ❈✴✁➂♦✁❰✁Ï✁❸✁❹✺ ❏✁✵❨✁❭✁➢✶✁✴✁ú✁ü➤❻✁➭✱✁✲ ÷❰✁Ï✁❸✁❹✁Ð✁Ñ✁❨✁❩✴✁ú✁ü✁✕, Ò✁✵❨✁❭✁➢✶✁✴✁ú✁ü➤ÔÓ ➶✁Õ❴ ❃: min z = X (vi,vj )∈E bi,jfi,j . Ö✁×, Û❺❃ ➬✁➮✸✁Ø✁Ù✁Ú✁ú✁ü, ❼♦✁✾➮ ❁➙✁❸✁❹÷ Ó ➶✁Õ❴ ø❃✣✸✁Ø➤ ✺⑩Þ✣ß✁Û ✲ ❨✁❭✁➢✶✁✴✁ú✁ü➤✸✁Ø✁Ù✁Ú✁❷✛ : min z = Pbijfij    0 ≤ fij ≤ cij , ▲ ♣ (vi , vj ) ∈ E Pfij − Pfji =    V0, ❂ i = s ✖ 0, ❂ i 6= s,t ✖ −V0, ❂ i = t ✖