兰州交通大学：《管理运筹学》课程电子教案（讲义）第十章网络的流.pdf_大学文库

第十章网络的流网络模型的很多问题可以归结为网络流问题。第九章中介绍的最短路问题，本质上也是网络流问题，属于网络流问题的一类特殊问题。而多数网络流向题又是线性规划的特殊类型.都可以建立对应的线性规划或整数规划摸型。那么为什么要用网络流的方法代替线性规划，不用线性规划的一般求解方法，而要另外建立一些算法呢？由于实际问题中抽象出来的网络流模型是一类具有特殊结构的问题，利用其特性常常可以研究、寻求一些较单纯形法更为有效的方法去求解，又由于网络模型的直观性常常可以通过顶点一边的关系代数学模型来措述一个实际问题，更易于接受.网络流题是图论的重要方面，在广泛的领域里具有重要的应用。这一章我们以运输网络为例，介绍网络的流及其它有关问题。主要内容是：流和割的概念。最大流最小制定理，确定最大流的标记法，最小费用流以及最小费用最大流的网络模型。 S10.1基本概念和定理一、流设G=(W,E)为一有向图，顶点V表示一些城市（或中转站），边集E表示连接顶点的道路。给每边e∈E(G)赋予一个非负整数c(e) c,),或简记为c4,通常称为容量，它表示在一定时间内这条边货物的最大通过量则称G为一个网络，现在假定在网络中有一点s有大批货物要通过网络运送到网络的另一点t.s点我们称为网络的源，通常假定它没有射入边t点称为汇，假定它没有射出边.除了源和汇以外的点称为G的中间顶点.这样的网络就是在物资运输问题中常用的数学榄型，常常称为运输网络。在运输网络中边可以用来表示城市之间的公路或铁路，电信局之间的通讯线路等，边的容量则可以表示输送的物资量，速率公路或铁路上通过的车辆数或信息量等等。图10-1表示一个具有一个源s,一个汇t以及4个中间顶点，2，，”的运输网络.边旁的数字为c· 图10-1 假如，我们把网络中的边视为交通网中的道路，每条道路都有一定输送货物的能力即容量，问题就成为如何在该运输网络中寻找最佳运输方案一个货物运输方案，可以用网络上的一个可行流来表示。所谓网络上的流是指定义在边集合E上的一个函数f(e)=f(,),并称f(e)为 1

✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞ ✟✡✠☞☛☞✌☞✍☞✎☞✏☞✑☞✒☞✓☞✔✖✕☞✗✖✘✙✟✚✠☞✛✖✑✖✒☞✜✣✢☞✤✖✥✙✦✚✧☞★✖✍✖✩☞✪✖✫☞✑✖✒, ✬☞✭☞✮☞✯ ✰✟✡✠☞✛☞✑☞✒, ✱☞✲ ✟✡✠☞✛☞✑☞✒☞✍☞✳☞✴☞✵☞✶✖✑☞✒✖✜✸✷✖✏✖✹✙✟✚✠☞✛✖✑✖✒☞✺✰☞✻✖✼✖✽☞✾✍☞✵✖✶ ✴☞✌, ✿✓☞✔☞❀☞❁☞❂☞❃☞✍✻☞✼☞✽☞✾✖❄✖❅✹✽☞✾☛✖✌☞✜✣❆✖❇☞✘✖❈☞❇✖❉✖❊✙✟✚✠☞✛✖✍✖❋☞●✖❍☞■✻ ✼✖✽✖✾, ❏ ❊✻✖✼✖✽✖✾✍✖✳✖❑✖▲✖▼✖❋◆●, ✷✖❉✖❖✖P✖❀✖❁✖✳✖◗✖❘✖●✖❙? ❚✚✲✖❯✖❱✑✖✒❲✦✚❳✖❨ ❩☞❬✍✙✟✡✠☞✛☞☛☞✌✰✳☞✴✖❭☞❪✖✵☞✶✖✗✖❫☞✍✖✑☞✒, ❴ ❊☞❵☞✵✼☞❛☞❛✓☞✔☞❜☞❝☞❞✣❡✖▲☞✳✖◗☞❢✖❣ ❤✖✐●✖❥✖✘✖❪✖❦✖✍✖❋✖●✖❧✖▲✖▼, ✺ ❚✚✲ ✟✚✠✖☛✖✌✖✍✖♠✖♥✼ , ❛✖❛✓✖✔✖♦✖♣✖q✖r – s ✍✖t✖✉ ❍✖■✖✹✖✈✖☛✖✌❬✖✇✖①✳✖②❯✖❱✑✖✒, ❥✖③✲✖④✖⑤✜✡✟✚✠✖✛✖✑✖✒✰✖⑥✖⑦✍✖⑧✖❉◆❋✖⑨, ⑩✖❶✖❷ ✍✖❸✖❹✖❺✖❭✖❪✖⑧✖❉✖✍✖❃✖❊✖✜ ❻✳✖✥✖❼✖❽✖✔✖❾✖❿❲✟✚✠✖✘✖➀, ✧✖★❲✟✚✠✖✍✖✛✖➁✖❵✖➂✖❪✖t✖✑✖✒✖✜➄➃◆❉❲➅✚➆✰ : ✛✖➇✖➈✖✍ ➉◆➊, ✩◆➋◆✛◆✩◆➌◆➈◆➍◆➎, ➏➍◆✩◆➋◆✛◆✍◆➐◆➑◆●, ✩◆➌◆➒◆❊◆✛◆✔◆➁◆✩◆➌◆➒◆❊◆✩◆➋◆✛◆✍➓✟➔✠ ☛✖✌✖✜ §10.1 →↔➣↔↕↔➙↔➛↔➜↔➝ ➞➠➟➢➡ ➤ G = (V, E) ✘✖✳✖❪❲➥⑥ , q✖r V ➦✖➧✳✖◗✖➨✖➩ (❄ ✦✚➫✖➭), s✖➯ E ➦✖➧✖➲✖④q✖r ✍✖➳✖✫✖✜➄➵✖➸s e ∈ E(G) ➺✖➻✳✖②✖➼✖➽❅✹ c(e) = c(vi , vj ), ❄✖➾➑✖✘ ci,j , ♦❛✖➚✘➶➪ ➹ , ➂➦✖➧✖⑩✳✖➍✖➘✖➴❲➅❻✖➷s✖➬✖➮✍✖✩✖➋✖♦✖♣✖➱, ✃➚ G ✘✖✳✖②❲✟✚✠✖✜❒❐⑩✖❮➍ ⑩ ✟✚✠ ✦✚❪✖✳✖r s ❪✖➋✖❰➬✖➮❉✖♦✖♣❲✟✚✠✖❾✖Ï✖Ð❲✟✚✠✖✍✖❖✖✳✖r t✜ s r✖❼✖❽➚✘❲✟✚✠✖✍ÒÑ, ♦❛ ❮ ➍✖➂✖Ó✖❪✖Ô✖Õs;t r➚✘×Ö, ❮ ➍✖➂✖Ó✖❪✖Ô❩ s ✜ÙØ✖Ú✖Û✖➇✖Ü✖✔✖P✖✍✖r➚✘ G ✍×Ý✖Þ ß✖à✜ ❻✖á✍❲✟✚✠✖â✰ ⑩✖➮✖ã❾✖❿✖✑✖✒❲✦❛❊✖✍✖✹✖✈✖☛✖✌, ❛✖❛✖➚✘×ä✖å✖æ✖ç✖✜ ⑩❾✖❿❲✟✚✠❲✦s ✓✖✔✖❊❬➦✖➧➨✖➩✖è✖➴✖✍✖é✖✫❄✖ê✫ , ë✚ì✖íè✖➴✖✍✖♦✖î✻✫✖ï, s ✍✖➆✖➱✃✓✖✔ ➦✖➧❿✖Ï✖✍➮✖ã➱ , ð✖ñ, é✖✫❄✖ê✫ ✮♦✖♣✖✍✖ò✖ó✖✹❄ì✖ô➱✖ï✖ï✖✜ ⑥ 10–1 ➦◆➧✳◆②◆❭◆❪◆✳◆②◆Û s, ✳◆②◆Ü t ✔◆➁ 4 ②➓✦➔➴◆q◆r v1, v2, v3, v4 ✍◆❾◆❿➓✟ ✠✖✜ s✖õ✍✖✹✖ö✖✘ ci,j ✜ ⑥ 10–1 ❮✖÷, ❼✖❽✖ø❲✟✚✠❲✦✚✍s✖ù✘✖ú✖♦❲✟✖✦✚✍✖➳✖✫, ➸➷➳✖✫✿ ❪✖✳✖➍✖❿✖Ï➬✖➮✍✖û✖ü✖ý ➆✖➱, ✑✖✒✖â✖þ✖✘÷✖ÿ✖⑩✁❾✖❿❲✟✚✠❲✦✚❡✁✂✖✩✁✄✖❾✖❿✖❋✁☎✖✜ ✳✖②➬✖➮❾✖❿✖❋✁☎, ✓✖✔✖❊❲✟✚✠✮ ✍✖✳✖②✖✓✁✆✖✛❬➦✖➧✜ ✝✁✞ ✟✚✠✮ ✍✠✟, ✰✁✡➍✁☛⑩✖s✖➯✁☞ E ✮ ✍✖✳✖②✁✌✖✹ f(e) = f(vi , vj ), ✍➚ f(e) ✘ 1

2 ✎✑✏✓✒✕✔✓✖✑✗✓✘ s (vi , vj ) ✮ ✍✙✟➹ (❪✖➘✯ ➾✁✚✁✛ fij )✜ ⑥ 10–2 ✝ ➧ ✍✖❾✖❿✖❋✁☎, â✖✓✁✜✛✖✰✖⑥ 10–1 ✮ ✍✖✳✖②✖✛, ➸➷s✖✮✍✖✢✁✢✖②✖✹✖ö✖â ✰◆s◆✮✍◆❾◆❿◆➱, ➚✘◆✛◆➱, ý fs1 = 3, fs2 = 1, f13 = 1, f14 = 1, f12 = 1, f24 = 2, f43 = 1, f3t = 2,f4t = 2✜ ⑥ 10–2 ✔ ⑥ 10–2 ✘✖➀, ✣ ✷✖③✁✤, ⑩❾✖❿❲✟✚✠✖✍❯✖❱✑✖✒❲✦, ❂ ✲ ✛✖❪✁✥✖②✖❉✖▲: ✳✰➸ s ✮ ✍☞✛☞➱❏ û✧✦☞♣☞s✍✖✩✖➋☞♦✖♣☞û✖ü (ýs ✍☞➆☞➱); ✢✰✦✡➴☞r☞✍☞✛☞➱☞✘✧★☞✜✪✩✖✘✙✦✚➴ r✧✫✧✬☞➫☞❾✛❊ , ✭ ❩ r☞✍☞✛☞➱✧✮☞ï, ✝✔☞❼☞❽✧✯✙✦✡➴☞r☞✍☞✛☞➱✖✘✧★✖✜✸❖✖P, ✰ r☞✍✧✱☞✛ ❩ ➱✖➇✁✲✖r✖✍✁✱✖✛✖Õ✖➱✁✳✁✮✖ï, ✯ ✰❻②✖❋✁☎✖✍✁✴✖❾✖❿✖➱✖✜✵✩✁✶✖❪: ❂ ✲ ✟✚✠ G ✮➵❩ ✍✁✷✁✸✖✔✁✹➷✁✺✍✖✳✁✻✖✛➚✘✖✓✁✆✖✛: 1. ➆✖➱✁✼✁✽➷✁✺, ❂✁✾✁✿s e = (i, j) ∈ E ❪ 0 ≤ fij ≤ cij (10.1) 2. ✦✚➴✖r✁❀✁❁➷✁✺, ❂✖➸✖②❲✦✚➴✖r vi(i 6= s,t) ❪ X (vi,vj )∈E fij = X (vj ,vi)∈E fji (10.2) ❂✔ v(f) ➦✖➧ ✟✚✠✁❃ s → t ✍✖✛✖➱ (✛✁❄), ✃❪ Xfij − Xfji = ( v(f), ❅ i = s ➘ −v(f), ❅ i = t ➘ (10.3) ✾✖✳❲✟✚✠ G, ❆✁❇✁❈✖⑩✳✖②✖✓✁✆✖✛✖✜✵✩✖✘◆❂✲✝❪✖✍s e, ➍✁☛ fij = 0, ✃ f ✣✁❉✷ ✸ ✮①✥✖②➷✁✺, ➚✘❋❊✁✟✖✜❒✛✁❄ v(f) = 0✜❒✷✖❾✖❿❲✟✚✠✖✍✖➃✖❉✖✑✖✒✰❉✁✂❩ ➂✖✍✖✳✖②✖✩ ➋✖✛, ý⑩✷✁✸✖➆✖➱✁✼✁✽✖➇❲✦✚➴✖r✁❀✁❁✖✍➷✁✺✹ , ● ✛✁❄ v(f) ❍ Ð✖✩✖➋✖✜ ➆✖➱✁✼✁✽➷✁✺✰ ✳✖②❏ï✁■, ✝✔✖✩✖➋✖✛✖✑✖✒✰✳✖②✁❏✖✌✖✍✻✖✼✖✽✖✾✑✖✒✖✜ ✩✁✶, ✟✚✠✖✛✖✍✻✖✼✖✽✖✾☛✖✌✖✓✖✔ ➦✖➧✘ max z = v(f) ✷✁✸    Pfij − Pfji =    v(f), ❅ i = s ➘ 0, ❅ i 6= s,t ➘ −v(f), ❅ i = t ➘ 0 ≤ fij ≤ ci,j , ❵❲✦(vi , vj ) ∈ E

§10.1 ❑✁▲✁▼✁◆✁❖✁P✁◗ 5 ❂❊ v(f ∗ ) ➦✖➧ ✟✚✠❲✦✓❃✖Û s Ð t ✍✖✩✖➋✖✛, ✃❪ : v(f ∗ ) = f ∗ (V1, V 1) − f ∗ (V 1, V1) (10.8) ❊ K∗ ➦✖➧✩✖➌✖➈✖✜✵❾✁❿✖➈✖✍➉✖➊,v(f ∗ ) ❃✖➌✲ï ✲ ✟✚✠❲✦✚✩✖➌✖➈✖✍✖➆✖➱ c(K∗ ), ý v(f ∗ ) = f ∗ (V1, V 1) − f ∗ (V 1, V1) ≤ c(K∗ ) (10.9) ❚✚➦ 10–1 ❧❩ ✟✚✠⑥ 10–3 ✦✓❃✖Û s Ð✖Ü t ✍✖✩✖➋✖✛✖➱❏✦✖♣ 14 ❣✁➀✖✜ ➁➟♦➂➄➃➠➡➄➂➆➅✠♥➆➇✠➈ ➉⑨✑➊✓➋✡❩ , ❂ f ∗ ✘✁✷✁✸✁✹❘➷✁✺✍✖✛: v(f ∗ ) = max{v(f)|f✘ G ✍✖✳✖②✖✛}, ✃➚ f ∗ ✘ G ✍✙❶✁➌✁✟✖✜ ❂ K∗ ✘✁✷✁✸✁✹❘➷✁✺✍✖➈: c(K∗ ) = min{c(K)|K✘ G ✍✖✳✖②✖➈}, ✃➚ K∗ ✘✙❶✁❸✁❺✖✜ ❂✟✚✠ G ✦ ❚ Û s Ð✖Ü t ✍✖✛✖➱❍ Ð✖✩✖➋✁❄✁✫✖û✖ï✲✩✖➌✖➈ K ✍✖➆✖➱, ý v(f ∗ ) = c(K∗ )✜ ❻â✰✁➍✁➎ ✍ Ford-Fulkerson ✍✖✩✖➋✖✛✖✩✖➌✖➈✖➍✖➎✖✜ ❻✰✖⑥➇❲✟✚✠◆➎⑦❋✖⑨◆✍✖✳ ②☞⑧☞❉☞➍☞➎, ✯ ✰✹☞⑨☞❉✧➏①✍☞❊☞➐☞➑✖●☞▲❲✟✡✠✖✩✖➋☞✛✖✍✧➐✁❿☞✜ ⑩✁➑①❻②✖➍✖➎☞è➉r✖✧ ★✁➒✖✛✁➓✖✍➉✖➊✜ ⑩ ✟✚✠ G ✦ , ➤ Q ✰✳➷❃✖Û s Ð✖Ü t ✍✁➓, ✃✖⑩❻✖➷➓ Q ✮✁✍❛✁➔ Q ✍✖❋❲➥✚✳✁→ ✍s, ➚✘➉➥s, ⑩ Q ✮✁✍❛✁➔ Q ✍✖❋❲➥✓✮✁➣✖✍s ➚✘✁↔❲➥s ✜ ➀÷✖⑩⑥ 10–3 ✦ , q✖r✁↕❘ sv1v3v4t ❫✖þ✖✳➷➓ , ❵❲✦ (s, v1),(v1, v3),(v4,t) ✰➉➥ s,(v3, v4) ✰↔❲➥s ✜ ÷✁➙ Q ✰❃ s Ð t ✍✖✳➷➓ ,fij ✰ G ✍✖✳✖②✖✓✁✆✖✛, ✷✁✸: 1. 0 ≤ fij 0, ✃✓ ➝✁➞✳✁➟❅➌✖✍✁➠✖✹ θ: θ = min ( ci,j − fi,j , ❅ (i, j) ✰ Q ✍➉➥s, fi,j , ❅ (i, j) ✰ Q ✍✁↔❲➥s ❉ ↔ , ➡✁➢➉➥s✖✮✍✖✛✿✁➤ θ, ↔❲➥s✖✮✍✖✛✿❼ θ, ❏✖⑩➒✖✛✁➓✮ ✍s, ✛❏✁❳✜ ❊✖❘✁■➦✖➧â✰ : f 0 i,j =    fi,j + θ, ❅ (i, j) ✰ Q ✍➉➥s; fi,j − θ, ❅ (i, j) ✰ Q ✍✁↔❲➥s; fi,j , ❵✖➂

6 ✎✑✏✓✒✕✔✓✖✑✗✓✘ ✶✖➘ v(f 0 ) = v(f) + θ✜ ✣✁❉ f 0 ➥✘✖✳✖②✖✓✁✆✖✛, ➦ ❢✖è✁➧❬✍✖✓✁✆✖✛ f, ❻➘❲✟✚✠❲✦✓❃✖Û s Ð✖Ü t ✍✖✛✖➱✁➒✖➋✖Ú✖✳✖② θ ❄✖✜➨✩✁✶, ❂ ✲✳✖②✖➵✖➍✖✍❲✟✚✠✖✓✁✆✖✛, ➋✖♣✁➩✁➫✁➭❅ , ♠ ❆ ✂❏ ❩ ➒✖✛✁➓, â✁❧✖Ð✖✩✖➋✖✛✖✜ ❻ ✯ â✰✯ , ❂✟✚✠❲✦✚✍✖✛✖➱✑➯❍ Ð✖✩✖➋✁❄, ✃✖⑩✁✟✚✠❲✦❏✓✖û➡ ✂❩ ➒✖✛➲➓✖✜➄❂ ➵✖➍✖✍✖✛ f, ❼✖❽✖❫✁➳✖✳✖②✖r✖✍➯✁☞ V1, ➍✁☛: 1. s ∈ V1; 2. ❂ vi ∈ V1 ➇ fi,j 0, ✃ vj ∈ V1 ✜ ❾✁❿ V1 ✍✖➍✁☛, ✓✖✔✁➵✑➸ t ∈ V 1 ✜✵➺✃, ❤✖❪✖✳➷❃ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓, ✶✁➓✖✍✁✇✁⑩➉ ➥s (vi , vi+1) ✷✁✸: f(vi , vi+1) 0. ❻✖á, ❻✖➷➓✁❤✰✓✁➒✖✛✖✍, ➔❮ ➤✁➻✁➼✜✵✩✁✶✁✳✖❪ t ∈ V 1 ✜ ❚ ✶ ,K(V1, V 1) ✘❲✟✚✠✖✍✖✳✖②✖➈, ➈✖✍✖➆✖➱✖✘ c(V1, V 1)✜ ④➘ , ➽ V1 ✍✖➍✁☛, ♦✖♣ ❻②✖➈✖✍✖✛✖✘: f(V1, V 1) = X (i,j)∈(V1,V 1) fij = X (i,j)∈(V1,V 1) cij = c(V1, V 1) (10.10) f(V 1, V1) = X (j,i)∈(V1,V 1) fji = 0 (10.11) ✩✖❼✖❽❮ ➍❲✟✚✠❲✦✚✛✖➱✑➯❍ Ð✖✩✖➋, ❪ v(f ∗ ) = f(V1, V 1) = c(V1, V 1) ≥ c(K∗ ) (10.12) ❚ (10.9),v(f ∗ ) ≤ c(K∗ ). (10.9) ➔ (10.12) ■ ④➘✁✷✁✸, ✳✖➍✖❪ v(f ∗ ) = c(K∗ )✜ ❾✁❿✮①⑦➵ , ❼✖❽✖✓✁❧✖✩✖➋✖✛✖✩✖➌✖➈✖➍✖➎: ➾✁➚ 10.1.1 ➪✁➶✁➹✑➘✓➴✑➷ , ➬✁➮✁➱✁✃✁➱✁❐✁❒✁❮✁➬✁❰✁Ï✁✃✁Ð✁Ñ✜ §10.2 ÒÔÓÔÕÔÖÔ×ÔØÔÙÔÚÔÛÔÜ❷Ý Þ❞✵ß✁à✁á✁â ➐◆➑◆●◆▲◆✩◆➋◆✛✰❃◆✳◆②◆✓➲✆◆✛❩ ✰ (❂ ✟➔✠ G ✦➔Ó◆❪◆➵◆➍◆✍➲ã➲ä◆✓➲✆◆✛, ✓ ❚ ★ ✛❩ ✰), ➋✖♣✖➐✖➑✖➇✁➭❅✥✖②✖♣✁å✖✜ æ✁ç✁è✁é: ❻✰❊❬❡✁✂✁➒✖✛✁➓✖✍✖♣✁å. r➲❃◆Û s ê ä , ❂Û s û➲➠➓➥➔❿◆Ï◆✛◆Ð◆q◆r vi , â➲✯ë➸➔q◆r vi ✰✓◆➐◆✍◆✜ ⑩❻②◆♣ å➓✦, ✟➔✠➓✦➔✍◆q◆r❄➲ì➐◆➑ (➽ ➐◆➑◆✍➲r➲↔➲í➲↕➲q➲î◆r➲ï➲ð, ✝✔◆✺➲ñ➲ï➲ð◆➇➲ò➲ï➲ð➲✥ ❫ ), ❄✁óòì➐✖➑✖✜ ➸✖②✖q✖r✖➵✁✥❫ ❏✁④✍✖➑✁ô: ✢✖✳✖②➦✖➧➂✖✍✖➐✖➑✰❃✁õ✖✳✖q✖r✁❧✖Ð ✍ , ✔✧❦✧✂❩ ➒☞✛✧➓; ✢✧✢☞②☞➐☞➑✰✘ ➏➍✧➒☞✛✧➓✖✍✧➭❅➱ θ ❊☞✍☞✜ ⑩ ➐☞➑☞♣✧å✙✦, ❪☞➐☞➑ ✍✖q✖r➦✖➧✰ V1 ✦✚✍✖r, Ó✖❪✖➐✖➑✖✍❏✰ V1 ✦✚✍✖r✖✜➄✳✁ö✖Ü t ❧✖Ð✖Ú✖➐✖➑, ➦ ➸✓✂✖Ð✖Ú

§10.2 ÷✁✔✓✖✁ø✁ù✁✘✑✗✓ú✁û✁ü✑ý 7 ✳➷❃ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓; ÷✁➙➐✖➑✖♣✁å✁þ✖●✭ ✆✁✹✖❧, ✷ t ❴ò✖➐✖➑, ✃✖➦ ➸❏✁❈✖⑩ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓, ✲✰❧✖Ð✖✩✖➋✖✛, ④➘ ✯ ❧✖Ð✖✳✖②✖✩✖➌✖➈✖✜ ÿ✁è✁é: ❻✰❊❬➒✖➋✖✛✖➱✖✍✖♣✁å. ❾✧❿☞q☞r☞✍☞✢☞✳☞②☞➐☞➑,“➣❲➥✄✂✁☎” ✂❩ ➒☞✛✧➓ Q✜ ➢ ➭❅➱ θ ✰ l(t), ý t r☞✍☞✢✧✢ ②✖➐✖➑✖✜ ⑩ ➒✖✛✁➓✮ ✍✖✳✁✆➉➥s✖✮➒➤ θ, ↔❲➥s✖✮❼ ❇ θ, ❵✖➂s ✍✖✛✖➱✁✝✁✞❏✁❳✜ ❻ áâ✁❧✖Ð✁✟✖✍✖✓✁✆✖✛✖✜➄❂✁✟✖✍✖✓✁✆✖✛◆⑧✁✟✖➫◆Õ✖➐◆➑✖♣➲å, ❅✁➡✖✯✂❏ Ð✁✟✖✍✁➒✖✛✁➓✖➘, ý Ü t ❧ ❏ Ð✖➐✖➑✖➘, ❘✖●✈✁✠✜ ✡☞☛✍✌✏✎✏✑✏✒ ✓Þ✁✔: ê ä✖➵✖Û s ➐ ✮ (0, +∞)(⑨ ô❲✦✚✢✖✳✖②✖✹✖ö, ✩ S ✰Û , ✕ ➑✖✘ 0), ❻➘ S ✰ ➯✚➐✖➑✖✷✁ò✁ï✁ð✖✍✖r, ❵✁✖✿✰ò✖➐✖➑✖r✖✜ ➽ ❧✖Ð✖➐✖➑✖✍✁r✁↔➲í✁↕, ⑥ ✳✖②✑➯✚➐✖➑✖✷✁ò ï✁ð✖✍✖r vi , ❂✁✮✁✗✖✍✖✳✁✆✁ò✖➐✖➑✖✍✖r vj : 1. ❂ ⑩☞s (vi , vj ) ✮, fi,j 0, ✃➵ vj ➐✖➑ (−vi , l(vj ))✜ ❻❺ l(vj ) = min{l(vi), fj,i}✜ ❻➘✖q✖r vj þ✖✘✑➯✚➐✖➑✖✷✁ò✁ï✁ð✖✍✖r✖✜ ✓✁✘✔: vi þ✖✘✑➯✚➐✖➑✑➯✓ï✁ð✖♣✖✍✖q✖r, ⑩ ➐✖➑✁✹✖⑨✾✳✁✙✻✜ ⑧✁✚✖✢✖✳✁✛, ✳✁ö✖Ü t ì➐✖➑, ➦ ➸✓❧✖Ð✖✳➷❃ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓ Q, ✭ ✆✖✢✁✜✁✛✖✜ ❂✝❪ì➐✖➑✖✍✖q✖r✿ ➯✓ï✁ð ♣ , ✷✖➐✖➑✖♣✁å✭ ✆ ❏✹✖❧✖➘, ✃❘✖●✖✗✁❲, ❻➘✖✍✖✓✁✆✖✛✖â✰✩✖➋✖✛✖✜ ✓✣✢✔: ➽ Ü t ➁✣✤✣✥✣✦✣✧✣★✣✩✣✪✣✫✣✬✣✭,“➣✯✮✰✂✣☎” ✱✣✲✣✳✣✴✣✵ Q, ✶✣✷✣✸✣✹✣✲✣✺ ✻✁✼✁✽✁✾ θ = l(t), ✿✁❀ t ★✁✩✁❁✁✫✁✬✁✭✺ ✻ : f 0 i,j =    fi,j + θ, ❂ (i, j) ❃ Q ★✁❄❅✮❇❆ fi,j − θ, ❂ (i, j) ❃ Q ★✁❈❅✮❇❆ fi,j , ✤✁✥ ❉✁❊★✁❋✁●✴✁✹✁✲❅❍❇■ G, ❏ ❊ ✴ (❊ G) ❑ ❊✁▲✁▼✬✁✭✁◆✁❖✺ P 2. ✶✬◗✭◗❘◗❙◗❚ 10–4 ❯◗❱❲❍❳■★◗❨◗❩✴, ❬◗✱◗✲❨◗❭◗❪✺ ❆◗❫◗★◗❴◗❵❃ (ci,j , fi,j )✺ ❚ 10–4 ❛ : (✪ )❜ ✬✁✭✁◆✁❖ (1). ❝✁❞✁❡ S ✬✁❢ (0, +∞) (2). ❏ S ▲●✁❣✁❤, ✐ S ✧ ✲✁❥★✁❆ (s, v1) ❢ , fs,1 = cs,1 = 8 ❦ v1 ❧✁♠✁♥✬✁✭✺ ❆ (s, v2) ❢ ,fs,2 < cs,2, ❦ v2 ★✁✬✁✭✁♦ (+s, l(v2)), ✤❅♣,l(v2) = min{l(s),(cs,2 − fs,2)} =

8 q❅r❇s✉t❇✈❅✇❇① min{+∞, 2} = 2✺ S ② ♦❅③❇❣✁❤✁◆✁★✁✧✺ (3). ④ ③✰✬✣✭✣⑤✣⑥✣❣✣❤✣★✣✧ v2, ❣✣❤ v2, ⑦❆ (v1, v2) ❢ ,f1,2 = 4 > 0, ❦✣❏ v1 ✬✣✭ (−v2, l(v1)), ❬✁⑧✁⑨:l(v1) = min{l(v2), f1,2} = min{2, 4} = 2✺⑩⑦❆ (v3, v2) ❢ ,f3,2 = 0, ❦ v3 ❧✁♠✁♥✬✁✭✺⑩⑦❆ (v2, v4) ❢ , f2,4 = c2,4 = 9, ♠✁❶✁❷✬✁✭✁❸✁❹,v4 ❺✁❧✁♠✁♥✬✁✭✺ v2 ❺ ② ♦❅③❇❣✁❤✁◆✁★✁✧✺ (4). ❣✣❤ v1, ⑦❆ (v1, v3) ❢ , f1,3 = 4 0, ❦✁❞ v4 ✬✁✭✁♦ (−v3, l(v4)), ✤❅♣ l(v4) = min{l(v3), f4,3} = min{2, 1} = 1✺⑩⑦❆ (v3,t) ❢ ,f3,t = c3,t = 5,t ♠✁❻✬✁✭✺ (6). ❣✣❤ v4, ⑦❆ (v4,t) ❢ ,f4,t = 8 < c4,t = 10, ❦ t ✧❧✣♥✬✣✭ (+v4, l(t)), ✤✯♣ l(t) = min{l(v4),(c4,t − f4,t)} = min{1, 2} = 1, ❼✁❀ t ❧✁♥✬✁✭, ▲●✁❽✁✪✁❾✼✁✽◆✁❖✺ (❿)❜⑩➀✁➁✁➂✁➃ (1). “➄ ✮❇➅✁➆”, ❉✦✁✧✁★✁✩✁✪✁✫✁✬✁✭✱♥✪✁❸✳✁✴✁✵ Q = sv2v1v3v4t, ➇ ❚ 10–4 ✷ ✸✁❯✁❱✁✺ (2). ❉ θ = l(t) = 1 ✼✁✽✳✁✴✁✵❢✁➈✁❆✁★✴✾ : f 0 s,2 = fs,2 + θ = 5 + 1 = 6 f 0 1,3 = f1,3 + θ = 4 + 1 = 5 f 0 4,t = f4,t + θ = 8 + 1 = 9 f 0 1,2 = f1,2 − θ = 4 − 1 = 3 f 0 4,3 = f4,3 − θ = 1 − 1 = 0 ✤✁✥✁❆✁❢✴✾✁➉✁➊♠✁➋✺ ✼✁✽❈❧✁♥ ❍❇■❚✁❢✁✪✁✫❊★✁❋✁●✴, ➇ ❚ 10-5 ❯✁❱: ❚ 10–5 ⑦ ❚ 10–5 ♣❑✁➌❢✁➍✁✬✁✭✁◆✁❖, ➎✁✱✁✳✁✴✁✵✁✺⑩➏✁➐✁❞ S ✬✁✭ (0, +∞), ❣✁❤ S, ❞ v2 ✬✁✭ (+s, 1), ❣✁❤ v2, ❞ v1 ✬✁✭ (−v2, 1), ❣✁❤ v1, ❞ v3 ✬✁✭ (+v1, 1), ❣✁➑ v3, ❆ (v4, v3) ❢ f4,3 = 0, ❆ (v3,t) ❢ , f3,t = c3,t, ➒♠✁➓✁➔✬✁✭✁❸✁❹, ✬✁→✁◆✁❖✁➣✁❘▲● , ↔❘✁↕✁➙✺➛❦ ❚ 10–5 ❞✁✲ ★✁❋✁●✴✁✿♦✁➜❍❇■★✁❨✁❩✴✁✺ ❨✁❩✴✾♦ : v(f ∗ ) = fs,1 + fs,2 = f3,t + f4,t = 14. ➝ ③➞✬➟✭➟★➟✦➟✧➟➠➔ V1 = {s, v1, v2, v3}, ⑥➟✬➟✭➟★➟✦➟✧➟➠➔ V 1 = {v4,t}, ❦➟⑨ K(V1, V 1) = {(v2, v4),(v3,t)} ❃➜ ❍❇■★✁❨✁❭✁❪, ✥✁★✁➡✾ c(V1, V 1) = 14✺ ➢✄➤❋➦➥, ❨➦❭➦❪➦★➦➡✾❩➦❭➦➧➦➨➦❨➦❩✴ ★✴➦➩✁✺ ❨✁❭➦❪❃➫❍❇■♣❻✁➭❨✁➯➦➲✁★➦➳✁➵ ❆ ✺ ♦✁➸✁➺✁❨✁❩✴✁➩, ➻✁➼✁✳❩✁❪❅♣❇❆✁★✁➡✾ ✺➽➄◆✁➾, ➇✁➚❨✁❭✁❪❅♣❇❆✁★❻✁➭✁➪✁➶✁➹, ➘ ➴✁➷❨✁❩✴ ★✴✁➩➶✁➹✺

§10.3 ➬✁➮✁①✁➬✁➱❅✃❇❐✁❒❅✇❇❮✁❰ 9 §10.3 ÏÑÐÑÒÑÏÑÓÑÔÑÕÑÖÑ×ÑØÚÙ ⑦✁Û✪✁Ü✁Ý, Þ✁ß✁à✁á✪✁❽✁❨✁❩✴❨✁❭✁❪✁â✁ã✁★✁ä✁å✺ æèçêéèëèéèìîíðïðñîòðó ✪✁✫✁ô✁õ ❍❇■❢✁❋❻⑨✁ö✫❡ s1, s2, . . . , sm ÷ö✫ ❀ t1,t2, . . . ,tn ✺⑩➇❚ 10–6 ❯✁❱: ❚ 10–6 ✦✣✧ s1 ÷ s2 ø❃✣❡,t1 ÷ t2 ø❃✣❀,v1,v2,. . .,v6 ❃ ♣✰ù✣✧✺ûú✣ü✣❃➷✐✣❡ s1 ÷ s2 õ✁ý♥❀ t1 ÷ t2 ★✁þ✴✾❨✁❩✺ ♦✁ÿ❻✁✁✂✶❢✁➍✁â✁ã÷❙✁✄↔❘ , Þ✁ß✁☎✁✆✁ú✁üù✁✝ ②✟✞✣❡, ✞✣❀✟✠✟✡✣✺☞☛✟✌➾✟✍, ✎✟✏✪✣✫✟✑✟✒✣★❡ s ÷❀ t, ✓✟✔❊★✣❆ (s, s1),(s, s2) ÷ (t1,t),(t2,t), ✕✁✖✁✗â✁✘ß ★✁➡✾ ➒♦ +∞ ✺⑩Û✁✙, ➘✁⑨ÿ✁✪✁✫➇ ❚ 10–7 ❯✁❱★✁✚✁✛✁❨ ❩ ✴✁ú✁ü❅❍❇■✁✺ ❚ 10–7 ✜ç✣✢✥✤✥✦✥✧✩★✫✪ðíðïîñðòîó ✬ ➇✣⑦✪✣✫ ❍✰■ G ❢ ♠✟✭❆ ☛✣⑨➡✾⑤⑧ ✦✣✧❺☛✣⑨➡✾ , ✦✣✧✟✮✟✯❡÷❀✣✺ ❙✐ ❡♥❀ ★✁❨✁❩✴✁✖, ❋ ❻➴✁✰♥✦✁✧✁➡✾★✁✱✁✲, ✳✁✴✁❃✦✁✧⑨ ➡✾✱✁✲✺ ⑤✁❆✁❢✁★✁➡✾ ➣✁✱✁✲✺⑩❏✁✵✁Û✁✶✁✷✛✁★ ❍❇■♠✁✸☎ ✘✁ù✁✝✁♦Þ✁ß ③✺✹✁✻✁◆✁★ ❍❇■, ☛✁✌✁✼❘ ❃: ☎✁⑨➡✾★✁✦✁✧ vi ✽ ♦✁✾✁✫✁✦✁✧ v 0 i ÷ v 00 i , ✕✁✖✁⑦ v 0 i ÷ v 00 i ✿✁❀✓ ✪✁❸✁❆ (v 0 i , v 00 i ), ❬ ⑧✟❁â❯✣⑨❋✟❂✣✦✣✧ vi ★✣❆ø✟❃♦ ♥❂ v 0 i ; ⑤☎✣❯✣⑨★✣❆ (vi , vj ) ❃ ♦ (v 00 i , vj ), ❬✣❞❆ (v 0 i , v 00 i ) ❄ ➡✾ c(v 0 i , v 00 i ) = c(vi), ➇ ❚ 10-8 ❯✁❱✁✺ Û✁✙, ➘ ❋ ❄✁☎✦✁✧❺☛✁⑨➡✾★ ❍❇■❢ ❙✁❨✁❩✴✁ú✁üù✁✝✁♦Þ✁ß ③✺✹✁✻✁◆✁★ ❍❇■✁ú✁üÿ ✺

兰州交通大学：《管理运筹学》课程电子教案（讲义）第十章 网络的流

兰州交通大学：《管理运筹学》课程电子教案（讲义）第十章网络的流