第五章线性规划问题的灵敏度分析 在所有的线性规划问题中，决策变量在目标函数中的系数©和在约束条件方程中的 数与及右端值：都是固定的.但在实际工作中，我们是处理未来的问题，很可能不知 参数的确切值还有企业管理人员如想知道，稍微政变一下原定的参数，能否使目 标（例如利润和成本）有较大的变化，以判断这些改变是否有利.譬如说，加班可以使利润 有较大的增加.快簧人就可以快定加班另外决策人不想知道.那些参数对目标函数值的 影响较大、需要花较多的人力和费用，将这些参数预测的准确一些，以提高数学模型及其 解的可靠性。 灵敏度分析就是在线性规划问题已求出最优解以后，某一个参数变化时不必将问题 从头到尾重算一遍，就知道最优解及其目标函数会发生什么变化，使决策者只花费很少的 费用就可以得到比一组最优解为多的信息，以处理上面提到的问题. 这一章讨论目标函数为“max”,约束条件为“≤”型的线性规划问题，对其他类型的 线性规划问题作灵敏度分析，必须对体章结论作相应的修改 第一节边际值及其应用 在分析：值的变化对目标值的影响以及判断新增加产品是否有利时边际值是一个 很有用的概念。我们先给出边际值的定义并指出如何在单纯形表中找出边际值，然后结合 例题说明边际值的应用 所谓第：种资源的边际值就是将1单位的第讠行约束条件方程所代表的资源从现在 的用涂中抽出来而使利润减少的数字.用：表示。“现在用涂”意味着某一张单纯形表中 的基变量及其取值。当资源的减少数量在本章第三节所谈的范围内时，可以用本节的 方法直接从单纯形表中读出，若资源的诚少超出这个范围，：的值就要变动了， 降一单位的第言个约束条件方程所表示的资源从现在的用途抽出.意味着使第个然 束条件方程的松弛变量n+增加一单位。由前面的讨论知n+:增 一单位而损失的利 润为zm+i=cBB-1Pn+i,因此有 4=2n+ (4.1) 这就是说，某一单纯形表中第1种资源的边际值:等于该表中第1行约束条件方程的松 弛变量xn+:的机会费用。 在第二章单纯形表中的机会费用可利用 -∑44，=CnBB 得到，在引进边际值的概念后，乡可以直接用下式计算 (4.2) 对式(5.2)不作详细的证明，但其经济意义是很明显的。为了生产一单位的工，必须消耗 单位的第i行约束条件方程对应的资源i,即需将a,单位的第i种资源从现在的用途 中抽出，由边际值的意义即知，此时损失的利润为a9,由此可得公式(5.2)
1 ✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✡☞☛☞✌☞✍☞✎☞✏ ✑✓✒✓✔✓✕✓✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛✢✜, ✣✓✤✓✥✓✦✑★✧✪✩✓✫✓✬✢✜✭✕✓✮✓✬ ci ✯✑✓✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✢✜✭✕ ✮✓✬ aij ✶✓✷✓✸✓✹ bi ✺✓✻✢✼✭✽✕✓✾❀✿✓✑✓❁✓❂✓❃✓❄✢✜, ❅✓❆✻✓❇✓❈✓❉✓❊✕✓✚✓✛, ❋✓●✓❍✓■✓❏ ❑✓▲✓▼✓◆✬✓✕✓❖✓P✹ ✾❀◗✓✔✓❘✓❙✓❚❈✓❯❲❱✓❳❲❨❏❑ , ❩✓❬✓❭✓✥✓❪✓❫✓❴✽ ✕◆✬ , ❍✓❵✓❛ ✧ ✩ (❜❳✓❝✓❞✓✯✓❡✓❢) ✔✓❣✓❤✓✕✥✓✐, ❥✓❦✓❧▲✓▼❭✓✥✻❵✔ ❝ ✾♥♠❳✓♦, ♣✓q✓●✓❥✓❛❝✓❞ ✔r❣r❤r✕rs♣, ✣r✤❯rt●r❥r✣✽♣rq✾✈✉✓✇, ✣r✤❯ ◗ ❨❏❑ , ① ▼r◆✬r②③✧❀✩r✫r✬✹ ✕ ④✓⑤❣✓❤✓⑥❀⑦✓⑧✓⑨✓❣✓⑩✓✕❯✓❶✓✯✓❷✓❸, ❹▲✓▼✓◆✬✓❺✓❻✓✕✓❼✓❖❪ ▼ , ❥✓❽✓❾✬✓❿✓➀✓➁✶✓➂ ➃✕●✓➄✗✓✾ ➅r➆r➇r➈r➉ tr✻✑r✖r✗r✘r✙r✚r✛➋➊➍➌r➎✓➏r➐➃ ❥r➑, ➒r❪r➓◆✬ ✥r✐r➔, ■r→r❹✚r✛ ➣✓↔✓↕✓➙✓➛✓➜❪✓➝, t❏❑➏✓➐➃ ✶✓➂ ✧✪✩✓✫✓✬✓➞✓➟✓➠✓➡✓➢✥✓✐, ❛✓✣✓✤✓➤✓➥⑨ ❷❋✓➦✕ ❷✓❸✓t●✓❥✓➧↕✢➨❪✓➩➏✓➐➃✓➫⑩✓✕✓➭✓➯, ❥ ❇✓❈✓➲✓➳❽ ↕✕✓✚✓✛✓✾ ▲ ❪❲➵❲➸❲➺ ✧➻✩❲✫❲✬➫ “max”, ✰❲✱❲✲❲✳➫ “≤” ➁❲✕❲✖❲✗❲✘❲✙❲✚❲✛❲✾❀②➂❲➼❲➽➁❲✕ ✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛✓❄✓➾✓➚✓➪✓➶✓➹, →✓➘② ❢➵✓➴✓➺❄✓➷✓➬✓✕✓➮❭ ✾ ➱❐✃❐❒ ❮❐❰❐Ï❐Ð❐ÑÓÒÕÔ ✑✓➶✓➹ bi ✹ ✕✥✓✐②★✧✪✩✹ ✕④✓⑤❥ ✶❦✓❧❲Ös♣❲×✓Ø✻❵✔ ❝➔,Ù❲Ú✓Û ✻❪✓➓ ❋ ✔ ❸✕rÜrÝr✾ ❅r❆rÞrß➎rà✓❂✹ ✕✽rá✓ârã➎ ❳rä✑rå✓ærç✓è✢✜➍é✓➎rà✓❂✹, êr➑r➴rë ❜✛ ♦✢ìà✓❂✹ ✕✓➬❸ ✾ ✒ríïî i ðrñròrórÙrÚrÛ tr✻❹ 1 årôr✕rõ i ö ✰r✱r✲r✳r✴r✵r✒r÷rè✓✕rø✓ù➣rú✑ ✕ ❸✓û ✜✭ü✓➎ ❊✓ý❛❝✓❞✓þ➦ ✕❲✬✓ÿ, ❸ qi è✁✓✾ “ú✑ ❸✓û” ✂✁✄✁☎✓➒✓❪✁✆å✓æ✓ç✓è✢✜ ✕✁✝✥✓✦✶✓➂✁✞✓✹✾✠✟✓ø✓ù i ✕þ➦✬ ✦ ✑❢➵ õ✁✡✁☛✓✒✁☞✓✕✁✌✎✍✁✏➔, qi ●✓❥ ❸✓❢☛✓✕ ✴✁✑✁✒✁✓➣å✓æ✓ç✓è✢✜✕✔✓➎, ✖ ø✓ù✓✕þ➦✁✗➎ ▲ ➓ ✌✎✍, qi ✕✹✓t⑧✥✁✘✁✙ ✾ ❹r❪årôr✕rõ i ➓ ✰r✱r✲r✳r✴r✵r✒rè✚r✕✓ø✓ù➣✓ú✑✓✕❸rûü✓➎, ✂✚✄✚☎r❛õ i ➓ ✰ ✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓✕✁✛✁✜✥✓✦ xn+i s♣✓❪å✓ô✓✾✣✢✕✤➳ ✕➸✓➺✓❏, xn+i s♣✓❪å✓ôý✁✥✁✦✕ ❝ ❞➫ zn+i = cBB−1Pn+i , ✧✁★✔ qi = zn+i (4.1) ▲ t✓✻✓♦, ➒✓❪å✓æ✓ç✓è✢✜✭õ i ✩ ø✓ù✓✕✓à✓❂✹ qi ✪✁✫✁✬è✢✜✭õ i ö ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓✕✁✛ ✜✥✓✦ xn+i ✕✁✭✓➞❷✓❸✾ ✑✓õ✁✮➵ å✓æ✓ç✓è✢✜✭✕✁✭✓➞❷✓❸ zj ●❝✓❸ zj = Xm i=1 c 0 ia 0 ij = CBB −1Pj ➧ ↕ , ✑✁✯✁✰✓à✓❂✹ ✕✓Ü✓Ý➑, zj ●✓❥ ✒✁✓❸❫✁✱✁✲➜ : zj = Xm i=1 aij qi (4.2) ② ✱ (5.2) ■ ❄✁✳✁✴✓✕✁✵ ì, ✿ ➂✁✶✁✷✂á✓✻❋ ì✕✸✕❲✾ ➫ ✙ ➠×✓❪å❲ô✓✕ xj , →✓➘✁✹✁✺ aij å✓ô✓✕✓õ i ö ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✓ø✓ù i, ✻⑦❹ aij å✓ô✓✕✓õ i ✩ ø✓ù➣✓ú✑✓✕❸✓û ✜✭ü✓➎, ✢✭à✓❂✹ ✕✂á✻✓❏, ★✓➔✥✁✦✕ ❝✓❞➫ aij qi , ✢ ★✓●✓➧✁✼✁✱ (5.2)✾
例1.设有以下线性规划问题 m 2=1+52+3g+44 满足 2x1+3z2+x3+2x4≤800（资源1） 5x1+4x2+3x3+4x4≤1200（资源2） 3x1+42+53+3x4≤1000（资源3） (≥0，对一切 令、6、7分别为资源1、2,3的松弛变量，表5-1给出此问题的最优解 表5-1 0 0 0 CB TBb 1 T2 工3 工4 I6 工T 100 0.25 0 -3.25 0 1 0.25 1 200 2.00 L100 -0.75 2.75 00 -0.75 4.25 5 5.75 0 0.25 1 C-2 3.25 0 -2.75 0 0 -0.25-1 利用边际值：可得出： 1.在一定范围内资源i增加1单位，利润就增加。例如资源2,3各增加1单位，利 润就分别增加0.25元及1元，资源1增加1单位，利润不增加，因为表5-1中x6=100, 说明再增加资源只能使不产生利润的松弛变量增加， 2.在已求出最优解表后，如建议生产一种新产品，令其产量为xN,已知其参数aN及 C,要求不必重新计算，就能回答生产这种新产品是否有利。 我们知道生产这种新产品，即N进入最优解的条件为 CN-zN≥0 由(5.2)知 在本例中，如建议生产新产品，产量为x8,已知a18=5,a28=4,a38=3,cg=9,从表 5-1得知，41=0,92=0.25，g=1,所以 28=5×0+4×0.25+3×1=4. c-28=9-4=5≥0. 可见生产这种新产品有利。 第二节对，的灵敏度分析 对的灵敏度分析，就是在不改变原来最优解基变量及其取值的条件下，求出的 允许变动范围。也就是求出C变动值△c的上下限。因C的变化仅影响机会费用和 检验数S一，因此灵敏度分析的基础是：C的变化仍使单纯形表中非基变量的检验数都 保持为小于等于0
2 ✽ 1. ✾ ✔ ❥✓❫✖✓✗✓✘✓✙✓✚✓✛: max z = x1 + 5x2 + 3x3 + 4x4; ✿✁❀ 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 ≤ 800 (ø✓ù 1) 5x1 + 4x2 + 3x3 + 4x4 ≤ 1200 (ø✓ù 2) 3x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 ≤ 1000 (ø✓ù 3) xj ≥ 0, ② ❪ P j. ❁ x5 ⑥ x6 ⑥ x7 ➶✁❂➫ø✓ù 1⑥ 2⑥ 3 ✕✁✛✁✜✥✓✦, è 5–1 ß ➎ ★ ✚✓✛✓✕✓➏✓➐➃ . è 5–1 cj → 1 5 3 4 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 x5 100 0.25 0 −3.25 0 1 0.25 −1 4 x4 200 2 0 −2.00 1 0 1 −1 5 x2 100 −0.75 1 2.75 0 0 −0.75 1 zj 4.25 5 5.75 4 0 0.25 1 cj − zj −3.25 0 −2.75 0 0 −0.25 −1 ❝✓❸à✓❂✹ qi ●✓➧➎ : 1. ✑❪✽ ✌✎✍✁✏✭ø✓ù i s♣ 1 å✓ô, ❝✓❞✓ts♣ qi ✾ ❜❳ø✓ù 2,3 ❃ s♣ 1 å✓ô, ❝ ❞✓t➶✁❂✓s♣ 0.25 ❄✶ 1 ❄ ✾❀ø✓ù 1 s♣ 1 å✓ô, ❝✓❞■ s♣, ✧➫è 5–1 ✜ x5 = 100, ♦✢ì✕❅s♣ø✓ù, ➥✓❍✓❛✓■✓×➠ ❝✓❞✕✁✛✁✜✥✓✦ x5 s♣ ✾ 2. ✑➋➊➍➌r➎r➏r➐➃è ➑, ❳✚❆✚❇➠×r❪✚✩rÖr×rØ, ❁ ➂×r✦➫ xN , ➊❏➂ ◆✬ aiN ✶ cN , ⑧✓➌■✓→➛ Ö✁✲➜ , t❍✎❈✕❉➠×▲ ✩✓Ö✓×✓Ø✻❵✔ ❝ ✾ ❅✓❆✓❏❑➠×▲ ✩✓Ö✓×✓Ø, ✻ xN ✰✁❊✓➏✓➐➃✕✓✲✓✳➫ : cN − zN ≥ 0 ✢ (5.2) ❏ zN = Xm i=1 aiN qi . ✑❢❜ ✜ , ❳✁❆✁❇➠×✓Ö✓×✓Ø, ×✓✦➫ x8, ➊❏ a18 = 5,a28 = 4,a38 = 3, c8 = 9, ➣è 5–1 ➧✓❏,q1 = 0, q2 = 0.25,q3 = 1, ✒ ❥ z8 = 5 × 0 + 4 × 0.25 + 3 × 1 = 4, c8 − z8 = 9 − 4 = 5 ≥ 0. ●✁❋➠×▲ ✩✓Ö✓×✓Ø✔ ❝ ✾ ➱❍●❐❒ ■ cj ❏❍❑❍▲❍▼❍◆P❖ ② cj ó➅✓➆✓➇✓➈✓➉, t✓✻✑ ■✓❭✓✥✓❴❊ ➏✓➐➃✝ ✥✓✦✶✓➂✁✞❲✹✕✓✲❲✳❫, ➌✓➎ cj ✕ ◗✁❘✥✁✘✌✎✍✭✾❚❙t✓✻➌✓➎ cj ✥✁✘✹ ∆cj ✕➲❫✁❯✾ ✧ cj ✕✥✓✐✁❱④✓⑤✭✓➞❷✓❸ zj ✯ ❲✁❳✬ cj − zj , ✧✁★➾✓➚✓➪✓➶✓➹✓✕✁✝✁❨✻: cj ✕✥✓✐✁❩✓❛å✓æ✓ç✓è✢✜✕❬✁✝✥✓✦✕❲✁❳✬ ✺ ❭✁❪✓➫✁❫✫✁✪✁✫ 0✾
3 为便于讨论，下面记△c=(0,..,0,△G,0,.,0)。下面分两种情况分别讨论 、马为非基变量 若马为非基变量，则G的变化仅影响西)对应的检验数.当9变化为S+△G后， 若要维持最优解基变量及其取值不变，则王)对应的检验数必须满足： (9+△c)-≤0 也即 △c≤-(C-) 由上式可知，△c变动的下限为-o,而变动的上限为-(g一)，即 -∞0e8}s与≤m{ka<ake8} 4.4)
3 ➫✁❴✫➸✓➺, ❫➳✁❵ ∆c = (0, . . . , 0, ∆cj , 0, . . . , 0)✾ ❫➳ ➶✁❛✩✁❜✁❝➶✁❂➸✓➺: ❞⑥ xj ❡✁❢✁❣✁❤✁✐ ✖ xj ➫❬✁✝✥✓✦, ❥ cj ✕✥✓✐✁❱④✓⑤ xj ②✓➬✓✕❲✁❳✬✓✾❚✟ cj ✥✓✐➫ cj + ∆cj ➑, ✖ ⑧✁❦❪➏✓➐➃✝ ✥✓✦✶✓➂✁✞✓✹■✓✥, ❥ xj ②✓➬✓✕❲✁❳✬ →✓➘✿✁❀: (cj + ∆cj ) − zj ≤ 0 ❙ ✻ ∆cj ≤ −(cj − zj ) ✢ ➲✱✓●✓❏,∆cj ✥✁✘✕❫✁❯➫ −∞, ý✥✁✘✕➲❯ ➫ −(cj − zj ), ✻ −∞ 0, k ∈ SN } ✢ ➲❛ ✱✓●✓❏,∆cj ✥✁✘✕➲❫✁❯➫ : max ck − zk a 0 rk |a 0 rk > 0, k ∈ SN ≤ ∆cj ≤ min ck − zk a 0 rk |a 0 rk < 0, k ∈ SN (4.4)
￥ 其中为第r个约束条件方程对应的基变量。上式中不考虑ak=0的情况，这是因为 当ak=0时，的变化不影响k.因基变量的检验数始终为0，故也不考虑基变量 在本章例1中，4为第2个约束条件方程对应的基变量（即r=2),因此有 {2}s山sm{2妥} -0.25≤△c4≤1 3.75≤c4≤5. 2为第3个约束条件方程对应的基变量所以 {器}sa≤血{二} -1≤△c2≤0.33 4≤e2≤5.33. 第三节对，值的灵敏度分析 对：值的灵敏度分析，就是求在最优解基变量保持不变但基变量的取值可以变动的 条件下：的变动范围。因为，的变化仅影响基变量的取值因此分析的基础是：在：的 允许变动范围内，新解的基变量的取值要满足非负约束。若有变量不满足非负约束，就说 ,的变动超出了灵敏度的范围。 前面曾经指出，最优解中基变量的值为XB=B-16 在将“<”形式的约束条件方程转为-”形式时，对第：行的约束条件方程左端要加 个松弛变量xm+,因此，最优解表中B-1可表示如下： an+1d,n+2…a4,n+m B-1= a吃n+1吃n+2…吃n+m 。 Ldnn+1ann+2…dm.ntm 令资源k的数量，的变化数量为△k,问题中其它系数不变，则新解中基变量的取 值为： Xg=B-1(b+△)
4 ➂ ✜ xj ➫õ r ➓ ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✁✝✥❲✦✾ ➲✱ ✜■✁①❧② ark = 0 ✕❜✁❝, ▲ ✻✧➫ ✟ ark = 0 ➔,cj ✕✥✓✐✓■④✓⑤ zk ✾ ✧✝ ✥✓✦✕❲✁❳✬✁③✁④➫ 0, ⑤ ❙ ■✁①✁②✝ ✥✓✦✾ ✑❢➵✓❜ 1 ✜ ,x4 ➫õ 2 ➓ ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✁✝✥✓✦ (✻ r = 2), ✧✁★✔ max −3.25 2 , −0.25 1 ≤ ∆c4 ≤ min −2.75 −2 , −1 −1 , −0.25 ≤ ∆c4 ≤ 1, 3.75 ≤ c4 ≤ 5. x2 ➫õ 3 ➓ ✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✓②✓➬✓✕✁✝✥✓✦, ✒ ❥ max −2.75 2.75 , −1 1 ≤ ∆c2 ≤ min −3.25 −0.75 , −0.25 −0.75 , −1 ≤ ∆c2 ≤ 0.33, 4 ≤ c2 ≤ 5.33. ➱❍⑥❐❒ ■ bi Ï ❏❍❑❍▲❍▼P◆⑦❖ ② bi ✹ ✕✓➾✓➚✓➪✓➶✓➹, t✓✻➌✓✑✓➏✓➐➃✝ ✥✓✦❭✁❪■✓✥✿✁✝✥✓✦✕✞❲✹●❲❥✓✥❧✘✕ ✲✓✳❫ bi ✕✥✁✘✌✎✍✭✾ ✧➫ bi ✕✥✓✐✁❱④✓⑤✝ ✥✓✦✕✞✓✹, ✧✁★➶✓➹✓✕✁✝✁❨✻: ✑ bi ✕ ◗✁❘✥✁✘✌✎✍✁✏, Ö ➃✕✁✝✥✓✦✕✞✓✹⑧✿✁❀❬✁⑧✓✰❲✱✓✾ ✖ ✔✥✓✦❲■✿❧❀❬❧⑧✓✰✓✱, t✓♦ bi ✕✥✁✘✁✗➎ ✙➾✓➚✓➪✓✕✁✌✎✍✭✾ ✤ ➳✎⑨✕✶✓ã➎ , ➏✓➐➃ ✜✕✝✥✓✦✕✹ ➫ XB = B−1 b✾ ✑❹ “≤” ç✱ ✕✓✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✁⑩➫ “=” ç✱✓➔, ②✓õ i ö ✕✓✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✁❶✸ ⑧ ♣ ❪✓➓✛✁✜✥✓✦ xn+i , ✧✁★, ➏✓➐➃è✢✜ B−1 ● è✁❳❫: B −1 = a 0 1,n+1 a 0 1,n+2 . . . a 0 1,n+m a 0 2,n+1 a 0 2,n+2 . . . a 0 2,n+m . . . . . . . . . . . . a 0 m,n+1 a 0 m,n+2 . . . a 0 m,n+m ❁ø✓ù k ✕✓✬✦ bk ✕✥✓✐✬ ✦ ➫ ∆bk, ✚✓✛✢✜➂✁❷✮✓✬■✓✥, ❥✓Ö➃ ✜✕✝✥✓✦✕✞ ✹ ➫ : X N B = B −1 (b + ∆b)
5 其中△b-(0,,0,△b,0,,0)T.要使最优解基变量保持不变只须满足Xg≥0.因 k-1个0 Xg=B-1(b+△b)=B-1b+B-1△b 0 0 +B- △b △beP+ 0 0 +△bka,n+k 的+△bka.n+ n+△bdnm,n+k] 由此可得+△dm+k≥0，i=1,2,,m,即 △bkam,n+k≥-，i=1,2,,m (4.5) 若a.m+k>0,则由式(5.5)得 △bs之an+k b! 若a,n+k<0,则由式(5.5)得 ≤兰 由此可得 max (4.61 在表5-1中，n=4,对△b2有 m{兴婴}s≤血{器) -200≤△b2≤133.33 1000≤b2≤1333.33. 上式有两个意思：第一，资源2可降低到1000单位或增加到1333.33单位，而最优解 的基变量仍然是、工4和x2;第二，在这个范围内增加或减少任何数目的资源2，它的边 际值都是0.25元(g2-6-0.25).例如能多获得100单位的资源2，每单位资源2都可使 利润增加0.25元总利润增加25元
5 ➂ ✜ ∆b = (0, . . . , 0 | {z } k−1➓0 , ∆bk, 0, . . . , 0)T ✾❀⑧❛ ➏✓➐➃✝ ✥✓✦❭✁❪■✓✥, ➥✓➘✿✁❀ XN B ≥ 0✾ ✧ XN B = B−1 (b + ∆b) = B−1 b + B−1∆b = b 0 1 b 0 2 . . . b 0 m + B−1 0 . . . 0 ∆bk 0 . . . 0 = b 0 1 b 0 2 . . . b 0 m + ∆bkP 0 n+k = b 0 1 + ∆bka 0 1,n+k b 0 2 + ∆bka 0 2,n+k . . . b 0 m + ∆bka 0 m,n+k ✢ ★✓●✓➧ b 0 i + ∆bka 0 i,n+k ≥ 0,i = 1, 2, . . . , m, ✻ ∆bkam,n+k ≥ −b 0 i ,i = 1, 2, . . . , m (4.5) ✖ ai,n+k > 0, ❥ ✢ ✱ (5.5) ➧ ∆bk ≥ −b 0 i a 0 i,n+k . ✖ ai,n+k 0,i = 1, 2, . . . , m ) ≤ ∆bk ≤ min ( −b 0 i a 0 i,n+k a 0 i,n+k < 0,i = 1, 2, . . . , m ) (4.6) ✑✓è 5–1 ✜ ,n = 4, ② ∆b2 ✔ max −100 0.25 , −200 1 ≤ ∆b2 ≤ min −100 −0.75 −200 ≤ ∆b2 ≤ 133.33, 1000 ≤ b2 ≤ 1333.33. ➲✱ ✔✁❛➓✁✂✁❸: õ❪, ø✓ù 2 ●✁❹✁❺↕ 1000 å✓ô✁❻✓s♣ ↕ 1333.33 å✓ô, ý ➏✓➐➃ ✕✁✝✥✓✦✁❩✓ê✻ x5 ⑥ x4 ✯ x2; õ✁✮, ✑▲ ➓ ✌✎✍✁✏✭s♣❻þ➦✁❼ä✬★✧✪✕✓ø✓ù 2, ❷ ✕✓à ❂✹✓✺✓✻ 0.25 ❄ (q2 = z6 = 0.25). ❜❳❍ ⑩✁❽➧ 100 å✓ô✓✕✓ø✓ù 2, ❾ å✓ô✓ø✓ù 2 ✺●✓❛ ❝✓❞s♣ 0.25 ❄, ❿❝✓❞s♣ 25 ❄ ✾
如：的变化在灵敏度分析的范围内，就不要对问题重新求解而可思下式得出新解 (约式条件方程即≤” XN=X0+(△b)P+W 其中XN 新的解向量 X0一原来解向量 一在最优单纯形表中x+k对应的列向量 在上例中，如取△2=100，原来最优解即 X0=(100,200,100)T P+2==(0.25,1,-0.75) xg100 0.25 「125 xN- 200 +100× 1.00 300 100 -0.75 25 总利润即125×0+300×4+25×5=1325（元），比原来增加25元. 第四节对值的灵敏度分析 对，的灵敏度分析，即指在不变最优解基变量及其取值的条件下，求a的允许 变动范围.由X。=B6.=CB保知的变化，对最优解的取值和检验数都有影 响.下面分两种情况分别进行讨论. 一、马为基变量 x;为基变量。又分为两种情况讨论： (一入、资源i全部用完 此时若△>0，即单位产品方消耗的资源i增加，原有资源i就不够思，原来的最 优解就不再即可行解。因此必须有△a与≤0.另方面，若△a<0,则节约下来的资源 可移它思.因为上面已说过资谭：已全部思完持即松弛变量：=0不为基变量其 检验数 节约下来的 知：△a5=0. (仁、资源i没有被全部用完 此时若△a府0，就减少松弛变量工+.只要不减为负数，原来最优解仍即可行解， 又因松弛变量在标函数中的二数为0，松地变量的减少不减少利润原来的解仍保持最 优.第j种产品消耗的第i种资源的增加量为△，它不应超过第i种资源的松弛变量 的取值（第i种资源的剩余量），即△a<x+.反之a的减少，只能增加不产生利润 的资源i,也不会变更最优解所则△与的下限为-o.因此 二、不为基变量
6 ❳ bi ✕✥❲✐✑❲➾❲➚❲➪❲➶❲➹❲✕❧✌➀✍❧✏, t■ ⑧❲②❲✚❲✛➛ Ö ➌➃ , ý●❸❫❧✱❲➧➎ Ö ➃ (✰✓✱✓✲✓✳✓✴✓✵✻ “≤” ➁ ): X N = X 0 + (∆bk)P 0 n+k ➂ ✜ XN—— Ö ✕➃✎➁✦; X0—— ❴❊➃✎➁✦; P 0 n+k—– ✑✓➏✓➐✓å✓æ✓ç✓è✢✜ xn+k ②✓➬✓✕✁➂ ➁✦ ✾ ✑ ➲❜ ✜ , ❳✁✞ ∆b2 = 100, ❴❊ ➏✓➐➃ ✻ X0 = (100, 200, 100)T , P 0 4+2 = P 0 6 = (0.25, 1, −0.75)T , X N = x N 5 x N 4 x N 2 = 100 200 100 + 100 × 0.25 1.00 −0.75 = 125 300 25 . ❿❝✓❞✓✻ 125 × 0 + 300 × 4 + 25 × 5 = 1325(❄), ➨❴❊ s♣ 25 ❄ ✾ ➱➄➃❒ ■ aij Ï ❏❍❑❍▲❍▼P◆P❖ ② aij ✕❲➾❲➚❲➪❲➶❲➹, ✻❲ã✑ ■❲❭❲✥➏❲➐➃✝ ✥❲✦✶❲➂❧✞❲✹✕❲✲❲✳❫, ➌ aij ✕❧◗❧❘ ✥✁✘✌✎✍✭✾➅✢ XB = B−1 b,zj = cBB−1Pj ❏ aij ✕✥✓✐, ②✓➏✓➐➃✕✞✓✹✓✯❲✁❳✬ ✺ ✔④ ⑤✾ ❫➳ ➶✁❛✩✁❜✁❝➶✁❂✁✰ö✓➸✓➺✾ ❞⑥ xj ❡✁❣✁❤✁✐ xj ➫✝ ✥✓✦, ➆➶➫❛ ✩✁❜✁❝✓➸✓➺: (❞)⑥ ñ✓ò i ➇✁➈✁➉✁➊: ★✓➔✁✖ ∆aij > 0, ✻å✓ô×✓Ø j ✹✁✺✕✓ø✓ù i s♣, ❴ ✔✓ø✓ù i t■✁➋❸✁♥ ❴❊ ✕✓➏ ➐➃ t■❅✓✻●✓ö➃✾ ✧✁★✓→✓➘✔ ∆aij ≤ 0✾❀✉❪✴ ➳, ✖ ∆aij 0, t✓þ➦ ✛✁✜✥✓✦ xn+i ✾ ➥⑧ ■þ ➫⑧✓✬, ❴❊ ➏✓➐➃ ❩✻●✓ö➃✾ ➆✁✧✛✁✜✥✓✦✑★✧✪✩✓✫✓✬✢✜✭✕✓✮✓✬➫ 0, ✛✁✜✥✓✦✕þ➦✓■þ➦❝✓❞, ❴❊ ✕➃ ❩❭✁❪➏ ➐✓✾ õ j ✩✓×✓Ø✁✹✁✺✕✓õ i ✩ ø✓ù✓✕✓s♣✓✦➫ ∆aijxj , ❷■➬ ✗➍ õ i ✩ ø✓ù✓✕✁✛✁✜✥✓✦ ✕✞✓✹ (õ i ✩ ø✓ù✓✕✁➛✁➜✦), ✻ ∆aijxj < xn+i ✾❚➝✁➞ aij ✕þ➦, ➥✓❍s♣✓■✓×➠ ❝✓❞ ✕✓ø✓ù i, ❙ ■➞ ✥q ➏✓➐➃ , ✒ ❥ ∆aij ✕❫✁❯➫ −∞✾ ✧✁★ −∞ < ∆aij < xn+i xj . s⑥ xj ➟✁❡✁❣✁❤✁✐
若工不为基变量，则a与的变化仅影响机会费用方和检验数C-.此时，不论资 源1是否全部用完，的增加都没有限制.因的增加将使检验数更小，不会改变最优 解。从经济上讲，每单位的)种产品在消耗的资谭为时就已不能进入基变量不生 产)，那么消耗更多的资源i就更不可能使工，进入基变量.，的减少将使得机会费用 减少，从而使检验数-增加。所以△的下限应保证-不能增至正数。 根据(6.2)式，得 记新的a=a+△a,用对表示新的，用号表示原来的，则有 (4.7) 要满足9-为≤0，必须 Gy-=G-号-△a9≤0 由上式可得 △ar4≥S-9 对“≤”的约束条件为正值（对“≥”的约束条件，为负值），所以 △a1≥9-立（仍写成） (4.8) 所以当)不在基变量内时，不论资源i是否被全部用完，的灵敏度范围为 (4.9) 在本章例1中，可以算出 -00<△a11<0o,-13≤△a21<o, 第五节灵敏度分析应用示例 某工厂使用五种生产方法，生产A、B和C三种产品，有关数据如表52、53所列 表5-2 每批 生产方法 产量 单位售价（元） 产品 A 32440 10 C 5 18
7 ✖ xj ■ ➫✝ ✥✓✦, ❥ aij ✕✥✓✐✁❱④✓⑤✭✓➞❷✓❸ zj ✯❲✁❳✬ cj − zj ✾ ★✓➔, ■✓➺ø ù i ✻❵➎✁➐❸✁➑, aij ✕✓s♣✺✁➠✔❯✁➡✾ ✧ aij ✕✓s♣✓❹✓❛❲✁❳✬ q ❫ , ■➞ ❭✓✥➏✓➐ ➃✾ ➣ ✶✁✷✓➲✁➢, ❾ å✓ô✓✕ j ✩✓×✓Ø✑ ✹✁✺✕✓ø✓ù➫ aij ➔ xj t ➊■✓❍✰✁❊✁✝✥✓✦ (■ ➠ ×), ➤ ➢ ✹✁✺q ⑩✓✕✓ø✓ù i t✁q■✓●✓❍✓❛ xj ✰✁❊✁✝✥✓✦✾ aij ✕þ➦✓❹✓❛✓➧✭✓➞❷✓❸ zj þ➦, ➣ ý❛❲✁❳✬ cj − zj s♣ ✾❀✒❥ ∆aij ✕❫✁❯➬❭✵ cj − zj ■✓❍s✁➥➒✬✓✾ ➦✁➧ (5.2) ✱, ➧ zj = Xm i=1 aij qi ❵Ö ✕ a N rj = arj + ∆arj , ❸ z N j è✁Ö ✕ zj , ❸ z 0 j è✁❴❊ ✕ zj , ❥✔ z N j = Xm i=1 aij qi + ∆arj qr = z 0 j + ∆arj qr (4.7) ⑧✿✁❀ cj − zj ≤ 0, →✓➘ cj − z N j = cj − z 0 j − ∆arj qr ≤ 0. ✢ ➲✱✓●✓➧ ∆arj qr ≥ cj − z 0 j ② “≤” ✕✓✰✓✱✓✲✓✳, qr ➫✁➒✹ (② “≥” ✕✓✰✓✱✓✲✓✳,qr ➫⑧✹), ✒ ❥ ∆arj ≥ cj − zj qr (z 0 j ❩✁➨❡ zj ) (4.8) ✒ ❥ ✟ xj ■ ✑✁✝✥✓✦ ✏➔, ■✓➺ø✓ù i ✻❵✁➩➎✁➐❸✁➑, aij ✕✓➾✓➚✓➪✁✌✎✍➫ : cj − zj qi ≤ ∆aij < ∞, i = 1, 2, . . . , m (4.9) ✑❢➵✓❜ 1 ✜ , ●✓❥ ➜➎ −∞ < ∆a11 < ∞, −13 ≤ ∆a21 < ∞, . . . ➱❍➫❐❒ ❑❍▲❍▼❍◆❍❖ÒÓÔ⑦➭P➯ ➒ ❃✁➲❛❸✁➳✩ ➠×✴✁✑, ➠× A⑥ B ✯ C ✡ ✩✓×✓Ø, ✔✁➵✓✬✁➧❳è 5-2⑥ 5-3 ✒✁➂✓✾ è 5–2 ❾✁➸ ➠×✴✁✑ ×✓✦ 1 2 3 4 5 å✓ô✁➺✁➻ (❄) ×✓Ø A 3 2 4 4 0 10 B 6 1 2 1 4 5 C 2 6 5 1 8 4
表5-3 资源 生产方法 消耗 2 45 可取得数量 资源 工时h) 4 1 0 机器小时 1 211 50 每批成本（元 4819 30447 有一合同要求至少生产110单位的A。 设)为使用第j种生产方法的批数=1,2，.，5，x6为A的产量超过110单位的数 字，7为松弛工时，工g为松弛机器小时，则求最大利润的模室是： max=20x1+30r2+40x3+5E4+45x 满足 3z1+22+4r3+44-6=110 4x2+6x3+xA+2x5+x2=80 1+2+2x3+x+5+x8=50 ≥0.j=1,2,.,8 最优解如表5-4。 表5-4 20304054500 0 CB 工4 5 6 T7 -0.2 -0.2 0.4 02 0.4 -0.1 1.2 20 30 59 12.5 0.5 44 -19 -75 -05 我们考虑如下几种互相独立的情况，看一看如何应用上面几节讨论的结论. (一）如果第2种生产方法的每批成本提高到21元，问是否会改变最优解？ 因2为基变量，成本增加2元就是利润减少2元，即c2要变动，根据式(6.4).△c2的 上下限为： mx,≤Aa≤min(-2二} 也就是 -1.67<△c2<4d 28.33≤c2≤70 因为c2减少2元超出下限，所以最优解要改变.由上式可以看出，△c2的下限是在7 对应的列达到的，因此第2种生产方法的利润下降到2833元以下时，检验数第一个取得 正数的非基变量为7，即7进入最优解，由表5-4可以看出，当7=1时，x1和将分
8 è 5–3 ø✓ù ➠×✴✁✑ ✹✁✺ 1 2 3 4 5 ●✞➧✬ ✦ ø✓ù ❃➔ (h) 0 4 6 1 2 80 ✭✁➼❫➔ 1 1 2 1 1 50 ❾✁➸❡✓❢ (❄) 48 19 30 44 7 —- ✔❪✓ë✁➽⑧✓➌✁➥➦ ➠× 110 å✓ô✓✕ A✾ ✾ xj ➫❛❸õ j ✩ ➠×✴✁✑✓✕➸✬ ,j = 1, 2, . . . , 5,x6 ➫ A ✕×✓✦✁✗➍ 110 å✓ô✓✕✓✬ ÿ , x7 ➫✛✁✜✓❃➔, x8 ➫✛✁✜✁✭✁➼❫➔, ❥➌✓➏✓❤❝✓❞✕✓➀✓➁✻: max z = 20x1 + 30x2 + 40x3 + 5x4 + 45x5 ✿✁❀ 3x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 − x6 = 110 4x2 + 6x3 + x4 + 2x5 + x7 = 80 x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 + x8 = 50 xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 8 ➏✓➐➃ ❳è 5–4✾ è 5–4 cj → 20 30 40 5 45 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 20 x1 26 1 0 0.4 1 0 −0.2 −0.2 0.4 30 x2 16 0 1 1.4 0.5 0 −0.2 0.3 −0.6 45 x5 8 0 0 0.2 −0.5 1 0.4 −0.1 1.2 zj 20 30 59 12.5 45 8 0.5 44 cj − zj 0 0 −19 −7.5 0 −8 −0.5 −44 ❅✓❆✁①✁②❳❫✁➾✁✩✁➚➷✁➪✁➶✓✕❜✁❝♥❚➹❪➹✓❳✓ä➬ ❸✓➲✓➳➾ ☛➸✓➺✕➴✓➺. (❪) ❳✁➘õ 2 ✩ ➠×✴✁✑✓✕❾✁➸❡✓❢❽✓❾↕ 21 ❄, ✚✻❵➞ ❭✓✥➏✓➐➃ ? ✧ x2 ➫✝ ✥✓✦, ❡✓❢s♣ 2 ❄t✓✻✓❝✓❞✓þ➦ 2 ❄, ✻ c2 ⑧✥✁✘, ➦✁➧✱ (5.4), ∆c2 ✕ ➲❫✁❯➫ : max{ −19 1.4 , −7, 5 0.5 , −0.5 0.3 } ≤ ∆c2 ≤ min{ −8 −0.2 , −44 −0.6 } ❙ t✓✻ −1.67 ≤ ∆c2 ≤ 40 28.33 ≤ c2 ≤ 70 ✧➫ c2 þ➦ 2 ❄✚✗➎ ❫✚❯, ✒ ❥➏r➐➃⑧❭r✥✾❚✢ ➲✱r●r❥ ➹ ➎ , ∆c2 ✕❫✚❯✻ ✑ x7 ②✓➬✓✕✁➂✁➴↕✕ , ✧✁★õ 2 ✩ ➠×✴✁✑✓✕❝✓❞❫✁❹↕ 28.33 ❄✓❥✓❫✓➔, ❲✁❳✬✓õ❪✓➓✞➧ ➒✬✓✕✁❬✁✝✥✓✦➫ x7, ✻ x7 ✰✁❊✓➏✓➐➃✾➷✢✭è 5–4 ●✓❥ ➹ ➎ , ✟ x7 = 1 ➔, x1 ✯ x5 ❹ ➶
9 别增加0.2和0.1，降减根03，即应出变量新最优解为 ==53时 工1-26+0.2×535-36号 x5=8+0.1×53元=13 二) 轴立 的知识也可解决 1.求出新的G消.9=26，c2-31,c3=42,c4=6,c%=49: 砂清秋密表的G流直新甜多和小并检舌花 表5-5 Ci 263142 649000 。 20 26 0 0. 0.2 0.4 吃 16 0 1 0.5 -0.2 0.3 =0.6 495 0 0 01 1 2 31 63.6 17 50.6 C-1 0 0 -21.6 0 -8.2 0.8 入基本量内解的变化与第种情利相仪” 50.6 表5一5尚未中到最优果降， ()现法高工时的工资为3 兰段果加班要另付加班费高 时1.5元，加班能否 使况润增加？ 从表54可则看出，工时（第2种资源的边际消2=7=0.5元这就意味着工时 增望1「时，况润降增加0.5元，满现法要多付出15元的加班费，因此加班不能使况润增 (四) 果高广时至另付加班费03元问加班卿否有况？龄果有况法文一基变量不 变的前提平班多时间邮 时款西井时抢况洞省经及过文，所侧加班即有况的为箱定有况的加班广一一 独立 式(5.6据 max{}≤Ab2≤min{=器，} -53号≤△b2≤80. 由上可见，最多可加班80下时，可增加况润(0.5-0.3)×80-16元设新的最优解为： 26 合果加班时间超过0最优解的基变址就要变动，这就成了参好动划设 高年工雅新购台机器，构价300元高天可增加8个机器时，机器可使用 250工元日，问即否有况？
9 ❂✓s♣ 0.2 ✯ 0.1,x2 ❹þ➦ 0.3, x2 ✻✁➬➎ ✥✓✦, Ö ➏✓➐➃✓➫: x7 = 16 0.3 = 53 1 3 , x1 = 26 + 0.2 × 53 1 3 = 36 2 3 , x5 = 8 + 0.1 × 53 1 3 = 13 1 3 . (✮ ) ❳✁➘×✓Ø B ✕✓å✓ô✁➺✁➻✓s♣ ↕ 6 ❄, ✻❵ ④✓⑤➏✓➐➃ ? B ✕✓å✓ô✁➺✁➻✓s♣, ➳✩ ➠×✴✁✑✓✕ cj ✹✓✺⑧✥✁✘, ▲ ✻❪✓➓◆✬✓✘✓✙✓✚✓✛✓✾ ✿ ✻● ❸➾✓➚✓➪✓➶✓➹✓✕❏✁➮❙ ● ➃✣♥ ➥✻✴✁✑✓❣✁➱✓✾ 1. ➌✓➎ Ö ✕ cj ✹. c1 = 26,c2 = 31,c3 = 42,c4 = 6,c5 = 49; 2. ❹✓Ö cj ✹ ÷✁✃✓è 5–4 ✜✭✕ cj ✹, ➛ Ö✁✲➜ zj ✯ ci − zj , â ❲✁❳✻❵➏✓➐✓✾ ✲ ➜ ➴ ➘❋è 5–5✾ è 5–5 cj → 26 31 42 6 49 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 26 x1 26 1 0 0.4 1 0 −0.2 −0.2 0.4 31 x2 16 0 1 1.4 0.5 0 −0.2 0.3 −0.6 49 x5 8 0 0 0.2 −0.5 1 0.4 −0.1 1.2 zj 26 31 63.6 17 49 8.2 −0.8 50.6 cj − zj 0 0 −21.6 −11 0 −8.2 0.8 −50.6 è 5–5 ❐❉➴↕➏✓➐, ➘✓❹ x7 ➬ ❊✁✝❢✦ ✏✭✾ ➃✕✥✓✐✁❒õ❪✁✩✁❜✁❝➷✇ ✾ (✡ ) ú✑❾ ❃➔ ✕✓❃✓ø➫ 3 ❄, ❳✁➘♣✓q, ⑧✓✉✁❮♣✓q❷❾ ❫➔ 1.5 ❄, ✚♣✓q✓❍✓❵ ❛❝✓❞s♣? ➣è 5-4 ●❲❥ ➹ ➎ , ❃➔ (õ 2 ✩ ø❲ù) ✕❲à❲❂✹ q2 = z7 = 0.5 ❄, ▲ t✂❧✄❧☎❃➔ s♣ 1 ❫➔, ❝✓❞❹ s♣ 0.5 ❄, ✿ú✑✓⑧✓⑩✁❮✓➎ 1.5 ❄ ✕♣✓q❷, ✧✁★✓♣✓q✓■✓❍✓❛❝✓❞s ♣ ✾ (❰) ❳✁➘❾ ❫➔✓➥✉✁❮♣✓q❷ 0.3 ❄, ✚♣✓q✻❵✔ ❝? ❳✁➘✔ ❝, ✑❭✁❪✝ ✥✓✦✓■ ✥ ✕✁✤❽✓❫✓●✓♣✓q⑩➦✓➔✁Ï? ✧✓♣✓q 1 ❫➔ s♣❝✓❞ 0.5 ❄, ✗➍✁Ð➎ , ✒ ❥✓♣✓q✻ ✔ ❝ ✕✓✾ ➫❖✽ ✔ ❝ ✕♣✓q❫ ➔ ✬ , ● ② b2 ✰ ö ➾✓➚✓➪✓➶✓➹✓✾❚➦✁➧✱ (5.6) ➧: max{ −16 0.3 } ≤ ∆b2 ≤ min{ −26 −0.2 , −8 −0.1 }, −53 1 3 ≤ ∆b2 ≤ 80. ✢ ➲●✁❋, ➏✓⑩●✓♣✓q 80 ❫➔, ● s♣❝✓❞ (0.5 − 0.3) × 80 = 16 ❄ ✾ Ö ✕✓➏✓➐➃✓➫: x1 x2 x5 = 26 16 8 + 80 × −0.2 0.3 −0.1 = 10 40 0 ❳✁➘♣✓q✓➔✁Ï✁✗➍ 80h, ➏✓➐➃✕✁✝✥✓✦t ⑧✥✁✘♥ ▲ t✓❡✙◆✬✓✘✓✙✓✾ (➳) ❳❧➘Ö❧Ñ❲❪❧Ò ✭❧➼, Ó➻ 300000 ❄, ❾❧Ô❲●s♣ 8 ➓ ✭❧➼❫➔, ✭❧➼●❲❛❸ 5 Õ , ❾ Õ❃✓❄ 250 ❃✓❄×Ö , ✚✻❵✔ ❝?
10 从表5一4可摆机器小时的边际消即44元(g=2=44列，假定没有随新机器发生 的费用，每机器指的成本为30元所则新增机器即有况的 见驼整金事机器香有 独立 max{浮，}≤△bg≤min(二品} -6号<△b<26号. 可见增加3台机器即每天增加24机器小时法△的允许范围内，每天可增加况润 (44-30)×24=336(元). (七) 变更合同降影响公司的信誉和工厂与顺客的关系等因素，应该由决策限考虑皮从运筹 学角独说，由于合同的进条件即之形查的，因先密品4的边际消即8元这意味省 线部位的件实合问降指加定润。元透图 独范围即-80≤△b1≤20，可知合 根80单位，况润可增加640元，新的最优解即： 至于法减， 。80单位则后，再进一步减合同供货数即否可增加况润，这里不再批论. 、八)第种生产方法的成本婴避纸到舒会程独才能增加况润一 独立给出了工4不能进入最优解的范围，也就即 说△c4超过这个范围，x4就进入最优解根据式（⑤.3），这个范围即： -oo<△c4<-(-7.5). 这就即第1种生产方法的成本降低75元则上就可则采用，使况润增加设 B和的季餐衣位修的由4单位猫至5单位面不移响 (九 单位A的售价所补偿 新 这个建议使a电是变为5，即△an三 △a13≤=现△a13法此范围内，所则最优解不变，亦即这个建议不可取 (什) ,果采取一些措施，使第3种生产方法每批产品所消耗的机器小时由2降至 1.5,而增加棉费用和减机器小时而节进的数字恰好相等，问即否要采纳这个建议？ 此时△ag=-0.5,箭△ag的上小限为 -0.4318≤△a3<∞ 可见的变北已品过儿温必使最优变使进入优解比应采这 个建议
10 ➣è 5–4 ●✓➧✭✁➼❫➔ ✕✓à✓❂✹✓✻ 44 ❄ (q3 = z8 = 44 ❄), Ø✽✁➠✔✁ÙÖ ✭✁➼✓➟✓➠ ✕❷✓❸, ❾ ✭✁➼❫➔ ✕❡✓❢➫ 30 ❄, ✒ ❥✓Ös✁✭✁➼ ✻ ✔ ❝ ✕✓✾ (Ú) ✚✓s♣ 3 Ò✓Ö✭✁➼ ✻❵✔ ❝? ② b3 ❄✓➾✓➚✓➪✓➶✓➹: max{ −26 0.4 , −8 1.2 } ≤ ∆b3 ≤ min{ −16 −0.6 }, −6 2 3 ≤ ∆b3 ≤ 26 2 3 . ●❧❋s♣ 3 Ò ✭❧➼✻❧❾❧Ôs♣ 24 ✭❧➼❫➔ ✑ ∆b3 ✕❧◗❧❘❧✌➀✍❧✏, ❾❧Ô❲●s♣❝❲❞ (44 − 30) × 24 = 336(❄). (Û) ❳✛ ✜✒❧Ü, ✼❧Ý❧Þ❲ë❧➽❧❾❧Ô➥➦❧ß➬ 110 å❲ô A✾ ❳✥që❧➽, þ➦❧ß➬ ✦, ✻❵✔ ❝? ✥që✚➽r❹④r⑤✼✚Ý✕r➭✁à✯❃✁➲❒✁á✚â✕✚➵✓✮✪✧✁ã, ➬✬ ✢ ✣r✤❯①✚②✾ ➣✚ä✚å ❿✁♠✓➪♦, ✢ ✫ë✁➽✕✓✰✓✱✓✲✓✳✻ “≥” ç✱ ✕ , ✧✁★✓×✓Ø A ✕✓à✓❂✹✓✻ −8 ❄, ▲ ✂✁✄✁☎, þ➦ 1 å✓ô✓✕ß✁æ✓ë✁➽, ❹ s♣❝✓❞ 8 ❄ ✾ ∆b1 ✕✓➾✓➚✓➪✁✌✎✍✻ −80 ≤ ∆b1 ≤ 20, ●✓❏✓ë ➽þ➦ 80 å✓ô, ❝✓❞● s♣ 640 ❄, Ö ✕✓➏✓➐➃ ✻: x1 x2 x5 = 26 16 8 + (−80) × 0.2 0.2 −0.4 = 10 0 40 ➥✫✑þ➦ 80 årô❥r➑, ❅ ✰ ❪✚çþ➦rë✚➽✚ß✚æ✬ , ✻❵r●s♣❝r❞, ▲✚è■❅➸r➺. (é) õ 4 ✩ ➠×✴✁✑✓✕❡✓❢⑧❹✁❺↕➡✓➢✓✵✓➪✁ê❍ s♣❝✓❞? ➣è 5–4 ➹ ➎ , x4 ✻ ❬✚✝✥r✦, ➾r➚r➪r➶r➹ß ➎ ✙ x4 ■r❍✰✚❊r➏r➐➃✕✚✌ë✍, ❙ tr✻ ♦, ∆c4 ✗➍▲ ➓ ✌✎✍, x4 t ✰✁❊✓➏✓➐➃✾❚➦✁➧✱ (5.3), ▲ ➓ ✌✎✍✻: −∞ < ∆c4 ≤ −(−7.5). ▲ t✓✻õ 4 ✩ ➠×✴✁✑✓✕❡✓❢❹✁❺ 7.5 ❄✓❥ ➲, t●✓❥✁ì❸, ❛❝✓❞s♣ ✾ (í) ❳❧➘❭❲✥õ 3 ✩ ➠×✴❧✑, ❛❧❾❧➸❲×❲Ø ✜✕ A ✢ 4 å❲ô❲s❧➥ 5 å❲ôý■ ④❲⑤ B ✯ C ✕×✓✦, ✿ ❹ s♣❡✓❢ 10 ❄, ✚★❆✁❇✓✻❵✓●✞? ▲ ➓❆❧❇❛ a13 ✢ 4 ✥ ➫ 5, ✻ ∆a13 = 1, ý c3 ➠ ✔❭❲✥, ✧❡❲❢s♣✬➒❧î➩ 1 å❲ô A ✕❧➺❧➻❲✒❧ï❧ð❲✾❀② a13(x3 ■✻ ✝ ✥❲✦) ✕❲➾❲➚❲➪❲➶❲➹ã ➎ (➦❧➧✱ (5.9), −∞ < ∆a13 ≤ −19 −8 ✾ ú ∆a13 ✑ ★ ✌✎✍✁✏, ✒ ❥ ➏✓➐➃ ■✓✥, ñ✁✻▲ ➓❆✁❇■✓●✞ ✾ (ò) ❳❧➘ì✞❪ ▼❧ó❧ô, ❛ õ 3 ✩ ➠×✴❧✑❾❧➸❲×❲Ø✒ ✹❧✺✕❧✭õ➼❫➔ ✢ 2 ❹ ➥ 1.5, ý s♣ ✕❷✓❸✓✯✓þ➦ ✭✁➼❫➔ý☛✓✰✓✕✓✬✓ÿ✁öî➷✪, ✚✻❵⑧ ì✁÷▲ ➓❆✁❇? ★✓➔ ∆a33 = −0.5, ý ∆a33 ✕➲❫✁❯➫ −0.4318 ≤ ∆a33 < ∞ ●✁❋ a33 ✕✥✓✐ ➊✗➍ ➾✓➚✓➪✁✌✎✍, →✓ê✓❛➏✓➐➃ ✥✁✘, ❛ x3 ✰✁❊✓➏✓➐➃ , ✧✁★➬ ì✁÷▲ ➓❆✁❇✾