·70· 北京科技大学学报 2003年第1期 置，其和轴分别平行于x,轴和少，轴.设平台 0p点的构形为9x,y,8np,),其中（红，y)为o,点在 {W坐标系的坐标，日，为平台的x,轴与{W的x,轴 间所夹的角，常称为平台的航向角（或方向角），中， 为平台前轮的偏向角，定义为前轮轮面与x,轴的 夹角，L,等于前、后轮轴间的距离，称为轴距，平 台0，点的运动方向沿x,轴，设速度为，.轮式移动 期望路径P 操作机器人的动力学方程为： T--M-p(g)vp+Ma(gm)va+Cmp(g.Vm Va)+ Xp Cn(qa,Va)+G.(qn) (1a) 图2移动平台路径跟踪问题 E.(9o)Tp-M.(gp)v.+Mmml(q)v,+Mm(q)v.+ Fig.2 Path following problem of the mobile platform Comi(g,v,Va)+Coma(q,v)+C(qm vp)(1b) 点o,和o,间的误差用位置误差e=o,ol和方向 式中，9=[g,9]'∈R,为轮式移动操作机器人 误差e=0一0。表示，其中0.是t与x.轴的夹角. 的构形，9。-[xp,yo,0,中]∈R,qm=[ga,qm,…,9m]∈ 在xoy.平面上给定期望路径P和移动平台的期 R为平台上机械手的构形；v=[,T∈R2,,= 望运动速度”，并假设此期望速度有界、可导， [y,p,]∈R2,wn=[gml,…,9an]eR";t=[t,t]∈R",为 那么平台路径跟踪问题就是找到反馈控制律使 轮式移动操作机器人的驱动力矩矩阵，，可x,,] (i)lime,=0,(ii)lime.=0. ∈R2,Ta-[Tml,tam,,tm]∈R";Mp和Mn分别为nx2 由上定义可得： 和nxn维惯性矩阵，Cm和C为n×l维离心力和科 e=-(xp-xp)sine+(ym-y)cosOm, 氏力矩阵，G为n×1维重力矩阵，E,为2×2维满秩 ea=6r-8。. 矩阵，Mp,Mm!和Mm2分别为2×2,2×n和2×2惯性 求导，利用x-x=-esin8,ym一。--ecos8,= 矩阵，C,Cm1和Cm为2×1离心力和科氏力矩阵. Vocose,=Vosine,=Vcose=Vsine,= 将移动平台与机械手的耦合作用设为干扰， 式(1a)和(1b)可写为： 艺an的，艺哈可得轮式移动平台路径跟 t-=Mm(qm)in+Ca(qm.V)+Gn(q-)+Fmp (2a) 踪误差方程为： E(q)Tp=M(gp)ip+Co(qn Vp)+Fm (2b6) aV,sine. e o ,ane一L, 1/LJ V.tan, (4) 式中，Fp=Mm(q加，+C(q,,y)为移动平台作 用在机械手上的耦合作用力，Fe=Mi(q)m+ 令x=eh,=e,=tan中，表示系统输人，4，=tand,方 Mm(q)mn+Cm(g,p,vn+Cm(g,,)为机械手作用在 程(4)可写为下面非线性形式： =Vosinxz (5a) 移动平台上的耦合作用力 V。 V。 元4-u (5b) 2路径跟踪动力学控制 对于系统(5a)和(Sb)应用下面控制律： u=台kHu (6) 2.1轮式移动平台路径跟踪运动学控制 图1所示汽车型移动平台的运动学模型为： 则x和x将渐进地收敛于0.其中k和k为正常 (p=Vocose 值，。为非零常值 y,=Vsin8。 (3) 证明选择下面形式的Lyapunov函数： Vtap V-2(kx) 它满足非完整约束. 其导数为V=kx+x2.利用式(5a,(5b)和(6)，可 轮式移动平台的路径跟踪问题如图2所示， 得=-k号≤0.此函数为负半定.当：为0时，此 设移动平台的运动轨迹由平台后轮轴中点0，点 函数为0，由(5b)和(6)式可得： 来表示，需要点o,跟踪的路径为P,点O,为点0， 名=-k-k兴 在P路径上的垂直投影，此点惟一存在.设t和n 当x2为0时，2将为0，对于非0速度V,x也将为 分别为路径P在，点处的切向矢量和法向矢量， 0.证毕.北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 置 ， 其 丸 和 外 轴 分别平 行 于 凡 轴 和 乃 轴 设平 台 ， 点 的构 形 为 价 ，外 ， 氏 ，盛 ， 其 中 ， 夕 为 口 点在 料 坐标 系 的坐 标 ， 氏为平 台的凡轴 与 叫 的 轴 间所 夹 的角 ， 常称 为平 台的航 向角 或方 向角 ， 盛 为平 台前轮 的偏 向角 ， 定 义 为前轮轮 面 与凡 轴 的 夹 角 ，几等于前 、 后 轮轴 间 的距离 ， 称 为轴距 ， 平 台 口 点 的运 动方 向沿朴轴 ， 设速度 为 气 轮式移动 操作机器 人 的动 力 学方程 为 确 ， 炸 承几 叮 口 叮 ， ， ， 叮 二 双 叮 称 城 。 ，汁城 ，尹城 心 叮 讯 叮 ， 炸 ， ‘ ， 炸 价 ， 咋 式 中 ， 〔抓 ， 呱〕 任 ， 为 轮 式 移 动 操 作 机 器 人 的构形 ， 叮 〔凡 ，凡 ， 氏 ，价〕 任 侧 ， 叮 一 时 ， 叮 ， … ，宁，〕 〔 为 平 台 上 机 械 手 的 构 形 ， 〔嵘 ， 嵘 任 ， ， 犷 〔 ， 帆〕任牙， 〔如 ，，… ，奋制任 〔礁 ， 翻 任 ， 为 轮式移 动操作 机 器人 的驱 动力矩 矩 阵 ， 称 气几 ， 司 任 牙 ， 斧 ，， ‘ ， … ， ‘ 任 几凡 和 材法分 别 为 和解 维 惯性 矩 阵 ， 和 为 维 离心 力 和科 氏力矩 阵 ， 为 维 重 力矩 阵 ， 瓜为 ‘ 维满 秩 矩 阵 ， 城 ， 材沁 和 城 口 分别 为 ， 和 惯 性 矩 阵 ， ， 和 瑞 为 离心 力 和科 氏力矩 阵 将移动平 台与机械 手 的祸合作用设为 干 扰 ， 式 和 可 写 为 几 叮 ， 讥 叮二 ， 琉 叮 ， 尽 叮 称 城 份 ， 咋 凡 式 中 ， 凡 几氏 妇哈 ， ， 为 移 动 平 台 作 用 在 机 械 手 上 的 藕 合 作 用 力 ， 凡 城 口 动哈 泪临 砂几十聪 ， 咋 ， ‘ 聪 ， 为 机 械 手 作 用 在 移动平 台上 的藕合作用 力 ‘ ‘ 盖 礼 尤， 图 移动 平 台路径跟踪 问题 肠 点 。 ， 和 。 ， 间 的误 差 用 位 置 误 差 约 。 ， 和 方 向 误差 ， 一 表示 ， 其 中氏 是 矛与 轴 的夹 角 在 口 平 面 上 给定期望路径尸和移 动平 台的期 望 运 动 速度 ， ， 并假设此期 望速 度 有 界 、 可 导 ， 那 么平 台路径 跟 踪问题 就 是 找 到反 馈 控 制律 使 约 ， 肠 由上 定 义 可 得 ‘ 一 一凡 沐十帆一夕 二 ， 肠 氏一 氏 求导 ， 利 用‘ 一犷 一 脚 ， 外一夕 一 荞 氏 ， 交厂 焦 ， 丸 称 氏 ， 拓 二 氏 ， 九 氏 ， 。 二 会 饭帅 ， 筛 一 枷 ， 可 得 轮式 移 动平 台路径 跟 踪误差 方程 为 …酬 一 …矛 ’ ‘ · …小 一 …小 ， ‘ ， 路径 跟 踪 动 力 学控 制 轮式 移 动 平 台路径 跟 踪 运 动 学控 制 图 所 示 汽 车型移动平 台的运 动学模 型 为 主 ， 价休 氏 气 氏 玉 甘一‘ “ 刊甘 ‘ 它满 足 非 完整 约 束 轮式 移动平 台的路径 跟 踪 问题如 图 所示 ， 设移 动平 台 的运 动轨 迹 由平 台后 轮轴 中点 口， 点 来表示 ， 需 要 点 口， 跟 踪 的路径 为尸 ， 点口， 为点 口 在 尸 路径上 的垂直投影 ， 此点惟一存在 设 于和 石 分别为路径 在 。 。 点处 的切 向矢 量 和 法 向矢量 ， 令 二 丙二 ， “ 呻 表 示 系 统 输 人 ， 认由呻 ， 方 程 可 写 为下 面非线 性 形 式 戈 二 一士呈 ， 五 ， ‘弘、 一 乙 一’ 对 于 系统 和 应 用 下 面控制 律 一会 ‘棍 ‘ 】 、鄂 · 则 ， 和 为 将渐进地 收敛于 其 中 ， 和 丸 为正 常 值 ， 为非零 常值 证 明 选择下 面形 式 的 函数 件李、 、 、 川 云 “ ，碳‘ ， 其导 数 为 夕二 ，方 允 利用 式 ， 和 ， 可 得 夕 一几邓‘ 此 函数为 负半定 当 瓜 为 时 ， 此 函数为 ， 由 和 式 可 得 ， ， 工， 为 一 场丸 一 ‘ ，犷 一瓦丁飞 · 当 为 为 时 滚 将为 ， 对 于非 速度 ， ， 也将 为 证毕