容易验证E={():n2是L[0中的正交集.但这一正交集不是完 备的.事实上,()≡1与所有rn(1)正交但不属于上述集合,定理6(6) 说明{(),n≥1不完备(即使添加到E中仍得不到完备正交集) 为了得到由E扩展成的完备正交系,让我们考察Har函数系 hO()=1,0≤t≤1 1,t∈[0,) h()={-1,t∈L,1) 其他 2,t∈[0, 其他 t∈ 1)={一 t∈[:) 其他; 2k-22k-1 t∈ 2k-12k (t)= t∈ 其他 p():1≤k≤2,n=012…}的正交性容易直接验证它还是规范 正交系为了验证它是完备的,由定理6(6),只需验证f∈L[0,10 容易验证 E rt n = { n ( ): 1 ≥ } 是 [0,1] 2 L 中的正交集. 但这一正交集不是完 备的. 事实上, 0r t() 1 ≡ 与所有 r (t) n 正交但不属于上述集合, 定理 6 (6) 说明 { } rn (t),n ≥ 1 不完备 (即使添加 0r 到 E 中仍得不到完备正交集). 为了得到由 E 扩展成的完备正交系, 让我们考察 Haar 函数系. (0) 0 ht t ( ) 1, 0 1; = ≤ ≤ (1) 0 1 1, [0, ) 2 1 ( ) 1, [ ,1) 2 0, t ht t  ∈    =− ∈      其他；          − ∈ ∈ = 其他； ， ， 0 ) 2 1 , 4 1 2 [ ) 4 1 2 [0, ( ) (1) 1 t t h t          − ∈ ∈ = 其他； ， ， 0, ,1) 4 3 2 [ ) 4 3 , 2 1 2 [ ( ) (2) 1 t t h t                − − ∈       − − ∈ = + + + + 0, . 2 2 , 2 2 1 2 , 2 2 1 , 2 2 2 2 , ( ) 1 1 1 1 ( ) 其他 n n n n n n k n k k t k k t h t k = 1,2,",2n , n = 1,2,". { ( ) :1 2 , 0,1,2,"} ( ) h t ≤ k ≤ n = k n n 的正交性容易直接验证. 它还是规范 正交系. 为了验证它是完备的, 由定理 6 (6), 只需验证 2 ∀ ∈f L [0,1]