若(f,b)=0,Vk,n,则∫=0 实际上,由(f,b)=0可得出 2k-1 f()=0,[(ot=0 k=1,2,…,2",n=0,1,2,…,定义 F(1)=f()dt 由∫的可积性,F(1)是连续函数.但上式表明 这种点在[O1上稠密,所以F()=0,0≤1≤1,从而f()几乎处处为0 故Har函数系是L2[0,的完备正交基 例3现在考虑复空间L-x,刀与集合{e:n=0土1坦…} 容易验证 0 dt 2 丌,n=n 于是E={=em:n=0+±1+2,…}是L-r,]的规范正交集.我们 验证E是正交基.为此要证明,若x∈L[-x,r], x()eat=0(n=0,±1,+2,…) 则x(t)=0,ae 设y()= x(z)klr.由可积性,y()是[-x,丌]上的绝对连续 2丌 函数并且y()=x(.ae.注意到y(-z)=0,y(z)==(x1)=0 于是 yO)e=nd=dy(e= -ry11 若 f h k n k n ( , ) 0, , ( ) = ∀ , 则 f = 0 . 实际上, 由 ( ) (, ) 0 k n f h = 可得出 ∫ + + − − = 1 1 2 2 1 2 2 2 ( ) 0 n n k k f t dt , ∫ + + − = 1 1 2 2 2 2 1 ( ) 0 n n k k f t dt , k = 1,2,",2 ,n = 0,1,2,". n 定义 ∫ = 1 0 F(t) f (t)dt , 由 f 的可积性, F(t) 是连续函数. 但上式表明 ) 0 2 ( = n k F , k = 1,2,",2 ,n = 0,1,2,". n 这种点在 [0,1]上稠密, 所以 F(t) = 0,0 ≤ t ≤ 1, 从而 f (t)几乎处处为 0. 故 Haar 函数系是 [0,1] 2 L 的完备正交基. 例 3 现在考虑复空间 [ , ] 2 L −π π 与集合 { } int e n: 0, 1, 2, = ±± " . 容易验证    = ≠ = ∫− 2 , . 0, , int int m n m n e e dt π π π 于是       = : = 0,±1,±2," 2 1 int E e n π 是 [ , ] 2 L −π π 的规范正交集. 我们 验证 E 是正交基. 为此要证明, 若 x ∈ [ , ] 2 L −π π , ( ) 0 2 1 ( , ) int int = = ∫− − x e x t e dt π π π ( n = 0,±1,±2,"), 则 x( ) 0, . . t ae = 设 y(t) = ( ) . 2 1 τ τ π π x d t ∫− 由可积性, y(t) 是 [−π ,π ]上的绝对连续 函数并且 y t x t ae ′( ) ( ), . . = 注意到 ( ,1) 0, 2 1 y(− ) = 0, y( ) = x = π π π 于是 [ ( ) ( ) ] 1 ( ) int int int y t e y t e dt in y t e dt ∫ ∫− − − − − − ′ − − = π π π π π π