中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 1极限2 2数学语言不规范如上所言，作业中常出现证明中口语化描述偏多，不会规范及正确 使用数学语言及数学符号的问题 如“无穷大量乘以一个不是无穷小的量，仍然是无穷大量”以及“αn无限逼近于0”等等 这些口语化的描述不允许出现在数学证明中，必须要用严格的廿，3等数学符号（或文字），并通 过合适的数学语言进行刻画.同时还需注意数学符号使用的逻辑顺序，以及数学符号使用的合 理性及规范性， 例题1.2用定义证明：lim sin n 0 证明对e>0,3(取)N= +1,则（当）m>N时，有 11 n<N<e 故lim sinn =0. ▣ n-too n 如上所示，在用“ε一N”语言证明时，必须按照“任意一存在一任意一给定精度精确 化”四个步骤的顺序进行.常见错误如下： (1)缺少某个（某些）逻辑符号，或者逻辑符号未按照正确顺序使用： (2)N的取值依赖于n.N的取值必须是仅与ε有关的变量，不能依赖于n,所以“Ve>0” 写在“3N=.”之前就是为了固定ε的值，以便最后的精确化处理 周帝见错误格式对>0婆使一≤<三只用取1之一 +1即可. (4)用夹逼原理（教材定理1.7）证明.本题要求用定义法证明，不应出现夹逼原理 例题1.3证明：若lim an=0,又bnl≤M(n=1,2,…),则1 im anbn=0. 00 提示(1)通过定义证明， 证明(1) (1)当M=0时，bn=0(n∈N*)→anbn=0→lim anbn=0 →金0 ②当M>0时，对e>0由man=0知，3N∈，使得当m>N时，有al<, 从而|anbnl≤M|an<e,由定义知，lim anbn=0. n→0d ▣ 注意对M=0的情况单独讨论， 提示(2)运用夹逼原理 证明(2)注意到， 0≤anon≤M an, 由lim an=0及夹逼原理知，lim anbn=0. ▣ 200 2→0 错误格式lim lanon≤M lim lan=0. n+0 说明上述错解存在逻辑谬误.因为敛散性未知的情况下，不能直接对极限形式比较大小 关系.这也可能是由夹逼原理书写格式不规范造成的，应当对数列大小进行比较，而不是对极 限进行比较， 3分类讨论不齐全在分类讨论时，常出现分类讨论不齐全，特殊情况欠考虑的情况.此 处不做详细展开中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 2 2 数学语言不规范 如上所言, 作业中常出现证明中口语化描述偏多, 不会规范及正确 使用数学语言及数学符号的问题. 如 “无穷大量乘以一个不是无穷小的量, 仍然是无穷大量” 以及 “an 无限逼近于 0” 等等. 这些口语化的描述不允许出现在数学证明中, 必须要用严格的 ∀, ∃ 等数学符号 (或文字), 并通 过合适的数学语言进行刻画. 同时还需注意数学符号使用的逻辑顺序, 以及数学符号使用的合 理性及规范性. 例题 1.2 用定义证明: lim n→+∞ sin n n = 0. 证明 对 ∀ε > 0, ∃(取)N =  1 ε  + 1, 则 ∀(当)n > N 时, 有     sin n n     ⩽ 1 n < 1 N < ε, 故 lim n→+∞ sin n n = 0. 如上所示, 在用 “ε − N” 语言证明时, 必须按照 “任意 — 存在— 任意 — 给定精度精确 化” 四个步骤的顺序进行. 常见错误如下: (1) 缺少某个 (某些) 逻辑符号, 或者逻辑符号未按照正确顺序使用; (2) N 的取值依赖于 n. N 的取值必须是仅与 ε 有关的变量, 不能依赖于 n, 所以 “∀ε > 0” 写在 “∃N = · · · ” 之前就是为了固定 ε 的值, 以便最后的精确化处理. (3) 常见错误格式: 对 ∀ε > 0, 要使     sin n n     ⩽ 1 n < ε, 只用取 n >  1 ε  + 1 即可. (4) 用夹逼原理 (教材定理 1.7) 证明. 本题要求用定义法证明, 不应出现夹逼原理. 例题 1.3 证明: 若 limn→∞ an = 0, 又 |bn| ⩽ M (n = 1, 2, · · ·), 则 limn→∞ anbn = 0. 提示 (1) 通过定义证明. 证明 (1) (1) 当 M = 0 时, bn = 0 (n ∈ N ∗ ) =⇒ anbn = 0 =⇒ limn→∞ anbn = 0; (2) 当 M > 0 时, 对 ∀ε > 0, 由 limn→∞ an = 0 知, ∃N ∈ N ∗ , 使得当 n > N 时, 有 |an| < 1 M ε, 从而 |anbn| ⩽ M |an| < ε, 由定义知, limn→∞ anbn = 0. 注意 对 M = 0 的情况单独讨论. 提示 (2) 运用夹逼原理. 证明 (2) 注意到, 0 ⩽ |anbn| ⩽ M |an| , 由 limn→∞ an = 0 及夹逼原理知, limn→∞ anbn = 0. 错误格式 limn→∞ |anbn| ⩽ M limn→∞ |an| = 0. 说明 上述错解存在逻辑谬误. 因为敛散性未知的情况下, 不能直接对极限形式比较大小 关系. 这也可能是由夹逼原理书写格式不规范造成的, 应当对数列大小进行比较, 而不是对极 限进行比较. 3 分类讨论不齐全 在分类讨论时, 常出现分类讨论不齐全, 特殊情况欠考虑的情况. 此 处不做详细展开