§2.5方差的定义及性质 我们已经知道数学期望反映了随机变量的平均值，在许多实际问题中，只要知道这个平均 值 以了，但是数学期望毕竟只能反映平均值，有很大的局限 生，在某些场合中，仅仅知道平 均值是不够的，还是以手表的日走时误差为例，如果有甲，乙两种牌号的手表，它们的日走时误 差分别为5和52各具有如下的分布列： s[日s 0i 0 4 容易验证，这时有E5=E5,-0.从数学期望去看这两种牌号的手表，是分不出它们的优 的如果仔细观察一下这两个分布列，就会得出结论：甲牌号的手表要优于乙牌号.保以见得呢？ 先讨论牌号甲已知E5=0,从分布列可知，大部分手表的日走时误差为0有少部分手表的 日走时误差分散在E5的两侧，再看牌号乙，虽然也有E5,0,但是只有少部分的日走时误差 为0却大部分分散在E52的两侧，而且分散的范围也比甲牌号的范围大由此看来两种牌号的 手表中牌号甲的手表日走时误差比较稳定，所以牌号甲比牌号乙好对于这样的评论，读者可 能会觉得有点罗唆那么是否可以用一个数字指标来衡量一个随机变量离开它的期望值的偏 离程度呢？这正是本节所要讨论的问题。 如果5是要讨论的随机变量，E5是它的数学期望，这时15E5引 就衡量了随机变量5和它的数学期望E5之间偏差的大小，但是绝对值运算有许多不便之处， 人们便用（传-E)?去衡量这个偏差.但是（传-E5)是一个随机变量，应该用它的平均值，即 用(5-E)'这个数值来衡量5离开它的平均值E5的偏离程度为此，引入下述定义 定义26设5是一个离散型随机变量，数学期望E5存在，如果(5-E5)2存在，则称 (5-E)2为随机变量5的方差，并记D5. 方差的平方根√D5又称为标准差或根方差，常记为σ5.在现实问题中标准差用得很广 泛，其优点是它与5具有相同的量纲 如果随机变量ξ分布列为 [aa3… Lp pa.. § 2.5 方差的定义及性质 我们已经知道数学期望反映了随机变量的平均值,在许多实际问题中,只要知道这个平均 值就可以了,但是数学期望毕竟只能反映平均值,有很大的局限性,在某些场合中,仅仅知道平 均值是不够的,还是以手表的日走时误差为例,如果有甲,乙两种牌号的手表,它们的日走时误 差分别为 1  和  2 各具有如下的分布列:      − 0.1 0.8 0.1 1 0 1 :  1      − − 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 2 1 0 1 2 :  2 gjzsj 容易验证，这时有 E 1 =E 2 =0.从数学期望去看这两种牌号的手表,是分不出它们的优劣 的.如果仔细观察一下这两个分布列,就会得出结论:甲牌号的手表要优于乙牌号.保以见得呢? 先讨论牌号甲.已知 E 1 =0,从分布列可知,大部分手表的日走时误差为 0,有少部分手表的 日走时误差分散在 E 1 的两侧,再看牌号乙,虽然也有 E 2 =0,但是只有少部分的日走时误差 为0却大部分分散在 E 2 的两侧,而且分散的范围也比甲牌号的范围大.由此看来,两种牌号的 手表中牌号甲的手表日走时误差比较稳定,所以牌号甲比牌号乙好!对于这样的评论,读者可 能会觉得有点罗唆.那么是否可以用一个数字指标来衡量一个随机变量离开它的期望值的偏 离程度呢?这正是本节所要讨论的问题. 如果  是要讨论的随机变量, E 是它的数学期望,这时|  - E | 就衡量了随机变量  和它的数学期望 E 之间偏差的大小,但是绝对值运算有许多不便之处, 人们便用 2 ( − E) 去衡量这个偏差.但是 2 ( − E) 是一个随机变量,应该用它的平均值,即 用 2 ( − E) 这个数值来衡量  离开它的平均值 E 的偏离程度.为此,引入下述定义. 定义 2.6 设  是一个离散型随机变量,数学期望 E 存在,如果 2 ( − E) 存在,则称 2 ( − E) 为随机变量  的方差,并记 D . gjzsj 方差的平方根 D 又称为标准差或根方差,常记为  .在现实问题中标准差用得很广 泛,其优点是它与  具有相同的量纲. 如果随机变量  分布列为         1 2 1 2 p p a a gjzsj