8.5r函数的普遍表达式 T函数的定义(第二类欧拉积分(8.1)式)只适用于右半平面。为豆补这一缺陷,本节不加 证明地介绍函数的另外几表达式,方式括围道积分表示和无穷积表示,它们都在全平面 成的(某些点可能例外,有笑证明见参考书首12,第3章 1.T函数的围积分表示 r(a)=-2isin TZ e(-t)dt, larg(-t)l<T 其中的积分围道为;从上半平面挨近正实轴无穷远处出发,左行绕点正向一周,再右行到下半 平面挨近正实轴无穷远处(见图8.4).此式在全2平面成的,但z=整数除外 r函数的另一个围道积分表示是 r(2) larg t< 积分围道从下半平面挨近负实轴无穷远处出发,右行绕点正向一周,再左行到上半平面挨近负 实轴无穷远处(见图8.5)·此式在全z平面成的,括2=整数 2.函数的欧拉无穷乘积表示 n 1+ 此式对任何z均成的,但极点z=负整数除外 3.r函数的外下斯特拉斯无穷乘积表示 1+ 其中 -lnn=0.5772156649 就是欧拉常数(83节).这个无穷积给出了任何z的r(2),同时指明了T(x)的奇点为一阶极点 而无零点￾✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 13 ✝ ∗8.5 Γ ☞✌✍ÏÐÑÒÓ Γ ✓✔✕✙✚ (✧★✩ÔÕ✣✤ (8.1) ➼) ♠Ö ✘ s ➁➂❜❝✳ ✦ ③×➚✜ ❄ØÙ✪Ú ❦ →Û ❤ ✐⑦ÜÝ Γ ✓✔✕➳ ➎Þ✃ ❦þ➼ ✪ ➻➼ßà ➢➤✣✤❦➸➟●❍❢✣❦➸✪❆á ➊❉ ❛❜❝ ◆➬ (â ➍ ⑧❢➨➭➎ ) ✳ ⑩➃❤ ✐❶ãäå æ [12] ✪✧ 3 ç✳ 1. Γ ❁❂➐èé✴✵✼ê Γ (z) = − 1 2i sin πz Z (0+) ∞ e −t (−t) z−1dt, |arg(−t)| < π, ✫ ✬ ✕ ✣✤ ➢➤✦➯ ➜②➂ ❜❝ë ➄ ✈ ↔↕●❍➾ì ➝➞✪ û❮í❞ ⑧ ✈ î ❄ï ✪➮ ➁❮➍ø➂ ❜❝ë ➄ ✈ ↔↕●❍➾ì (❶❷ 8.4) ✳⑥➼❉❛ z ❜❝◆➬✪ ù z = ✇ ✔ ➌➎ ✳ ❸ 8.4 ❸ 8.5 Γ ✓✔✕➳❄ ✢ ➢➤✣✤❦➸ ✛ Γ (z) = 1 2π i Z (0+) −∞ e t t −z dt, |arg t| < π, ✣✤ ➢➤➜ø➂❜❝ë ➄ð↔↕●❍➾ì ➝➞✪ ➁❮í❞ ⑧ ✈ î ❄ï ✪➮ û❮➍ ② ➂ ❜❝ë ➄ð ↔↕●❍➾ì (❶❷ 8.5) ✳⑥➼❉❛ z ❜❝◆➬✪ ßà z = ✇ ✔✳ 2. Γ ❁❂➐ñòóôõ✴✼ê Γ (z) = 1 z Y∞ n=1  1 + z n −1  1 + 1 n z , ⑥➼rtö z ⑨◆➬✪ ù ➋ ⑧ z = ð ✇ ✔ ➌➎ ✳ 3. Γ ❁❂➐÷øùúòùóôõ✴✼ê 1 Γ (z) = ze γz Y∞ n=1 h1 + z n  e −z/ni , ✫ ✬ γ = limn→∞ "Xn k=1 1 k − ln n # = 0.5772156649 · · · ❧ ✛ ÔÕ✗✔ (8.3 ❦) ✳ ✜✢●❍❢✣② ➝③ tö z ✕ Γ (z) ✪û ❩ò ✐ ③ Γ (z) ✕ ❶ ⑧ ✦ ❄ ❡➋⑧ z = 0, −1, −2, · · · ➊●♣ ⑧✳