第三章导数与微分 Ar→0 Af(o=f (xol mf(x+△x)-f(x2oAx 由极限性质可知,当Ax→0时,x)-r(x)=0 即4(x0)=f(x)△x+o(1)△x=f(x)△x+o(△x) 推论一:如果∫在x可导,则函数在x0必连续 推论二:如果∫(x0)≠0,则(x)~f(x)△x 推论三:如果∫在x0可导在x附近用切线上的增量∫(x0)x, 来近似函数曲线上的增量f(x0),相差为o(△x)。 注意:由函数的连续性不能推出可导性 如果∫在区间/中的每个点都可导称∫在区间上可导 这时,(x)在上定义一个函数,称为∫的导函数,简称导数 当区间为有界闭区间[a,b时,∫在区间[a,b]上可导的含义是 f在[a,b的每一个内点可导;在a,b两点分别存在右导数和 左导数此时记成:f∈DIa,b] 符号∫∈C(1),表示导函数∫(x)在/上连续 性质三导数的四则运算性质:若函数∫,g在点x都可导, 1函数∫+g在点x可导,并且 (f+g)(x)=f(x)+g'(x) 2对于任意常数C,函数f在点x可导,并且 (cf)(x)=cf(x 3函数∫·g在点x可导,并且 (f g)(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) 4如果g(x)≠0,则2在点x可导并且 g(x) f(x)f(x)g(x)-g'(x)f(x) g(x) 8(x) 证明以下记 ◆=f(x+Ax)-f(x),4g=g(x+△x)-g(x) △(∫+g)=[f(x+x)+g(x+Ax)-[f(x)+g(x =A+Ag 1.设函数∫,g在点x都可导,则 第三章导数与微分第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 f x x f x x f x x f x x x =    =  +  −  →  → . 由极限性质可知，当 x →0 时， ( ) (1) ( ) 0 0 f x o x f x −  =   , 即 ( ) ( ) (1) ( ) ( ) 0 0 0 f x = f  x x + o x = f  x x + o x . 推论一：如果 f 在 x0 可导, 则函数在 x0 必连续。 推论二：如果 f (x0 )  0 , 则 f (x ) ~ f (x )x 0 0 。 推论三：如果 f 在 x0 可导, 在 x0 附近用切线上的增量 f (x )x 0 , 来近似函数曲线上的增量 ( ) 0 f x ，相差为 o(x) 。 注意：由函数的连续性不能推出可导性. 如果 f 在区间 I 中的每个点都可导,称 f 在区间 I 上可导, 这时, f '(x) 在 I 上定义一个函数, 称为 f 的导函数, 简称导数. 当区间为有界闭区间 [a,b] 时, f 在区间 [a,b] 上可导的含义是: f 在 [a,b] 的每一个内点可导；在 a,b 两点分别存在右导数和 左导数. 此时记成: f  D[a,b]. 符号 ( ) 1 f C I ，表示导函数 f (x) 在 I 上连续. 性质三: 导数的四则运算性质: 若函数 f , g 在点 x 都可导,则 1.函数 f + g 在点 x 可导, 并且 ( f + g)(x) = f (x) + g (x) 2.对于任意常数 c,函数 cf 在点 x 可导,并且 (cf )(x) = cf (x). 3.函数 f  g 在点 x 可导,并且 ( f  g)(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x). 4.如果 g(x)  0 ,则 ( ) ( ) g x f x 在点 x 可导,并且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x f x g x g x f x g x f x  −  =          . 证明:以下记 f = f (x +x) − f (x),g = g(x +x) − g(x) ( f + g) = [ f (x + x) + g(x + x)] −[ f (x) + g(x)] = f + g 1. 设函数 f , g 在点 x 都可导,则