习题11.3连续函数的性质 设D<R”,∫:D→R"为连续映射。如果D中的点列{x}满足 lim 且a∈D,证明 lim f(xk=f(a 证由f在a连续,vE>0,36>0,x(x-akδ),成立 又由于lmx=a,对于上述δ>0,存在K,当k>k时成立 于是当k>K时成立 l∫(x)-f(a)kE 所以 lim f(x =f(a) 2 设∫是R”上的连续函数,c为实数。设 A={x∈R"|f(x)<c},B={x∈R"|f(x)≤c}。 证明A为R"上的开集,B2为R”上的闭集 证对于任意x∈A,由于∫在x连续,取=c-f(x)>0,则彐6>0, x(x-x0k6),成立 I f(x)-f(rokE=c-f(xo) 即有f(x)<c,所以x∈A。这说明A为R"上的开集。 由∫在R上连续可知-f也在R”上连续,于是 (B.)={x∈R"|f(x)>c}={x∈R"|-f(x)<-c} 为R"上的开集,所以B为R"上的闭集。 3.设二元函数 (x,y) ,(x,y)∈D=[0,1)×[O,1), 证明:∫在D上连续,但不一致连续。 证由于f在D上是初等函数,所以连续。但因为当n→+∞时, 而习 题 11.3 连续函数的性质 1． 设D⊂ n R ， 为连续映射。如果D中的点列{x m f : D → R k}满足 x = a，且 D，证明 →∞ k k lim a∈ lim f (x ) = f (a) →∞ k k 。 证 由f 在a连续，∀ > ε 0,∃δ δ > 0,∀x x (| − a |< )，成立 | ( f x) − f (a) |< ε 。 又由于 x = a，对于上述 →∞ k k lim δ > 0，存在K ，当k > K 时成立 | | k x a − < δ ， 于是当k > K 时成立 | ( ) ( ) | k f x − f a < ε 。 所以 lim f (x ) = f (a) →∞ k k 。 2． 设 f 是 n R 上的连续函数，c为实数。设 { | f ( ) c} n Ac = x ∈ R x < ，Bc = {x ∈ Rn | f (x)≤c}。 证明Ac为 n R 上的开集，Bc为 n R 上的闭集。 证 对于任意 x0 ∈Ac，由于 f 在 x0连续，取ε = 0 c f − ( ) x > 0，则∃ > δ 0， 0 ∀ − x x (| x |< δ ) ，成立 0 0 | ( f f x x ) − < ( ) | ε = c − f (x ) ， 即有 f ( ) x < c，所以 x ∈ Ac 。这说明Ac为 n R 上的开集。 由 f 在 n R 上连续可知− f 也在 n R 上连续，于是 ( ) { | ( ) } { | ( ) } c n n c B R = ∈x x f > c f = x ∈ R − x < −c 为 n R 上的开集，所以Bc为 n R 上的闭集。 3． 设二元函数 xy f x y − = 1 1 ( , ) ， (x, y) ∈ D = [0,1) ×[0,1)， 证明： f 在D上连续，但不一致连续。 证 由于 f 在D上是初等函数，所以连续。但因为当n → +∞时， 1 1 (1 ,1 ) 2 2 n n − − − 1 1 (1 ,1 ) 0 n n − − → ， 而 1 1 (1 ,1 ) 2 2 f n n − − − 1 1 f (1 ,1 ) n n − − 91