n2(4n-3)n2 →)+0 4n-12n (4n-1)(2n-1) 所以∫在D上不一致连续 设A为R"上的非空子集,定义R”上的函数f为 ∫(x)=inf{x-y‖y∈A 它称为x到A的距离。证明 (1)当且仅当x∈孑时,f(x)=0; (2)对于任意x,x"∈R”,不等式 f(x)-f(x"≤|x-x"l 成立,从而∫在R"上一致连续 (3)若A是紧集,则对于任意c>0,点集{x∈R"|f(x)≤c}是紧 集 证(1)假定x∈A,则存在A中的点列{xk},满足imx4=x,即 imn|x4-x|=0,所以f(x)=0。反之,由f(x)=0可知存在A中的点列{xk}, 满足imx4-x|=0,即lmx=x,所以x∈A。 (2)不妨假设f(x)≥f(x")。首先对于任意的k,存在x∈A,满足 f(x")丬x"-x 再利用 f(r)sx'-xxI, 两式相减,得到 0<f(x)-f(x")4x-x|-(x-x|-)x-x"|+ k 令k→∞,即得到 f(x)-f(x≤x:-x"l 由上式即可知f在R”上一致连续。 (3)由(2)知∫在R"上连续,再由习题2知点集B={x∈R"|f(x)≤ e}是闭集。由于A是紧集,所以A有界,即彐M,wx∈A,成立|xM。 vy∈B,取x∈A,使得 f(y)丬y-x 于是 ly图y-x|+|x∫(y)+1+M≤c+1+M 即B也有界。所以B为有界闭集,也就是紧集。 5.设二元函数∫在R2上连续。证明: (1)若limf(x,y)=+∞,则∫在R2上的最小值必定存在;2 2 2 4 (4 3) 4 1 2 1 (4 1)(2 1) n n n n n n n n − =−= → + − − − − ∞， 所以 f 在D上不一致连续。 4． 设 A 为 n R 上的非空子集，定义 n R 上的函数 f 为 f (x) = inf {| x − y || y ∈ A}。 它称为 x 到 A 的距离。证明： (1)当且仅当 x ∈ A 时， f (x) = 0 ； (2)对于任意 x′, x′′∈ n R ，不等式 f (x′) − f (x′′) ≤| x′ − x′′ | 成立，从而 f 在 n R 上一致连续； （3）若 A 是紧集，则对于任意 ，点集 ≤ 是紧 集。 c > 0 {x | f (x) n ∈ R c} 证 （1）假定 x ∈ A ，则存在A中的点列{xk}，满足 ，即 ，所以 。反之，由 lim k k→∞ x = x lim 0 k k→∞ | x − x |= f (x) = 0 f (x) = 0 可知存在A中的点列{xk}， 满足lim k 0，即 k→∞ | x − x |= lim k k→∞ x = x，所以 x ∈ A 。 （2）不妨假设 f ( ) x′ ≥ f (x′′)。首先对于任意的 k，存在xk ∈ A ，满足 1 ( ) | k f k x x ′′ > −′′ x | − ， 再利用 ( ) | k f x' ≤ x' − x |， 两式相减，得到 1 1 0 ( ) ( ) | (| ) | k k f f k k < − x′ ′ x ′ < x x ′− | − x′′ − x | − ≤ x x ′− ′′ | + ， 令k → ∞ ，即得到 f (x′) − f (x′′) ≤| x′ − x′′ |。 由上式即可知 f 在 n R 上一致连续。 （3）由（2）知 f 在 n R 上连续，再由习题 2 知点集 B= ≤ 是闭集。由于 A 是紧集，所以 A 有界，即 {x | f (x) n ∈ R c} ∃M ,∀ ∈x A，成立| | x ≤ M 。 ∀ ∈y B ，取 x∈ A，使得 f ( ) y y > − | x | −1。 于是 | | y |≤ −y x | + | x |< f M ( y) +1+ ≤ c +1+ M ， 即 B 也有界。所以 B 为有界闭集，也就是紧集。 5． 设二元函数 f 在 2 R 上连续。证明： （1）若 = +∞，则 在 + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y f 2 R 上的最小值必定存在； 92