(2)若,limf(x,y)=0,则∫在R2上的最大值与最小值至少存在 证(1)任取一点(xn,y0),由,limf(x,y)=+,可知存在R>0,当 2+y2>R2,成立f(x,y)>f(x,y0)。f(x,y)在紧集{(xy)x2+y2≤R2}上 必定取到最小值,且此最小值就是它在R2上的最小值 (2)如果∫(x,y)=0,则命题显然成立。不然的话,任取(xny),使 得函数值在此点非零。 若f(x0,y0)>0,由,limf(x,y)=0,可知存在R>0,当x2+y2>R2, →+∞ 成立∫(x,y)<f(x0,%0),则f(x,y)在紧集{(x,yx2+y2≤R2}上必定取到 最大值,且此最大值就是它在R2上的最大值。 若f(x0,y)<0,由,imf(x,y)=0,可知存在R>0,当x2+y2>R 成立f(x,y)>f(x0,y0),则f(x,y)在紧集{(x,y)x2+y2≤R2}上必定取到 最小值,且此最小值就是它在R2上的最小值。 6.设∫是R"上的连续函数,满足 (1)当x≠0时成立f(x)>0; (2)对于任意x与c>0,成立f(cx)=cf(x)。 证明:存在a>0,b>0,使得 x|≤f(x)≤b|x 证单位球面是R"上的紧集,设∫在单位球面上的最小值和最大值分 别为a和b,则有 0<a≤f(x)≤b 于是vx≠0,由于x=1,所以 f(x)=/sbr), 同理∫(x)≥a|xl。由于当x=0时不等式显然成立,所以vx∈R",成立 7.设∫:R"→R"为连续映射。证明对于R"中的任意子集A,成立 ∫(4)c∫(4)。 举例说明f(A)能够是f(A)的真子集。 证x∈A,存在A中的点列{xk},满足lmx4=x,由于映射∫在x连 续 lim f(xk=f(limx k)=f( 所以∫(x)∈f(A),即f(A)cf(A)（2）若 2 lim2 ( , ) = 0，则 在 + →+∞ f x y x y f 2 R 上的最大值与最小值至少存在 一个。 证 （1）任取一点(x0 , y0 )，由 = +∞ + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y ，可知存在 ，当 ，成立 。 在紧集 R > 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y f (x, y) {( , ) } 2 2 2 x y x + y ≤ R 上 必定取到最小值，且此最小值就是它在 2 R 上的最小值。 （2）如果 ，则命题显然成立。不然的话，任取 ，使 得函数值在此点非零。 f x( , y) ≡ 0 ( , ) 0 0 x y 若 f (x0 , y0 ) > 0，由 lim ( , ) 0 2 2 = + →+∞ f x y x y ，可知存在 ，当 ， 成立 ，则 在紧集 R > 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y < f x y f (x, y) {( , ) } 2 2 2 x y x + y ≤ R 上必定取到 最大值，且此最大值就是它在 2 R 上的最大值。 若 f (x0 , y0 ) < 0，由 lim ( , ) 0 2 2 = + →+∞ f x y x y ，可知存在 ，当 ， 成立 ，则 在紧集 R > 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y f (x, y) {( , ) } 2 2 2 x y x + y ≤ R 上必定取到 最小值，且此最小值就是它在 2 R 上的最小值。 6．设 f 是 n R 上的连续函数，满足 (1)当 x ≠ 0时成立 f (x) > 0 ； (2)对于任意 x与c > 0，成立 f (cx) = cf (x)。 证明：存在a > 0, b > 0，使得 a | x |≤ f (x)≤b | x |。 证 单位球面是 n R 上的紧集，设 在单位球面上的最小值和最大值分 别为 和 ，则有 f a b 0 ( < ≤ a f x) ≤ b < +∞ ， ∀ | | x = 1。 于是∀ ≠ x 0，由于 =1 x x ，所以 f ( ) f b ⎛ ⎞ = ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x x x x , 同理 f ( ) x ≥ a x 。由于当 x = 0时不等式显然成立，所以∀x ∈ n R ，成立 a | x |≤ f (x)≤b | x |。 7．设 f : Rn → Rm为连续映射。证明对于 n R 中的任意子集 A，成立 f (A) ⊂ f (A)。 举例说明 f (A)能够是 f (A)的真子集。 证 ∀ ∈x A ，存在A中的点列{xk}，满足lim k k→∞ x = x，由于映射 在 连 续， f x lim ( ) (lim ) ( ) k k k k →∞ →∞ f x f = x = f x ， 所以 f ( ) x f ∈ (A) ，即 f (A) ⊂ f (A)。 93