取n=2,f(x,y)=e在R2上连续。令A=R2,则A=A,但 f(A)={x|x>0},f(A)={x|x≥0}, f(A)是∫(A)的真子集。 8.设∫是有界开区域DcR2上的一致连续函数。证明 (1)可以将∫连续延拓到D的边界上,即存在定义在D上的连续 函数,使得 (2)f在D上有界。 证(1)由于∫在DcR2上的一致连续,E>0,3δ>0,Vx,x"∈D (xx"k8: lf(x)-f(x")kE。 设s∈aD,任取点列{xn}(xn∈D,xn→>5),由于{x}为 Cauchy点 列,对于上述δ>0,3K,当m,n>K时,成立|xn-xkδ,于是 I f(xm)-f(x,)kE 所以{f(x是基本数列,故一定收敛。记该极限为g(<) 在|f(xn)-f(x)kE中令m→∞,得到 If(x)-gsksE 对于wx∈Dx-fk812,存在点列{xn}中某项x,满足 x4-5k/2,f(xk)-8(5)E。 于是 x-x图x-5|+|x-5k6, f(x)-g(5)图∫(x)-f(x)+|f(x)-g(5)<26 所以 lim f(x)=g(s), 由此可知{(x,)的极限g(5)只与seD有关,而与点列{xn}的选取无取 n=2， 在 上连续。令 A= ，则 2 2 ( , ) x y f x y e− − = 2 R 2 R A = A，但 f( ) A = {x x| > 0}，f( ) A = {x x| ≥ 0}， f (A)是 f (A)的真子集。 8．设 f 是有界开区域 2 D ⊂ R 上的一致连续函数。证明： （1）可以将 f 连续延拓到D的边界上，即存在定义在D上的连续 函数 f ，使得 ~ f = f D ~ ； （2） f 在D上有界。 证 （1）由于 f 在 2 D ⊂ R 上的一致连续，∀ε > ∃ 0, δ > 0，∀ ∈ x x', " D (| x x '− " |< δ )： | ( f f x x ') − ( ") |< ε 。 设ς ∈ ∂D，任取点列{xn} ( xn ∈D , xn →ς ), 由于{xn}为 Cauchy 点 列，对于上述δ > 0，∃K ，当m n, > K 时，成立| | m n x x − < δ ，于是 | ( ) ( ) | m n f f x − x < ε ， 所以{ f (xn )}是基本数列，故一定收敛。记该极限为 g(ς )。 在| ( ) ( ) | m n f f x − x < ε 中令m → ∞，得到 | ( ) ( ) | n f g x − ς ≤ ε 。 对于∀ ∈x x D, | −ζ |< δ / 2，存在点列{xn}中某项 xk ，满足 | | / 2, | ( ) ( ) | k k x − < ζ δ f g x − ζ ≤ ε 。 于是 | | | | k k | x − ≤ x | x −ζ + x −ζ < δ ， | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | k k f g x x − ζ ≤ − f f x + f x − g ζ < 2ε ， 所以 lim ( ) ( ) x x D f g →ζ ∈ x = ζ ， 由此可知{ f (xn )}的极限 g(ζ ) 只与ς ∈∂D有关，而与点列{xn}的选取无 94