关。令 f(x), f∫( g(x),x∈D。 显然,在D上连续。现只要证明f在∂D上连续。设s∈∞D,由 lim f(x)=g(s)=f(s) 可知vE>0.,36>0,x∈D(x-skd): f(x)-f(5)k 对于vs∈D(l5-5kδ),在上式中令x→5',由 lim f(x)=f(s) 可知 (5)-f(s)≤<E, 于是得到 lim f(x=f(s) 这就证明了∫在D上连续。换言之,f是定义在D上的连续函数,满 足f (2)由于D为有界闭集,即紧集,f在D连续保证了f在D有界 从而∫在D上有界关。令 ( ), , ( ) ( ), f f g ⎧ ∈ = ⎨ ⎩ ∈∂ D D  。 x x x x x 显然， f 在 上连续。现只要证明 在 ~ D f ~ ∂D上连续。设ς ∈∂D，由 i lim ( ) ( ) ( ) x x D f g f →ζ ∈ x = = ς ς ， 可知∀ > ε 0,∃δ > 0，∀ ∈x D ( | x −ς |< δ ) ： i | ( ) ( ) | 2 f f ε x − ς < 。 对于∀ ∈ ς' ∂D ( | ς '− < ς | δ )，在上式中令 x → ς '，由 i ' lim ( ) ( ') x x D f f →ζ ∈ x = ς ， 可知 i i ( ') ( ) 2 f f ε ς ς − ≤ < ε ， 于是得到 i i lim ( ) ( ) x x D f f →ζ ∈ x = ς ， 这就证明了 f 在~ D上连续。换言之， f 是定义在 ~ D上的连续函数，满 足 f = f D ~ 。 （2）由于 D为有界闭集，即紧集， f ~在 D连续保证了 f ~在 D有界， 从而 f 在D上有界。 95