fure notes valets, Chapter 6, by D Q. Dai. 2003 的因子,类似地,m0(4)应含有(cos2)~的因子。所以有 引理:设m(ω)是实系数三角多项式,满足条件(1),则存在实系数多项式P(),使 得P(-1)≠0和 mo(w)=(co-e w\NPo(cos w 而在(2)成立时,有 m(a)=c-1()2N+1(cosa) 关于m0(u)亦有类似的结果 下面只讨论条件(1)成立时的情形,这时 mo(w)=(cos2)Po(cos w), mo(w)=(cos2)Po(cos w) 由等式得 (cos2 o)+Po(cos w)Po(cos w)+(sin2)+ Po(cos w)Po(-cosw)=1 n2号,和 P Po(l-2sin)=P( 则有 (1-y"+ P(y) (1-y) 解此方程得 Po(cos w)Po(cos w)=2 Cn+i-1(sin20)+(sin2o)r(sin2o) 其中r(u)=R(l-u),R(u)是奇次多项式。 个特例是: P(u)≡1,和取r(u)≡0, mo(a)=(cos2当)(样条函数) 即 这时Lecture Notes on Wavelets, Chapter 6, by D.Q. Dai, 2003 3 的因子，类似地，mf0(ω)应含有(cos2 ω 2 ) Ne的因子。所以有 引理：设m0(ω)是实系数三角多项式，满足条件(1)，则存在实系数多项式P(t)，使 得P(−1) 6= 0和 m0(ω) = (cos2 ω 2 ) N P0(cos ω). 而在(2)成立时，有 m0(ω) = e −i ω 2 (cos ω 2 ) 2N+1P0(cos ω). 关于mf0(ω)亦有类似的结果。 下面只讨论条件(1)成立时的情形，这时 m0(ω) = (cos2 ω 2 ) N P0(cos ω), mf0(ω) = (cos2 ω 2 ) Ne Pf0(cos ω) 由等式得 (cos2 ω 2 ) N+Ne P0(cos ω)Pf0(cos ω) + (sin2 ω 2 ) N+Ne P0(− cos ω)Pf0(− cos ω) = 1. 记y = sin2 ω 2，和 P0(cos ω)Pf0(cos ω) = P0(1 − 2 sin2 ω 2 )Pf0(1 − 2 sin2 ω 2 ) = P(sin2 ω 2 ) 则有 (1 − y) N+Ne P(y) + y N+Ne P(1 − y) = 1. 解此方程得 P0(cos ω)Pf0(cos ω) = N+ X Ne−1 j=1 C j n+j−1 (sin2 ω 2 ) j + (sin2 ω 2 ) k r(sin2 ω 2 ). 其中r(u) = R( 1 2 − u)，R(u)是奇次多项式。 一个特例是： P0(u) ≡ 1, 和取 r(u) ≡ 0, 即m0(ω) = (cos2 ω 2 ) N （样条函数） 这时 mf0(ω) = (cos2 ω 2 ) Ne N+ X Ne−1 j=1 C j n+j−1 (sin2 ω 2 ) j