例题 例1求微分方程x"(t)-3x'(t)+2x(t)=e3t满足x(0)=x'(0)=0的 解. 解设L[x(t)]=X(s),由导数性质，得[x'(t)]=sX(s)-x(O)=sX(s), L[x"(t)]=sL[x'(t)]-x'(O)=s2X(s).方程两边做Laplace变换，得 (s2-3s+2)X0时=_1 S-3 从而Xs)=s-6-2s-·对X()做Laplace逆变换得到 1 0-0-e+ 经检验该解适合原方程， 例题 例1 求微分方程 𝑥 ′′ 𝑡 − 3𝑥′ 𝑡 + 2𝑥 𝑡 = 𝑒 3𝑡 满足 𝑥 0 = 𝑥 ′ 0 = 0 的 解． 解 设 L 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠)，由导数性质，得 L 𝑥′(𝑡) = 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0 = 𝑠𝑋(𝑠)， L 𝑥′′(𝑡) = 𝑠L 𝑥′(𝑡) − 𝑥′ 0 = 𝑠 2𝑋(𝑠)．方程两边做 Laplace 变换，得 𝑠 2 − 3𝑠 + 2 𝑋 𝑠 = 1 𝑠 − 3 ， 从而 𝑋 𝑠 = 1 (𝑠−1)(𝑠−2)(𝑠−3)．对 𝑋 𝑠 做 Laplace 逆变换得到 𝑥 𝑡 = 1 2 𝑒 𝑡 − 𝑒 2𝑡 + 1 2 𝑒 3𝑡． 经检验该解适合原方程．