第七讲矩阵级数与矩阵函数 矩阵序列 .定义:设有矩阵序列(A0,其中A0=(a),且当k→x时a→a,则称{40) 收敛,并把A=(a)叫做(0的极限,或称(A}收敛于A记为 imA=A或A→A 不收敛的序列则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况 2.收敛矩阵序列的性质 设A、B0分别收敛于A、B,则 (1)aA+BB→aA+BB (2)AB→AB (3)(A)1→A,若(A)-1,A_存在 (4)PAQ→PAQ ka→∝ 3收敛矩阵:设A为方阵,且当k→∝时A→0,则称A为收敛矩阵 [定理]方阵A为收敛矩阵的充要条件是A的所有特征值的模值均小于1 证明:对任何方阵A,均存在可逆矩阵P,使得 A=PJP 其中J为A的 Jordan标准形 0 J= Ak=PJP-1=P第七讲 矩阵级数与矩阵函数 一、 矩阵序列 1. 定义: 设有矩阵序列   (k) A , 其中 (k) (k) A = (a ) ij , 且当 k→ 时 (k) a →ij ij a , 则称   (k) A 收敛, 并把 A = (a )ij 叫做   (k) A 的极限, 或称   (k) A 收敛于 A. 记为  (k) k→ lim A = A 或  (k) k→ A → A 不收敛的序列则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况. 2. 收敛矩阵序列的性质: 设 (K) A 、 (K) B 分别收敛于 A、B, 则 (1)  (k) (k) k→ αA +βB →αA +βB (2)  (k) (k) k→ A B → AB (3)  (k) -1 -1 k→ (A ) → A ，若 (k) -1 (A ) ， -1 A 存在 (4)  (k) k→ PA Q → PAQ 3 收敛矩阵: 设 A 为方阵,且当 k→ 时 k A →0 , 则称 A 为收敛矩阵. [定理] 方阵 A 为收敛矩阵的充要条件是 A 的所有特征值的模值均小于 1. 证明: 对任何方阵 A,均存在可逆矩阵 P, 使得 -1 A = PJP 其中 J 为 A 的 Jordan 标准形             1 2 s J J J = J ,             i i i i λ 1 0 λ J = 1 0 λ             k 1 k k k -1 -1 2 k s J J A = PJ P = P P J