第二讲区间估计、正态总体均值与方差的区间估计 I.授课题目(章节) §7.4区间估计 §7.5正态总体均值与方差的区间估计 Ⅱ.教学目的与要求 1.理解置信区间的基本概念: 2.掌握正态总体均值和方差的置信区间的求法. Ⅲ.教学重点与难点: 重点:置信区间的基本概念的理解 难点:正态总体均值和方差在给定置信水平条件下的置信区间的求法 V.讲授内容: §7.4区间估计 对于一个未知量,人们在测量或计算时,常不以得到近似值为满足,还需估计误 即要求知道近似值的精确程度(亦即所求真值所在的范围).类似地,对于未知参数θ, 除了求出它的点估计外,我们还希望估计出一个范围,并希望知道这个范围包含参 数O真值的可信程度,这样的范围通常以区间的形式给出,同时还给出此区间包含参 数日真值的可信程度.这种形式的估计称为区间估计,这样的区间即所谓置信区间。 置信区间设总体X的分布函数F(x,)含有 个未知参数0,0∈⊙(⊙是0 能取值的范围),对于给定值a(0<α<I),若由来自X的样本X,X2,.,X,确定 的两个统计量0=旦(X,X2,.,Xn)和0=0(X1,X2,X)(0<0),对于任意 0∈⊙满足 P{0(X,X2,.,Xn)<0<0(X,X2,.,Xn)}≥1-a, 则称随机区间(日,0)是0的置信水平为1-α的置信区间,Q和0分别称为置信水 平为1-α的双侧置信区间的置信下限和置信上限,1-α称为置信水平. 例1.设总体设X~N(4,o2),σ2为已知,4为未知,设X,X2,.,Xn是来 自X的样本,求4的置信水平为1-α的置信区间. 解 X是的无偏估计,且有 二N.买二兰所服从的分布 GI Gln N(0,1)不依赖于任何未知参数,按标准正态分布的上α分位点的定义,有 Pl-ul 2a12=1-a, 即 t万al-a. 这样,我们得到了“的一个置信水平为1-α的置信区间 第二讲区间估计、正态总体均值与方差的区间估计 Ⅰ.授课题目(章节) §7.4 区间估计 §7.5 正态总体均值与方差的区间估计 Ⅱ.教学目的与要求 1. 理解置信区间的基本概念; 2. 掌握正态总体均值和方差的置信区间的求法. Ⅲ.教学重点与难点: 重点:置信区间的基本概念的理解 难点:正态总体均值和方差在给定置信水平条件下的置信区间的求法 Ⅳ.讲授内容: §7.4 区间估计 对于一个未知量,人们在测量或计算时,常不以得到近似值为满足,还需估计误 差, 即要求知道近似值的精确程度(亦即所求真值所在的范围).类似地,对于未知参数 , 除了求出它的点估计 ˆ 外,我们还希望估计出一个范围,并希望知道这个范围包含参 数 真值的可信程度,这样的范围通常以区间的形式给出,同时还给出此区间包含参 数 真值的可信程度.这种形式的估计称为区间估计,这样的区间即所谓置信区间. 置信区间 设总体 X 的分布函数 F(x; ) 含有一个未知参数 ,, ( 是 可 能取值的范围),对于给定值 (0 1) ,若由来自 X 的样本 X1 , X Xn , , 2 确定 的两个统计量 = ( X1 , X Xn , , 2 )和 = ( X1 , X Xn , , 2 )( ),对于任意 满足 P { ( X1 , X Xn , , 2 ) ( X1 , X Xn , , 2 ) } 1− , 则称随机区间( , )是 的置信水平为 1− 的置信区间, 和 分别称为置信水 平为 1− 的双侧置信区间的置信下限和置信上限, 1− 称为置信水平. 例 1.设总体设 X ~ N ( , 2 ), 2 为已知, 为未知,设 X1 , X Xn , , 2 是来 自 X 的样本,求 的置信水平为 1− 的置信区间. 解 X 是 的无偏估计, 且有 n X / − ~ N (0,1). n X / − 所服从的分布 N (0 ,1)不依赖于任何未知参数,按标准正态分布的上 分位点的定义,有 − / 2 / z n X P =1− , 即 − / 2 + / 2 z n z X n P X =1− . 这样,我们得到了 的一个置信水平为 1− 的置信区间