《数学分析(1,2,3)》教案 第十一章函数项级数、幂级数 §1函数项级数的一致收敛 我们知道,可以用收敛数列(或级数)来表示或定义一个数,下面将讨论如何用函数列(或函数项级数) 来表示或定义一个函数 函数项级数的概念 设{un(x)是定义在数集X上的一个函数列,表达式 l1(x)+2(x)+…+ln(x)+ 称为定义在X上的函数项级数,记为∑n(x)。称 S(x)=∑l4(x),x∈E,n=1,2 (2) 为函数顶级数(2)的n次部分和。 若x∈X,数顶级数u1(x0)+a2(x)+…+ln(x)+ (3) 收敛,即部分和Sn(x0) x0)当n→>∞时极限存在,则称级数(1)在点x收敛,x0称为级数(1) 的收敛点,若级数(3)发散,则称级数(1)在点x发散。若级数(1)在X上每个点都收敛,则称级 数(1)在X上收敛,若X为级数(1)全体收敛点的集合,这时则X为级数(1)的收敛域。级数(1) 在X上每一点x与其所对应的数项级数(3)的和S(x)构成一个定义在X上的函数,称为级数(1)的 和函数,并写作 l1(x)+l2(x)+…+ln1(x)+…=S(x) 即mnSn(x)=S(x)。 也就是说,函数项级数(1)的收敛性就是指它的部分和函数列(2)的收敛性。 例:定义在(一∞,+∞)上的函数项级数(几何级数) 1+x+x2+…+xn+ (4) 的部分和函数为S=x,故当<1时, S(x)=lm S,(x) 所以几何级数(4)在(-1,1)内收敛于和函数S(x)= -x:当x≥1时,几何级数是发散的 11-1《数学分析（1，2，3）》教案 11-1 第十一章 函数项级数、幂级数 §1 函数项级数的一致收敛 我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，下面将讨论如何用函数列（或函数项级数） 来表示或定义一个函数。 一 函数项级数的概念 设 u x n ( ) 是定义在数集 X 上的一个函数列，表达式 1 2 ( ) ( ) ( ) n u x u x u x + + + + ， （1） 称为定义在 X 上的函数项级数，记为 1 ( ) n n u x  =  。称 = = n k n k S x u x 1 ( ) ( )， xE ， n = 1,2,  （2） 为函数顶级数（2）的 n 次部分和。 若 0 x X  ，数顶级数 u1 (x0 ) + u2 (x0 ) ++ un (x0 ) + （3） 收敛，即部分和 = = n k n k S x u x 1 0 0 ( ) ( ) 当 n → 时极限存在，则称级数（1）在点 0 x 收敛， 0 x 称为级数（1） 的收敛点，若级数（3）发散，则称级数（1）在点 0 x 发散。若级数（1）在 X 上每个点都收敛，则称级 数（1）在 X 上收敛，若 X 为级数（1）全体收敛点的集合，这时则 X 为级数（1）的收敛域。级数（1） 在 X 上每一点 x 与其所对应的数项级数（3）的和 S(x) 构成一个定义在 X 上的函数，称为级数（1）的 和函数，并写作 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x S x + ++ n += ， 即 lim S (x) S(x) n n = → 。 也就是说，函数项级数（1）的收敛性就是指它的部分和函数列（2）的收敛性。 例：定义在 (−,+) 上的函数项级数（几何级数） 1+ x + x 2 ++ x n + （4） 的部分和函数为 x x S x n n − − = 1 1 ( ) 。故当 x 1 时， x S x S x n n − = = → 1 1 ( ) lim ( ) 。 所以几何级数（4）在 (−1,1) 内收敛于和函数 x S x − = 1 1 ( ) ；当 x 1 时，几何级数是发散的