《数学分析(1,2,3)》教案 二一致收敛的定义 定义1(函数项级数一致收敛性定义)设有函数列{S(x)(函数项级数∑un(x)。若对任给的正数E, 总存在某一正整数N=N(E),使得当n>N时,对一切的x∈X,都有 S, (x)S(x)<E (对函数项级数此式可写:()=2(x)<),则称(S()(应()在x上一致收敛于() 定义2设|Sn-S=sp(x)-S(x),如果im|s-Sl=0,就称S(x)在X上一致收敛于S(x) 例:讨论Sn(x)= 1+n2x 在X=(-,+∞)上的一致收敛性 例:讨论Sn(x) 1+n2x2 在X=[1上的一致收敛性。 定义3设{Sn(x)}是函数列。当{S(x)}在(ab)内任一闭区间上一致收敛时,则称{S(x)在(anb)内闭 一致收敛。 例:S(x)=2n2xem2在(0,1)非一致收敛,但内闭一致收敛 定理1(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{S(x)在数集X上一致收敛的充要条件是:对任给的正数 E,总存在正数N,使得当n,m>N时,对一切x∈X,都有 S(x)-S(x)<6 定理2(函数项级数一致收敛的柯西准则)函数项级数∑un(x)在X上一致收敛台对于VE>0,丑N, 使得当n>N时,对一切x∈X和一切正整数p,都有 un(x)+un+2(x)+…+lnn(x)<E。 特别地,当p=1时,得到函数项级数收敛的必要条件: 推论函数项级数∑,(x)在X上一致收敛的必要条件是函数列{,(x)在x上一致收敛于0 致收敛级数的性质 定理3(连续性)若在[ab]上,函数列{S(x)}一致收敛于S(x),且对n,f(x)在[a,b]上连续,则S(x) 在[a,b上也连续。 11-2《数学分析（1，2，3）》教案 11-2 二 一致收敛的定义 定义 1（函数项级数一致收敛性定义） 设有函数列 S x n ( ) （函数项级数 1 ( ) n n u x  =  ）。若对任给的正数  ， 总存在某一正整数 N N= ( ) ，使得当 n  N 时，对一切的 x X  ，都有 ( ) ( ) n S x S x −   （对函数项级数，此式可写为 ( ) ( ) 1 n k k n r x u x   = + =   ），则称 S x n ( ) （ 1 ( ) n n u x  =  ）在 X 上一致收敛于 S x( ) 。 定义 2 设 n n sup ( ) ( ) x X S S S x S x  − = − ，如果 lim 0 n n S S → − = ，就称 S x n ( ) 在 X 上一致收敛于 S x( ) 。 例：讨论 ( ) 2 2 1 n x S x n x = + 在 X = − +  ( , ) 上的一致收敛性。 例：讨论 ( ) 2 2 1 n nx S x n x = + 在 X =0,1 上的一致收敛性。 定义 3 设 S x n ( ) 是函数列。当 S x n ( ) 在 (a b, ) 内任一闭区间上一致收敛时，则称 S x n ( ) 在 (a b, ) 内闭 一致收敛。 例： ( ) 2 2 2 2 n x n S x n xe− = 在 (0,1) 非一致收敛，但内闭一致收敛。 定理 1（函数列一致收敛的柯西准则） 函数列 S x n ( ) 在数集 X 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数  ，总存在正数 N ，使得当 n m N ,  时，对一切 x X  ，都有 ( ) ( ) n S x S x −   。 定理 2（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 X 上一致收敛  对于   0，N ， 使得当 n  N 时，对一切 x X  和一切正整数 p ，都有 + + +   + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x n n  n p 。 特别地，当 p = 1 时，得到函数项级数收敛的必要条件： 推论 函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 X 上一致收敛的必要条件是函数列 un (x) 在 X 上一致收敛 于 0。 三 一致收敛级数的性质 定理 3（连续性）若在 a b,  上，函数列 S x n ( ) 一致收敛于 S x( ) ，且对 n ，f (x) n 在 a b,  上连续，则 S x( ) 在 a b,  上也连续