《数学分析(1,2,3)》教案 注:若各项为连续函数的函数列{S(x)}在区间X上其极限函数不连续,则此函数列{S(x)}在区间x上不 一致收敛。 例:{x}在(1上 注:该定理指出:在一致收敛的条件下,两个极限运算可以交换顺序。 定理4(可积性)若函数列{S(x)}在[ab]上一致收敛,且每一项都连续,则 ∫!ims(x=lm∫S(x 注:该定理指出:在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换顺序 注:一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件。 例:设函数 2na..0≤X< f,(x)=2a,-2na,x,,srrI n=1.2 0.-≤x<1 定理5(可微性)设{S(x)为定义在b]上的函数列,若{S(x)}收敛于S(x),{S(x)的每一项在[ab 上有连续的导数,且{Sn(x)在[ab]上一致收敛,则 (lim S,(x))=lim-S(x) 注:在该定理的条件下可以证明{/n(x)}在区间ab]上一致收敛: 注:该定理指出:在一致收敛的条件下,求导运算与极限运算可以交换顺序 注:一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件 例:设函数列 In(1+n-x 下面讨论函数项级数的连续性,逐项求积与逐项求导的性质,它们都可由函数列的相应性质推出, 定理6(连续性)若函数项级数∑U(x)在区间[ab]上一致收敛,且每一项n(x)都连续,则其和函数也在 区间[a,b]上连续。 注:在一致收敛的条件下,求和运算与求极限运算可以交换顺序,即 ∑(lmun(x)=lmC∑un(x) 定理7(逐项求积)若函数项级数∑un(x)在区间b]上一致收敛,且每一项un(x)都连续,则 l1-3《数学分析（1，2，3）》教案 11-3 注：若各项为连续函数的函数列 S x n ( ) 在区间 X 上其极限函数不连续，则此函数列 S x n ( ) 在区间 X 上不 一致收敛。 例：   n x 在 (−1,1] 上。 注：该定理指出：在一致收敛的条件下，两个极限运算可以交换顺序。 定理 4（可积性）若函数列 S x n ( ) 在 [a,b] 上一致收敛，且每一项都连续，则 lim ( ) lim ( ) b b n n a a n n S x dx S x dx → → =   。 注：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； 注：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。 例： 设函数 n x x n n n x n n x f x n n n n 1 1 1 0, 2 1 2 2 , 2 1 2 ,0 ( )              −   =    ， n = 1,2, 。 定理 5（可微性）设 S x n ( ) 为定义在 [a,b] 上的函数列，若 S x n ( ) 收敛于 S x( ) ，S x n ( ) 的每一项在 [a,b] 上有连续的导数，且 S x n '( ) 在 [a,b] 上一致收敛，则 (lim ( )) lim ( ) n n n n d d S x S x dx dx → → = 。 注：在该定理的条件下可以证明 f n (x) 在区间 [a,b] 上一致收敛； 注：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序； 注：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。 例：设函数列 ln(1 ) 2 1 ( ) 2 2 n x n f x = + ， n = 1,2, 。 下面讨论函数项级数的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推出。 定理 6（连续性）若函数项级数   =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，且每一项 u (x) n 都连续，则其和函数也在 区间 [a,b] 上连续。 注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即    = →  = → = 1 1 (lim ( )) lim ( ( )) 0 0 n n x x n n x x u x u x 。 定理 7（逐项求积）若函数项级数   =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，且每一项 u (x) n 都连续，则