《数学分析(1,2,3)》教案 Σu,(x)=∑a,(x。 注:即在一致收敛的条件下,求(无限项)和运算与积分运算可以交换顺序 定理8逐项求导)若函数项级数∑n(x)在区间[ab]上每一项n(x)都有连续导函数,函数项级数∑un(x) 在[a]上收敛,且∑u(x)在区间[ab]上一致收敛,则 气)≈d区(x)。 注:即在一致收敛的条件下,求(无限项)和运算与求导运算可以交换顺序。 四函数项级数的一致收敛性判别法 1.用定义; 2.柯西准则 3.定理6; 4.定理9(魏尔斯特拉斯判别法,也称M判别法或优级数判别法) 设函数项级数∑un(x)定义在数集X上,若x∈D,有 n(x)≤an,n=12,… 且∑a收敛,则函数项级数∑v1(x)在X上一致收敛。 注:(1)应用此判别法的关键是:从n(x)出发找到所需的Mn。 (2)由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。 5定理10若在有限区间[a]上连续函数序列{S(x)收敛于连续函数S(x),而对[ab]上每一x, S(x)是单调序列,则Sn(x)在[a]上一致收敛于S(x)。 定理11若在有限区间[b]上连续函数n(x)所组成的级数∑un(x)收敛于连续函数S(x),而对[b] 上每一x,级数的各项同号,则∑,(x)在[ab]上一致收敛于S(x) 阿贝尔判别法 定理12若在X上∑B(x)一致收敛,又对X上每一固定的x,数列a1(x)单调。而对任意的m和X中 每个x,有an(x)≤L,那么∑an(x)B1(x)在X上一致收敛。 11-4《数学分析（1，2，3）》教案 11-4  =   = u x dx n n b a ( ( )) 1   =1 ( ) n b a un x dx 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序。 定理 8（逐项求导）若函数项级数   =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上每一项 u (x) n 都有连续导函数，函数项级数   =1 ( ) n n u x 在 a b,  上收敛，且   =  1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，则    =  = = 1 1 ( ( )) ( ( )) n n n n u x dx d u x dx d 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序。 四 函数项级数的一致收敛性判别法 1．用定义； 2．柯西准则； 3．定理 6； 4．定理 9（魏尔斯特拉斯判别法，也称 M 判别法或优级数判别法） 设函数项级数 1 ( ) n n u x  =  定义在数集 X 上，若 xD ，有 ( ) n n u x a  ， n = 1,2, ， 且 1 n n a  =  收敛，则函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 X 上一致收敛。 注：（1）应用此判别法的关键是：从 u (x) n 出发找到所需的 M n 。 （2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。 5. 定理 10 若在有限区间 a b,  上连续函数序列 S x n ( ) 收敛于连续函数 S x( ) ，而对 a b,  上每一 x ， S x n ( ) 是单调序列，则 S x n ( ) 在 a b,  上一致收敛于 S x( ) 。 定理 11 若在有限区间 a b,  上连续函数 u x n ( ) 所组成的级数 ( ) 1 n n u x  =  收敛于连续函数 S x( ) ，而对 a b,  上每一 x ，级数的各项同号，则 ( ) 1 n n u x  =  在 a b,  上一致收敛于 S x( ) 。 阿贝尔判别法 定理 12 若在 X 上 n ( x) 一致收敛，又对 X 上每一固定的 x ，数列 n ( x) 单调。而对任意的 n 和 X 中 每个 x ，有  n ( x L )  ，那么   n n ( x x ) ( ) 在 X 上一致收敛