《数学分析(1,2,3)》教案 例:若∑an收敛,则∑anx在[Q]上一致收敛。 6.狄立克莱判别法 定理13若在X上∑(x)的部分和一致有界,又对X上每一固定的x,数列an(x)单调,并且在X上一 致收敛于0。那么∑an(x)B(x)在x上一致收敛。 例,:讨论∑mrx在x,2上的一致收敛性 §2幂级数 收敛半径 定义1形如 >a,(x-xo)=a0+a,(x-xo)+a2(x-xo)2+ (1) 的函数项级数称为幂级数。 2特例:当x0=0,即在点零处展开的幂级数为 ∑ax"=a+a1x+a2x2+ 3若在(1)中令x-x=1,则(1)化为(2)的形式,故研究幂级数,一般研究在点零处的展开幂级数 即可。 4幂级数形式上的特点:一般项为an(x-x)”,从而所求的和是多项式(最简单函数),是一种比较简单 的函数项级数,因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间(退化区间—一点)。又在收敛域内可任意 次逐项求导和求积等,这些优点使其成为一类最常用的级数。 规定 ,当0<lim√an<∞时 R={∞,当 ilim v/a,=0时 定理1(柯西阿达玛定理)幂级数∑a(x-x0)在x-x<R内绝对收敛,在x-x>R内发散。 定义2称R为幂级数的收敛半径 l1-5《数学分析（1，2，3）》教案 11-5 例：若 n a 收敛，则 n n  x 在 0,1 上一致收敛。 6．狄立克莱判别法 定理 13 若在 X 上 n ( x) 的部分和一致有界，又对 X 上每一固定的 x ，数列 n ( x) 单调，并且在 X 上一 致收敛于 0。那么   n n ( x x ) ( ) 在 X 上一致收敛。 例：讨论 1 1 sin n nx n  =  在 2 , 3 3         上的一致收敛性。 §2 幂级数 一 收敛半径 1 定义 1 形如 2 0 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n a x x a a x x a x x  =  − = + − + − + （1） 的函数项级数称为幂级数。 2 特例：当 0 x = 0 ，即在点零处展开的幂级数为 2 0 1 2 0 n n n a x a a x a x  =  = + + + （2） 3 若在（1）中令 0 x x t − = ，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，一般研究在点零处的展开幂级数 即可。 4 幂级数形式上的特点：一般项为 0 ( )n n a x x − ，从而所求的和是多项式（最简单函数），是一种比较简单 的函数项级数，因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间（退化区间——点）。又在收敛域内可任意 次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数。 规定 1 0 lim lim lim 0 0 lim n n n n n n n n n n n n a a R a a − − − − → → − − → − − →         =  =    =     ，当 时， ， 当 时， ， 当 时 定理 1 （柯西-阿达玛定理） 幂级数 0 0 ( )n n n a x x  =  − 在 0 x x R −  内绝对收敛，在 0 x x R −  内发散。 定义 2 称 R 为幂级数的收敛半径