2.求[+如mxa 5.将函数f(x)=xh(1+x)展开成x的幂级数,并指出展开式成立的区间 解由 解原式=x-mmxd1 (2分) H(1+x)=x-2+3-…+(-1n+…,xe(- (3分) arctan+[一 (3分) 得f(x)=xh(1+x) =5--arctanx+ (÷ 3-…+p- x∈(-1,1 ---arctanx+hIx1--h1+x)+C (65) 3.设连续函数f(x)=+x+x/(x),求/x) 四、计算题(每小题7分,共21分) 解令=[(x),则 (1分) =(xh=1+x如+pa (2分) 1.已知f(=1(2-x)2,x>1 x51·求Fx)=o 2(1+x)+21=h2+21 解当x51时,F(x)=r2dh=-x3 解得1=h2,所以f(x)=1+x+xh2 (6分) 当x>时,F(x)=x2+(2- 1+0052 dinx (2分) =3e2-xe2-2e+ (6分) =-xtanx 4分) (6分) 3e2-xe2-2e+-,x>1 高数(一)第2页共3页高数（一） 第 2 页 共 3 页 2. 求  + dx x x x 2 3 arctan . 解 原式  = − x xd x 1 arctan 2 2 （2 分） dx x x x x x  + = − + (1 ) 1 arctan 1 2 2 2 （3 分） dx x x x x x x          + = − + − 2 2 1 1 arctan 1 2 （5 分） x x x C x x = − + − ln(1+ ) + 2 1 arctan ln | | 1 2 2 2 （6 分） 3. 设连续函数 x f x dx x x f x ( ) 1 ( ) 1 0 2  + + = , 求 f (x) . 解 令 I f (x)dx 1 0  = ，则 （1 分） = =  I f (x)dx 1 0 dx I xdx x x   + + 1 0 2 1 0 1 （2 分） x I 2 1 ln(1 ) 2 1 1 0 2 = + + I 2 1 ln 2 2 1 = + （4 分） 解得 I = ln 2 ，所以 ln 2 1 ( ) 2 x x x f x + + = . （6 分） 4．计算 dx x x 1 cos2 / 4 0 +   . 解 原式 dx x x 2 / 4 0 2cos  =  x d tan x 2 1 / 4 0  =  （2 分） 4 0 tan 2 1  = x x tan xdx 2 1 / 4 0  −  （4 分） 2 2 ln 2 1 8 ln cos 2 1 8 4 0 = + = +    x （6 分） 5．将函数 f (x) = x ln(1+ x) 展开成 x 的幂级数，并指出展开式成立的区间. 解 由 + = − + −  + − − +  n x x x x x n n 1 2 3 ( 1) 2 3 ln(1 ) ， x  (−1, 1]， （3 分） 得 f (x) = x ln(1+ x) = − + −  + − +  + − n x x x x n n 1 1 3 4 2 ( 1) 2 3 ， x  (−1, 1]. （6 分） 四、计算题（每小题 7 分，共 21 分） 1. 已知    −   = (2 ) , 1 , 1 ( ) 2 x e x x x f x x ， 求 F x f t dt x ( ) ( ) 0  = . 解 当 x 1 时， 2 3 0 3 1 F(x) t dt x x = =  ； （2 分） 当 x 1 时， F x x dx t e dt t x ( ) (2 ) 1 2 1 0 = + −   （4 分） x t t e te 1 (3 ) 3 1 = + − （5 分） 3 1 = 3e − xe − 2e + x x . （6 分）        − − +   = , 1 3 1 3 2 , 1 3 ( ) 3 e x e e x x x F x x x （7 分）