Aekb+Be kb=Cea De-ab k(Aeo-Be)=a(Ce-De e (A+B)=Ce+De (A-B)=a(Ce-De) 这是关于A,B,C,D的线性齐次方程组,要它有非零解,系数行列式必须=0,即 ike ae 0 ike 结果得到: cos Ka= cos kb coshac chasin kbsinhac. (c=a-b) 由于| cos Ka≤1,所以 -1< cos kbcosh ac sin kbsinh ac≤1 2ka 这是关于E的不等式,从中可以解出E的允许值范围。 观察势垒趋近于δ函数的极限情形: b→a(c→0),U0→∞,然而cU0→A(常数 这时的周期性势场被称为“ Dirac梳子”。记 meAt h>0.(均无量纲) 那么方程变成 1≤f(2)≤1, 其中 f(s=cos+=sn 5 我们可以用图解法来解这个不等式,即画出n=f(2)的曲线,它落在-1≤≤1之间的部分就对应着5 的允许值 对于A=4的情形,5的允许值区间是(以丌为单位):(068,1)(1462),(232,3)(324,4)…,而 E=h2/2ma2,所以E的允许值区间是(以zh2/2ma2为单位):(046,1)(213,4,(538,9),(10.50 16)…。这就是能带结构。E的允许区间通常称为允带(其中按照其被电子填充的情况又可以分为满带 和导带),而不允许区间称为禁带。在E的允许区间内,通过 cos Ka=f(ka)=cos ka+:sin ka, 又可以反求相应的K值,从而E又成为K的函数E=f(K),这个函数在固体物理中被称为“色散关 系”。 如果周期性势场延续到整个实轴,则能带内的能量是连续变化的。如果它只延续N个周期,那么 能带内的能量是准连续的,一条能带内的能级总数是N。 可以从“平面波的微扰论近似”和“紧東缚近似”两种不同的角度来说明周期性势场形成能带的物 理机理。 现实的三维固体晶格所形成的周期性势场具有更加丰富的平移和旋转对称性,这些对称性是固体物 理学和晶体学研究的重要内容。但是,电子在其中运动的能量形成能带这样一个基本特征,在大多数情 况下没有实质性的变化 能带在解释固体的电学、力学、光学性质方面(例如区分导体、绝缘体、半导体)起着基本的作用2 i i i i i i e e e e , i ( e e ) ( e e ), e ( ) e e , i e ( ) ( e e ). kb kb b b kb kb b b Ka a a Ka a a A B C D k A B C D A B C D k A B C D           − − − − − −  + = +   − = −   + = +   − = − 这是关于 A, B,C, D 的线性齐次方程组，要它有非零解，系数行列式必须 = 0 ，即 0 i e i e e e e e e e i e i e e e e e e e i i i i i i i i = − − − − − − − − − − − − − − Ka Ka a a Ka Ka a a kb kb b b kb kb b b k k k k             , 结果得到： 2 2 cos cos cosh sin sinh . ( ) 2 k Ka kb c kb c c a b k     − = − = − 由于 cosKa 1 ，所以 sin sinh 1. 2 1 cos cosh 2 2  − −  − k b c k k k b c     这是关于 E 的不等式，从中可以解出 E 的允许值范围。 观察势垒趋近于  函数的极限情形： b →a (c → 0), , U0 →  然而 cU0 → A (常数), 这时的周期性势场被称为“Dirac 梳子”。记 2 , mAa   2 2 0, mEa   =  ka (均无量纲) 那么方程变成： −1  f ( )  1, 其中 ( ) cos sin .     f = + 我们可以用图解法来解这个不等式，即画出  = f ( ) 的曲线，它落在−1   1 之间的部分就对应着  的允许值。 对于  = 4 的情形，  的允许值区间是(以  为单位)：(0.68, 1), (1.46, 2), (2.32, 3), (3.24, 4), …，而 2 2 2 E ma =  / 2 ，所以 E 的允许值区间是(以 2 2 2  /2ma 为单位)：(0.46, 1), (2.13, 4), (5.38, 9), (10.50, 16),…。这就是能带结构。 E 的允许区间通常称为允带（其中按照其被电子填充的情况又可以分为满带 和导带），而不允许区间称为禁带。在 E 的允许区间内，通过 cos ( ) cos sin k a, k a Ka f k a k a  = = + 又可以反求相应的 K 值，从而 E 又成为 K 的函数 E = f (K) ，这个函数在固体物理中被称为“色散关 系”。 如果周期性势场延续到整个实轴，则能带内的能量是连续变化的。如果它只延续 N 个周期，那么 能带内的能量是准连续的，一条能带内的能级总数是 N 。 可以从“平面波的微扰论近似”和“紧束缚近似”两种不同的角度来说明周期性势场形成能带的物 理机理。 现实的三维固体晶格所形成的周期性势场具有更加丰富的平移和旋转对称性，这些对称性是固体物 理学和晶体学研究的重要内容。但是，电子在其中运动的能量形成能带这样一个基本特征，在大多数情 况下没有实质性的变化。 能带在解释固体的电学、力学、光学性质方面（例如区分导体、绝缘体、半导体）起着基本的作用