*§4.5周期性势场中的能带结构 1. Floquet- Bloch定理 粒子在周期性势场中运动时,它的状态介于東缚态与非束缚态之间,而能谱具有能带式的结构。以 维情况为例,周期性势场指的是 U(x+a=U(x) 其中a是满足此式的最小正数,称为势场的周期,所以粒子的 Hamiltonian 2 在有限的(非无穷小的)平移变换 X→)x+a 下保持不变。这也是一种对称性。虽然它并不导致任何守恒量,但是仍然有非常丰富的物理结果。 这里的问题仍然是求解能量本征方程 E-UC Floquet定理:周期性势场中的波函数y(x)满足条件 y(x+a=e y(x) 其中K是常数,通常选在区间(-/a,+/a)中(称为第一 Brillouin区)。这种函数可以称为准周期 函数。从直观看来,粒子在周期场中出现的几率也是周期性的,所以vx+a)2=v(x)2。 Bloch定理:周期性势场中的波函数可以写为如下形式: v(x)=eΦx(x) 其中Φk(x)是周期函数 )=Φ(x 这种形式的波函数称为 Bloch波。它可以看作是被周期函数Φ(x)调制了的平面波ek,所以K被称 为Boch波数。注意,与平面波的波数不同, Bloch波数没有的绝对意义,而且粒子的能量E和K的关 系也不是E=n2K2/2m。 2.能带的形成 周期性势场的最重要的特征就是它的能谱构成能带,而能带兼有离散谱和连续谱的特征。我们用 个例子来说明。 Kronig- Penney模型。这个模型中的周期性势场是方势阱-势垒。在第一个周期(0<x<a)中, Uo(>0),b< 其它地方的U(x)按周期性条件外推。能量E选择为0<E<U0。记 02mE 2m(Uo-E) h h 那么方程是: ky=0,在阱中 0,在垒中 所以在0<x<a中, -ilx 0<x<b y(x) Ce"+De-. 6<x< a 在其它周期内的解可以借助于 Floquet定理得出,例如在a<x<2a中 (4e(x-a) +Be-k(x-a), a<x<a+b y(x=e y(x-a ).a+b<x<2 然后我们要求W和y在x=b和x=a两点都连续,得到方程组1 *§4.5 周期性势场中的能带结构 1. Floquet-Bloch 定理 粒子在周期性势场中运动时，它的状态介于束缚态与非束缚态之间，而能谱具有能带式的结构。以 一维情况为例，周期性势场指的是： U(x + a) = U(x), 其中 a 是满足此式的最小正数，称为势场的周期，所以粒子的 Hamiltonian 1 2 ˆ ˆ ( ) 2 H p U x m = + 在有限的（非无穷小的）平移变换 x x a → + 下保持不变。这也是一种对称性。虽然它并不导致任何守恒量，但是仍然有非常丰富的物理结果。 这里的问题仍然是求解能量本征方程 ( ) 2 2 ( ) 0. m    + − = E U x Floquet 定理：周期性势场中的波函数  (x) 满足条件 i ( ) e ( ), Ka   x a x + = 其中 K 是常数，通常选在区间 (− / a, + / a) 中（称为第一 Brillouin 区）。这种函数可以称为准周期 函数。从直观看来，粒子在周期场中出现的几率也是周期性的，所以 2 2 (x + a) = (x) 。 Bloch 定理：周期性势场中的波函数可以写为如下形式： i ( ) e ( ), Kx K  x x =  其中 (x) K 是周期函数： (x a) (x). K + = K 这种形式的波函数称为 Bloch 波。它可以看作是被周期函数 (x) K 调制了的平面波 i e Kx ，所以 K 被称 为 Bloch 波数。注意，与平面波的波数不同，Bloch 波数没有的绝对意义，而且粒子的能量 E 和 K 的关 系也不是 2 2 E K m = / 2 。 2. 能带的形成 周期性势场的最重要的特征就是它的能谱构成能带，而能带兼有离散谱和连续谱的特征。我们用一 个例子来说明。 Kronig-Penney 模型。这个模型中的周期性势场是方势阱-势垒。在第一个周期 (0  x  a) 中，         = U b x a x b U x ( 0), 0, 0 ( ) 0 其它地方的 U(x) 按周期性条件外推。能量 E 选择为 0  E  U0 。记 0 2 2 ( ) , , mE m U E k  − = = 那么方程是： 0, 2  + k  = 在阱中 0, 2  −  = 在垒中 所以在 0  x  a 中， i i e e , 0 ( ) e e . kx kx x x A B x b x C D b x a    − −  +   =   +   在其它周期内的解可以借助于 Floquet 定理得出，例如在 a  x  2a 中， i i ( ) i ( ) i i ( ) ( ) e ( e e ), ( ) e ( ) e ( e e ). 2 Ka k x a k x a Ka Ka x a x a A B a x a b x x a C D a b x a     − − − − − −  +   + = − =   + +   然后我们要求  和  在 x = b 和 x = a 两点都连续，得到方程组