∫也不是严格递减的 注由第四章§2范例4中可证,如果f是区间I上的连续函数(其图像是一条连续不 断的曲线),此时本例结论成立,即有 ∫在I上为一一映射→∫在I上严格单调 例4证明:函数f(x),x∈D为严格单调函数的充要条件是,对任何x1,x2,x3∈D x <x <x 有 [f(x1)-f(x2)[(x2)-f(x)>0 (44) 证[必要性]不妨设f(x)是严格递增函数,则x1,x2,x3∈D,x1<x2<x3,有 f(x1)-f(x2)<0,f(x2)-f(x3)<0 于是(44)式成立 [充分性]用反证法若x1,x2,x3∈D,x1<x2<x3,f(x)满足(44)式,但∫不 是严格单调的,则彐a1,a2∈D,a1<a2,f(a1)≤f(a2),又3a3,a4∈D,a3<a4,f(a3)≥f(a4) 通过讨论不难知道:在a1,a2a3,a四点中总可选出三点,记为x1,x2,x3,它们满足 x1<x2<x3,且 f(x1)≤f(x2),f(x2)≥∫(x3)(或∫(x1)≥f(x2),∫(x2)≤f(x3)),于是 [f(x1)-f(x2)][f(x2)-f(x3)]≤0与(4.4)式相矛盾.由此可见∫为严格单调函数 说明在充分性证明中,若直接由(4.4)可得ⅵx1,x2,x3∈D,x1<x2<x3,有 f(x1)>f(x2)>f(x)或f(x1)<f(x2)<f(x),这时仍无法证得∫是严格递增的. 例5证明:若y=f(x)(-<x<+∞)的图形关于两条竖直线x=a和x=b(b>a)都 是对称的,则函数f(x)必为周期函数 证因为函数y=f(x)的图形关于竖直线x=a对称,于是vx∈R,必有 f(a-x)=f(a+x) (4.5) 同理又有 f(6-x)=f(b+x) 并可随之推得 f(x+2(b-a))=f(b+x+b-2a) b-x-6+2a 由(46) fc ∠a-x +a-x f(a f(x),vx∈Rf 也不是严格递减的. 注 由第四章§2 范例 4 中可证，如果 f 是区间 I 上的连续函数（其图像是一条连续不 断的曲线），此时本例结论成立，即有 f 在 I 上为一一映射  f 在 I 上严格单调. 例 4 证明：函数 f (x) ，xD 为严格单调函数的充要条件是，对任何 1 x ， 2 x ，x3  D ， 1 2 3 x  x  x ，有 f (x1 ) − f (x2 )f (x2 ) − f (x3 ) 0 （4.4） 证 [必要性] 不妨设 f (x) 是严格递增函数，则 1 x ， 2 x ， x3  D ， 1 2 3 x  x  x ，有 f (x1 ) − f (x2 )  0, f (x2 ) − f (x3 )  0， 于是（4.4）式成立. [充分性] 用反证法.若 1 x ， 2 x ，x3  D ， 1 2 3 x  x  x ， f (x) 满足（4.4）式，但 f 不 是严格单调的，则 , , , ( ) ( ) 1 2 1 2 1 a2 a a D a  a f a  f ，又 , , , ( ) ( ) 3 4 3 4 3 a4 a a D a  a f a  f . 通过讨论不难知道：在 1 2 3 4 a , a , a , a 四点中总可选出三点，记为 1 x ， 2 x ， 3 x ，它们满足 1 2 3 x  x  x ，且 ( )1 f x ≤ ( ) 2 f x , ( ) 2 f x ≥ ( ) 3 f x （ 或 ( )1 f x ≥ ( ) 2 f x ， ( ) 2 f x ≤ ( ) 3 f x ）， 于 是 [ ( )1 f x - ( ) 2 f x ][ ( ) 2 f x - ( ) 3 f x ]≤0 与（4.4）式相矛盾.由此可见 f 为严格单调函数. 说明 在充分性证明中，若直接由（4.4）可得 1 x ， 2 x ， x3  D ， 1 2 3 x  x  x ，有 ( )1 f x > ( ) 2 f x > ( ) 3 f x 或 ( )1 f x < ( ) 2 f x < ( ) 3 f x ，这时仍无法证得 f 是严格递增的. 例 5 证明：若 y = f (x)(−  x  +) 的图形关于两条竖直线 x = a 和 x = b （b>a）都 是对称的，则函数 f (x) 必为周期函数. 证 因为函数 y = f (x) 的图形关于竖直线 x = a 对称，于是 xR ，必有 f (a − x) = f (a + x). （4.5） 同理又有 f (b − x) = f (b + x)， （4.6） 并可随之推得 f (x + 2(b − a)) = f (b + x + b − 2a) = f (b − x − b + 2a) 由（4.6） = f (2a − x) = f (a + a − x) = f (a − a + x) 由（4.5） = f (x),xR