例5求狄利克雷函数D(x)与黎曼函数R(x)的复合函数D(R(x))和R(D(x) 解先求D(R(x)因为R(x)的值域包含在D的定义域中,于是D与R可以复合 当x∈(01,x=,Pq为互质正整数,有川P=1 而 当x为0,1或(0,1)中无理数时,R(x)=0,而D(0)=1,因而D(R(x)) ∈ 再讨论R(D(x)因为D(x)的值域仅有{0,1}两点,包含于R(x)的定义域中, 且R(0)=R(1)=0,于是R(D(x))≡0,x∈R §4具有某些特性的函数 例1试验证y=lnx在(0,+∞)上既无上界又无下界 证应用无上界函数,无下界函数的正面陈述,先验证y=nx在(0,+∞)内无上界 VM,3x>eM,使得lx>M 再验证y=nx在(0,+∞)内无下界 VL,3x0(0<x0<e2),使得mx<L 上面应用了y=Inx在定义域中的严格递增性 例2证明函数 f(x)=-cos 在x=0的任何空心邻域中无界 解利用无界函数的正面陈述,设U°(0)为x=0的任何空心邻域M>0,3x02nz 其中n>一,且n充分大使得x。∈U°(O),则 I f(xo)=2nT >M 于是f(x)在x=0的任何空心邻域内无界 例3定义在数集D上的严格单调函数,必存在严格单调的反函数反之若数集D上的 函数∫存在反函数,此时∫是否必定严格单调? 解否,例如D=[0,1上的函数 (x)={,x为有理数 x,x为无理数 不难看出函数∫是D与f(D)之间一对一的映射,于是∫存在反函数 但是∫既不是严格递增函数,又不是严格递减函数这是因为,若取x1,x2∈[O1], x1<x2,x1为有理数,x2为无理数,则∫(x1)=x1,f(x2)=-x2,于是∫(x1)>f(x2),即例 5 求狄利克雷函数 D（x）与黎曼函数 R（x）的复合函数 D（R（x））和 R（D（x））. 解 先求 D（R（x））.因为 R（x）的值域包含在 D 的定义域中，于是 D 与 R 可以复合. 当 p q q p x(0,1), x = , , 为互质正整数，有 q q p R 1 =        ，而 1 1 =        =                 q D q P D R . 当 x 为 0，1 或（0，1）中无理数时，R（x）=0，而 D（0）=1，因而 D（R（x））  1， x[0,1]. 再讨论 R（D（x））.因为 D（x）的值域仅有{0，1}两点，包含于 R（x）的定义域中， 且 R（0）=R（1）=0，于是 R（D（x））  0，x  R. §4 具有某些特性的函数 例 1 试验证 y=Inx 在（0，+∞）上既无上界又无下界. 证 应用无上界函数，无下界函数的正面陈述，先验证 y=Inx 在（0，+∞）内无上界： M M x  e 0 , ，使得 In x0  M . 再验证 y=Inx 在（0，+∞）内无下界： , (0 ) 0 0 L L x  x  e ，使得 In x0  L . 上面应用了 y=Inx 在定义域中的严格递增性. 例 2 证明函数 x x f x 1 cos 1 ( ) = 在 x=0 的任何空心邻域中无界. 解 利用无界函数的正面陈述，设 U(0) 为 x=0 的任何空心邻域. n M x 2 1 0,    0 = ， 其中 2 M n  ，且 n 充分大使得 (0) 0 x U ，则 | f (x0 )|= 2n  M ， 于是 f (x) 在 x=0 的任何空心邻域内无界. 例 3 定义在数集 D 上的严格单调函数，必存在严格单调的反函数.反之若数集 D 上的 函数 f 存在反函数，此时 f 是否必定严格单调？ 解 否，例如 D=[0，1]上的函数    − = , . , , ( ) 为无理数 为有理数 x x x x f x 不难看出函数 f 是 D 与 f (D) 之间一对一的映射，于是 f 存在反函数. 但是 f 既不是严格递增函数，又不是严格递减函数.这是因为，若取 1 x ， 2 x [0,1] ， 1 2 x  x ， 1 x 为有理数， 2 x 为无理数，则 1 1 f (x ) = x ， 2 2 f (x ) = −x ，于是 ( ) ( ) 1 2 f x  f x ，即