fn(x)=f(n(x)=Ⅵ+nx2 1+(n+1)x 例3设函数 ∫1,当|x1 0,当x 0()={2-x,当x2 求 解首先观察到函数u的值域包含在函数的定义域中,因而q与v可以复合 先求集合{x(x)k}=x2-x2ks,解不等式|2-x21≤1可得1≤N≤√3,此时 有q(v(x) 又当x1或√3时,有v(x)1,于是ov(x)=0,这就得到 o(v(x)=rl,1≤刚≤√3, 0,|x|<1或|x|>√3 例4证明恒等式 arcsin xtarcos x 2N≤1 证当ⅹ=0时,等式显然成立 当0<x≤1时,设a= arcsin x,B= arcos x,有 于是 cosa=√-x2,snB=√-x2 sin(a+B)=sin a cos B+cosasin B 因为0<a≤,0≤B<有0<a+B<丌,所以 +B 丌 arcsinx+ arccos=,0<≤1 2 同理可证当-1≤x<0时等式也成立2 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 1 ( ) ( ( )) n x x n x x n x x f x f f x n n + + = + + + + = = . 例 3 设函数      = 0, | | 1 1, | | 1 ( ) x x x 当 当      −  = 2, | | 2. 2 , | | 2, ( ) 2 x x x x 当 当  试求 y= ((x)). 解 首先观察到函数  的值域包含在函数  的定义域中，因而  与  可以复合. 先求集合  || ( )| 1  || 2 | 1 2 x  x  = x − x  ，解不等式 | 2 | 2 − x ≤1 可得 1≤|x|≤ 3 ，此时 有 ((x)) =1. 又当|x|<1 或|x|> 3 时，有 |(x)|1 ，于是 ((x)) =0，这就得到 ((x)) = 1，1≤|x|≤ 3 , 0， |x|<1 或|x|> 3 . 例 4 证明恒等式 arcsin x+arcos x = 2  ,|x|≤1. 证 当 x=0 时，等式显然成立. 当 0<x≤1 时，设α=arcsin x,β=arcos x,有 sinα=x,cosβ=x， 于是 2 2 cos = 1− x ,sin  = 1− x ， sin( + ) = sin cos  + cos sin  = 2 2 x  x + 1− x 1− x =1. 因为 0<  ≤ 2  ,0≤ 2    有 0<  +   ,所以 2   +  = ， 即 2 arcsin arccos  x + x = ，0<x≤1. 同理可证当-1≤x<0 时等式也成立