例题 例求调和函数u(x,y)=x3-3xy2的满足v(0,0)=1的共轭调和函数 v(x,y)以及解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y). 解选取自(0,0)经(x,0)到(x,y)的折线段为积分路径，得 (xy) x》=了-%，dr++1=-4yx,0ix+4x0西+1 (0,0) =302-9炒+1=33y-y+1. 此时f(z)=(x3-3xy2)+i(3x2y-y3+1)=z3+i. 注在f(z)解析的前提下，可以令x=z,y=0进行化简. 例题 例 求调和函数 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 的满足 𝑣 0,0 = 1 的共轭调和函数 𝑣 𝑥, 𝑦 以及解析函数 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)． 解 选取自 0,0 经 𝑥, 0 到 𝑥, 𝑦 的折线段为积分路径，得 𝑣 𝑥, 𝑦 = න 0,0 𝑥,𝑦 −𝑢𝑦d𝑥 + 𝑢𝑥d𝑦 + 1 = න 0 𝑥 −𝑢𝑦(𝑥, 0)d𝑥 + න 0 𝑦 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦)d𝑦 + 1 = න 0 𝑦 3(𝑥 2 − 𝑦 2 )d𝑦 + 1 = 3𝑥 2𝑦 − 𝑦 3 + 1． 此时 𝑓 𝑧 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 + 𝑖 3𝑥 2𝑦 − 𝑦 3 + 1 = 𝑧 3 + 𝑖． 注 在 𝑓 𝑧 解析的前提下，可以令 𝑥 = 𝑧，𝑦 = 0 进行化简．