令T=(1,2,3),则 T-AT=TAT=B 000 A(a1,a2,a3)=(0,0,3a3) 所以 A=(0,0,3a3)(a1,a2,a3)-1 记P=(a1,a2,a3),则 A=P000P-1 003 所以 00 0 ()°E. 00 1.求正交矩阵T,使TAT为对角阵,其中A为 1-22 A 2-24 2.设φ是n维欧氏空间V上的对称变换,U是φ-不变子空间,则U-也是φ-不变子空间 3.证明n维欧氏空间的两个对称变换,v有公共的由它们的特征向量组成的标准正交基的充要条件 是yv 4.已知λ1=6,A=λ3=3是实对称阵的三个特征值.且对应于A2=A3的特征向量为 a2=(-1,0,1),a3=(1,-2,1),求A的对应于A1的特征向量及A 5.已知 (1,-2,1),a2=(-1,a,1)2依次是三阶不可逆实对称阵A的属于特征值 1,A2=-1的特征向量.求 (2)42010,其中B=(1,1,1)r 6.设y是n维欧氏空间V上的对称变换,y2=,则存在V的一个标准正交基,使得φ在此基下 的矩阵为diag{Er,0} 7.设φ是n维欧氏空间V上的对称变换, idv,则存在V的一个标准正交基,使得φ在此基 下的矩阵为diag{Er,-En-r}j T = (γ1, γ2, γ3), Q T −1AT = T TAT = B =   0 0 0 0 0 0 0 0 3   . (3) D$ A(α1, α2, α3) = (0, 0, 3α3). A A = (0, 0, 3α3)(α1, α2, α3) −1 =   1 1 1 1 1 1 1 1 1   . I P = (α1, α2, α3), Q A = P   0 0 0 0 0 0 0 0 3   P −1 . A (A − 3 2 E) 6 = P   −3 2 0 0 0 −3 2 0 0 0 3 2   6 P −1 = (3 2 ) 6E. vt 1. ~WOXU T ,  T TAT $*PU￾y_ A $ (1) A =   1 −2 0 −2 2 −2 0 −2 3  , (2) A =   1 −2 2 −2 −2 4 2 4 −2  . 2.  ϕ Æ n %w^L V "*ÆC￾ U Æ ϕ− b^L￾Q U ⊥ =Æ ϕ− b^L 3. Xr n %w^L"e3*ÆC ϕ, ψ I67"Hp"V3fd"aWOE"<M Æ ϕψ = ψϕ. 4. Y λ1 = 6, λ2 = λ3 = 3 Æ*ÆU"3V\}*FK λ2 = λ3 "V3f$ α2 = (−1, 0, 1)T , α3 = (1, −2, 1)T , ~ A "*FK λ1 "V3fF A. 5. Y α1 = (1, −2, 1)T , α2 = (−1, a, 1)T ?ÆS℄v*ÆU A "KV\ λ1 = 1, λ2 = −1 "V3f~ (1) A; (2) A2010β, y_ β = (1, 1, 1)T . 6.  ϕ Æ n %w^L V "*ÆC￾ ϕ 2 = ϕ, QP V ">3aWOE￾! ϕ PE, "XU$ diag{Er, 0}. 7.  ϕ Æ n %w^L V "*ÆC￾ ϕ 2 = idV , QP V ">3aWOE￾! ϕ PE ,"XU$ diag{Er, −En−r}. 6