Vol.19 何亚梅等：三维多休摩擦接触问题边界元法及应用 ·11· 界积分方程，将(2)式中的A换为F,B换为E即为F的边界积分方程. 以上各式中，『，T。-物体i的预先假定接触区和假定预接触边界；(i=A,B,D, E,F):·「-物体i的假定滑动接触边界和假定连续接触边界，(i=A,A,D,E,F), 且「：=「p+r+「；1-某点局部坐标的3个方向，(i=l,2,3);umta-物体在i接 触区上的局部坐标方向上位移和面力，(1=1,2,3；i=1,2,3,4);a-各接触区上的接触点 对的原始间隙，(1=1,2,3；i=1,2,3,4)；g-局部坐标1方向的整体坐标j方向夹角的余 弦，即方向余弦1=1,2,3，=1,2,3；0-滑动接触时，另一物体Ⅱ相对于本物体I的滑动方向 角g8=(△站-△u)/(△号-△df滑动摩擦因数. 对每一个接触点Q,都可以建立这样一组方程，对其他非接触的边界节点用(1)建立边 界积分方程，在此基础上建立系统方程 本文采用4~8节点等参元对各物体的边界积分方程离散，得到线性方程组，联立 这些方程，就是所要求解的接触问题的系统方程.求解系统方程即可得到各接触面上的接 触力.设N(i=A,B,D,E,F)为各物体的节点数，则系统方程组的系数矩阵将是一个3NA+N +WP+NE+N阶方阵.在求解规模比较大的问题时，本文采用“凝聚法”来进行计算四. 建立各物体的增广矩阵，并进行有秩的初等变换，将经过初等变换的矩阵中只与接触 区未知量有关的下部子阵分离出来，并联立各个物体的子阵，就得到只包括滑动边界和 连续边界的位移和面力系统方程 [c]{X={b (5) 求解(5)式就可求出各接触区（包括滑动接触边界和连续接触边界）各点的面力和位移 {},利用{严}就可以求出各物体预先假定接触区各节点的未知量，然后用接触判定条 件对接触区和预接触区进行判断，如不能满足收敛条件，则根据此次计算的结果重新假定 接触区及各节点的接触状态，进行前述过程，如此循环迭代，直至满足接触收敛条件.在 本载荷增量步结束迭代后，开始下一增量步的计算，直至增量加载结束， 在求解过程中，先用单元判定法求解，求出接触区域后，再用节点判定法进行判别，若 满足接触收敛条件则结束迭代过程，否则根据此次计算结果修改接触单元及接触节点的 接触状态，重新进行计算（即进行下一次的迭代计算），每一次计算都要经过单元和节点 判断，在同一次迭代计算中，当各接触区的单元和节点同时达到收敛条件时，迭代结束. 2实际应用 采用4~8节点等参元，编制了FORTRAN程序，对图1所示的实际结构进行了分 析计算，各物体的材料各不相同.将摩擦因数取为=0.6进行了计算.这里只将计算所得 接触区上的压力绘制成曲线，如图3所示.从曲线图上看，各接触区的压力呈中间大， 两头小的趋势， 通过整体平衡计算，可以校核结果的精度.这里只对最后一次加载的情况进行校核：x 正向的力为130.20N,反向的力为130.18N;y正方向的力为146.40N,反方向的力为 147.70s正方向的力为158.87N,反方向的力为160.00N.各方向的力符合得很好.而匕 何 亚梅等 三维多休摩擦接触 问题边界元法及应用 界 积 分方 程 ， 将 式 中的 换 为 ， 换 为 即 为 的 边 界 积分 方 程 以 上 各 式 中 ， 二 ， 毛一 物 体 的预 先假 定 接 触 区 和 假 定 预 接 触 边 界 ， ， ， ， 毯 ， 益一 物体 的假定滑动接触边 界 和假定连续接触边界 ， 二 ， ， ， ， ， 且 毛 娜 毯 缸 亡 一 某 点 局 部 坐 标 的 个 方 向 ， ， ， ‘ ， 与厂 物 体 在 接 触 区上 的局部 坐标方 向上位移和 面 力 ， ， ， 二 ，， ， 蜡 ‘ 一 各接 触 区上 的接触点 对的 原 始 间 隙 ， ，， ，，， 吩一 局 部 坐 标 方 向 的整 体 坐 标 方 向夹 角 的 余 弦 ， 即方 向余弦 ，， ， 二 ，， 一 滑 动接 触 时 ，另 一物体 相 对于 本物体 的 滑 动 方 向 角 △ 蕊一 △碳剑 。 装一 △哄水 滑 动摩擦 因数 对每一 个接 触点 。 都可 以建 立这样一组方程 ， 对其他非接触 的边界节点用 建立 边 界 积分方程 ， 在 此基 础上建立 系 统方程 本文采用 一 节点等参元 对各物 体 的边 界 积 分 方 程 离散 ， 得 到 线性 方 程 组 ， 联 立 这些 方程 ， 就是 所要 求解 的接 触 问题 的系 统方程 求解 系 统方程 即可得到各接触面上 的接 触力 设 夕 沁 ， 刀 ，， 为各物体的节点数 ， 则系 统方程组 的系数矩阵将是一个 十 妒 十 矿 勺阶方 阵 在求解规模 比较大的 问题 时 ， 本文采用 “ 凝聚法 ” 来进行计算 建 立各 物体 的增 广 矩 阵 ， 并 进行有秩 的初等 变换 ， 将 经过初等 变换 的矩 阵 中只 与接 触 区未知量 有 关 的下部 子 阵分离 出来 ， 并联立 各个物体 的子 阵 ， 就 得 到 只 包 括 滑 动 边 界 和 连续边界 的位 移和 面力 系 统方 程 同 尸 ‘ 求解 式就 可 求出各接触 区 包括 滑动接触边界 和连续接触 边 界 各 点 的 面 力 和 位 移 尸 利 用 尸 就可 以 求 出各物体预先假定接触 区各 节 点 的 未 知 量 ， 然 后 用 接 触判 定 条 件对接触 区 和预接触 区进行判 断 ， 如不 能满足 收敛条件 ， 则根 据此次计算的结果 重新假定 接触 区及 各节 点 的接触状态 ， 进行前述过程 ， 如此循 环迭代 ， 直至满足接触收敛条件 在 本载荷增量 步结束迭代后 ， 开始下 一增量 步 的计算 ， 直至增量 加载结束 在求解 过程 中 ， 先 用单元判定法求解 ， 求 出接触区域后 ， 再用节点判定法进行判别 ， 若 满足接触 收敛条件则结束迭代过程 ， 否 则 根 据 此 次 计 算 结 果 修 改 接 触 单元 及 接 触 节 点 的 接触状态 ， 重新进行计算 即进行下 一次 的 迭 代 计算 每 一 次 计算都要 经 过 单元 和 节 点 判 断 ， 在 同一次迭代计算 中 ， 当各接触 区 的单元和 节点 同时达到 收敛条件时 ， 迭代结束 实际应用 采用 一 节 点等参元 ， 编制 了 程 序 ， 对 图 所 示 的 实 际 结构进 行 了分 析计算 各物体的材料各不相 同 将摩擦 因数取 为 进行 了计算 这 里只将计算所 得 接触 区上 的压力绘制成 曲线 ， 如 图 所示 从 曲线 图上看 ， 各 接 触 区 的压 力 呈 中 间大 ， 两头小 的趋势 通过整 体平衡计算 ， 可 以 校 核结果 的精度 这 里 只对最后 一 次加载的情况进行校核 正 向的力 为 ， 反 向 的 力 为 正 方 向 的 力 为 ， 反 方 向 的 力 为 正 方 向的力 为 名 ， 反 方 向的力 为 各方 向的 力 符合得 很 好 而