三维多体摩擦接触问题边界元法及应用

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1997.s1.003 第19卷增刊 北京科技大学学报 Vol.19 197年2月 Joumal of University of Science and Technology Beijing eh.1997 三维多体摩擦接触问题边界元法及应用 何亚梅)刘崇德2) 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)重庆大学机被工程一系，重庆630044 摘要从边界积分方程出发，推导了5个物体摩擦接触的边界积分方程，在求解接触问题的迭 代过程中，应用了“凝聚法”，对一个由不同材质组成的接触问题进行了计算分析，取得了良好 的分析结果 关键词边界元法，多体摩擦接触，凝聚法 1三维多体摩擦接触问题的边界积分方程 三维弹性问题边界积分方程为： c(P)u(P)+T,"(P,)uer()=(P,)T(Qr()+"(P,/er()(1) 式中，u(P,Q),T,(P,Q)-基本解；b,2)-体积力密度；c,(P-与边界奇异点处的几何 特性有关的系数， 对图1所示的结构进行分析计算.为得到这一组合结构的应力变形情况，首先求出装 配过程中各接触面上的接触力，再求得组合结构中各物体的应力变形等.将结构抽象为如 图2所示的模型，考虑各接触面间的摩擦，在某一载荷增量下，各物体的边界积分方程为： 图1结构示意图 图2系统模型 c4(+TQaQar2)+I.ea,OQHr0+ .T,(P，心2a,(2)z(Q)dr(Q+TP.Q6a,aea,Qur(Q)+ 19%-03-20收稿 第一作者女27岁博士

第 珍 卷 增刊 学 学 报 臾刀 年 月 北 京 科 技 大 加回目 成 世吧面 健 反妇耽 回 恤山曰 且娜飞 珍 叹 哭刀 三维多体摩擦接触问题边界元法及应用 何亚 梅 ’ 刘崇德 北 京科技 大学机械工 程 学 院 ， 北 京 乃 重 庆大学机械工 程一 系 ， 重 庆 〕 渊闷 摘要 从边界 积分方程 出发 ， 推导了 个物体摩擦接触 的边 界 积 分 方 程 ， 在 求解 接 触 问题 的迭 代过程 中 ， 应 用 了 “ 凝 聚法 ” 对一个 由不 同材质组成 的接触 问题进行 了计算分析 ， 取 得 了 良好 的分析结果 关健词 边界元法 ， 多体摩擦接触 ， 凝 聚法 三维 多体摩擦接触 问题的边界积分方程 三 维弹性 问题边界 积分方 程 为 一 一 · 工 、 · 尸 ， 。 · 、 ” 。 卜 工一 只 。 。 。 卜 上一 ， ， 。 》 ，。 ” 。 ， “ ， 式 中 ， 只 ， ， 一 基本解 气 一 体积力密度 一 与边界 奇异 点 处 的 几 何 特性有 关 的系数 对图 所示 的结构进行分析计算 为得 到这 一组 合结构 的应力 变形情 况 ， 首 先 求 出装 配过程 中各接触 面上 的接触力 ， 再求 得 组 合 结 构 中各 物 体 的 应 力 变 形 等 将 结 构 抽象 为如 图 所示 的模 型 ， 考虑各接触面 间的摩擦 ， 在某 一 载荷增量 下 ， 各 物 体 的边 界 积 分 方程 为 图 结构示意图 图 系统模型 护 · ‘“ ，‘ 一‘片，· 工 、 一 ‘“ ， 。 念，‘ 一‘“ 合，· 。 会，· 工多 ‘片 ， 。 合 一 。 公卜、 。 合” 。 念卜 几 、 。 ， 。 ‘ 一 。 佘，一 。 会 · “ 合，· 工 ‘“ ， 。 念，‘ 一‘。 合，、 “ 合” ·‘“ 会，· 次 一 一 加 收稿 第一作者 女 岁 博士 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1997．s1．003

·10 北京科技大学学报 1997年 T(P哈，26儿u:1-△4：n(2Dlc,(6dr(6)+T(P盼，26儿u,-△un(e84哈Hr)- vP-v)()- [Ua6,Q66)+U,(P6,26)a(26)2+U,(P哈，6x(26△t:n(8dr6)=0(2) 式中，△u,(e6)=△ua(6)x(6);於=fcos0:=fsin0: T。上：△ua(26)=n-△ua(8;「s上：△ua(6)=u1-Au:n(28).Q∈Te Q: +T)Au(+T(P)A()- UP)A()-(P.)A()-+ Ua(P,Q8唱+Ua(P哈，e)z(2]Ate(8)dr(g)=0 3) 式中，△u,()=△ua(2)an(,=fcos0;得=fsin8;8eTr. D: c)+T(A)+T)Au()(()+ -r T.)Aa(O,(QX)T/P)Aw(Q)+ T(PB)uAu:(+T(P uu:+ TAP,QXu82-Au()+T(P,QXu-Au(r()- U(P)A(r()-U(P(r()-U rD-r (Qr()-IU(P+U(P)+U(P)At Jr, (Q5r(Q)-[Um(P8,Q8)an(28)+U(P哈，Q8)xu(8)9+Ua(P,Q)xu(e8)]△× (5ar(8)=0 (4 式中，△u,()=△ua(8)x(g8,P=fcos8:=fsin0. 「a上：△u(08)=u2-△u(8;「a上：△u(8)=u-△uu(25) 「a2上：△ue(8)=u2-△u:3(g8;「s3上：△u(8)=u,-△ua(0) QPErD Ω，2F的边界积分方程可分别参照Ω，及2，将(3)式中的B换为E得到2的边

北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 扬 嵘 ， 。 工 ， 烤 妙 口 ，【 · “ 厂 ‘ 一‘“ ，、 ‘“ 念” “ 合，· 扬 片 ， “ 全，【 · 尽 ，厂 ‘ 一 “ ”，，、 。 担 幻 。 会‘ 。 。 念，‘ “ 合，一 工 汀 ‘片 ， “ 合，△ 省了 “ ”，、 。 合， 。 合， 式 中 ， △ ， 合一 △ ， 佘 ， 合 又令一 又全一 上 会 尽 ，， 一 △ ， 套 。 上 合 〕 。 ，一 ， 岔 · 卜 公 护 二 广 一 厂 嵘 △ ， 嘴 不 ， 鳄 ， 合 ， 合 户 一 譬 「 不 ， 嘴 ， 合△ ， 舍， 合 梦一 热岁 ， 。 ” ‘ 。‘。 ”，·‘。 “，一 介 ‘ ‘“ ， 。 ”，‘ ‘ 。 “，、 。 ”” ‘“ ”，一 丘 ‘， 嘴 ， 含 ‘ 含又梦 君 ， 念渭 鱿 嘴 ， 舍 ， 合 舍 式 中 ， △ 含 △。 含 ， 舍 对一 氏 对一 氏 卜 攀 不 ， 片 ， 犷△ ， 了 犷 一 犷 工 不了玲 ， 产 。 ，，一‘。 犷，、 。 犷” · 。 了，· 十 知 砌△，玲 工乒玲 ， 犷 飞 犷气 ， 了 犷 犷△ 琴 ， 犷 分 犷 〕 一 △ ， 舍 ， 犷冲 犷 犷 兮 一 ， 蜘 ，关 犷滩 犷 玲 ， 犷笼 ， 一 关 岔 ， 分户只 孚 ， 琴 ， 一 △ ，关 奢 ，， 犷冲 犷 跨 ， 牙 犷 。 犷，一 几 跨 ， 。 ，△ 。 ”，一 。 犷， ‘。 ，，一 女岁 ， 。 犷，△、 ‘“ “、 里电卢‘ 已 鳄州残呼 山卜产户月 粗 犷一 跨 ， 犷 ，， 了又 跨 ， 扩 ， 犷又梦 ‘ 片 ， 犷 ， 犷△ ‘ 鱿 。乳认 ，井升仁日几“ 合琳 犷一 鳄 ， 犷 孚又 ‘ 玲 ， 分 ， 孚又梦 ‘ 跨 ， 犷 ， 孚 粗 黔二 式 中 ， △ ， 犷 上 ， 孚与 犷 又 二 犷 一 △ ， 含 对 二 上 △ 犷 一 △ 。 含 二 上 上 △ 犷 △ ‘ 孚 尽 ，一 若 · 〕 ，一 △ 奢 犷 ‘ ， 的 边 界 积 分 方 程 可 分 别 参照 ， 及 ， 将 式 中 的 换 为 得 到 的 边

Vol.19 何亚梅等：三维多休摩擦接触问题边界元法及应用 ·11· 界积分方程，将(2)式中的A换为F,B换为E即为F的边界积分方程. 以上各式中，『，T。-物体i的预先假定接触区和假定预接触边界；(i=A,B,D, E,F):·「-物体i的假定滑动接触边界和假定连续接触边界，(i=A,A,D,E,F), 且「：=「p+r+「；1-某点局部坐标的3个方向，(i=l,2,3);umta-物体在i接 触区上的局部坐标方向上位移和面力，(1=1,2,3；i=1,2,3,4);a-各接触区上的接触点 对的原始间隙，(1=1,2,3；i=1,2,3,4)；g-局部坐标1方向的整体坐标j方向夹角的余 弦，即方向余弦1=1,2,3，=1,2,3；0-滑动接触时，另一物体Ⅱ相对于本物体I的滑动方向 角g8=(△站-△u)/(△号-△df滑动摩擦因数. 对每一个接触点Q,都可以建立这样一组方程，对其他非接触的边界节点用(1)建立边 界积分方程，在此基础上建立系统方程 本文采用4~8节点等参元对各物体的边界积分方程离散，得到线性方程组，联立 这些方程，就是所要求解的接触问题的系统方程.求解系统方程即可得到各接触面上的接 触力.设N(i=A,B,D,E,F)为各物体的节点数，则系统方程组的系数矩阵将是一个3NA+N +WP+NE+N阶方阵.在求解规模比较大的问题时，本文采用“凝聚法”来进行计算四. 建立各物体的增广矩阵，并进行有秩的初等变换，将经过初等变换的矩阵中只与接触 区未知量有关的下部子阵分离出来，并联立各个物体的子阵，就得到只包括滑动边界和 连续边界的位移和面力系统方程 [c]{X={b (5) 求解(5)式就可求出各接触区（包括滑动接触边界和连续接触边界）各点的面力和位移 {},利用{严}就可以求出各物体预先假定接触区各节点的未知量，然后用接触判定条 件对接触区和预接触区进行判断，如不能满足收敛条件，则根据此次计算的结果重新假定 接触区及各节点的接触状态，进行前述过程，如此循环迭代，直至满足接触收敛条件.在 本载荷增量步结束迭代后，开始下一增量步的计算，直至增量加载结束， 在求解过程中，先用单元判定法求解，求出接触区域后，再用节点判定法进行判别，若 满足接触收敛条件则结束迭代过程，否则根据此次计算结果修改接触单元及接触节点的 接触状态，重新进行计算（即进行下一次的迭代计算），每一次计算都要经过单元和节点 判断，在同一次迭代计算中，当各接触区的单元和节点同时达到收敛条件时，迭代结束. 2实际应用 采用4~8节点等参元，编制了FORTRAN程序，对图1所示的实际结构进行了分 析计算，各物体的材料各不相同.将摩擦因数取为=0.6进行了计算.这里只将计算所得 接触区上的压力绘制成曲线，如图3所示.从曲线图上看，各接触区的压力呈中间大， 两头小的趋势， 通过整体平衡计算，可以校核结果的精度.这里只对最后一次加载的情况进行校核：x 正向的力为130.20N,反向的力为130.18N;y正方向的力为146.40N,反方向的力为 147.70s正方向的力为158.87N,反方向的力为160.00N.各方向的力符合得很好.而

匕 何 亚梅等 三维多休摩擦接触 问题边界元法及应用 界 积 分方 程 ， 将 式 中的 换 为 ， 换 为 即 为 的 边 界 积分 方 程 以 上 各 式 中 ， 二 ， 毛一 物 体 的预 先假 定 接 触 区 和 假 定 预 接 触 边 界 ， ， ， ， 毯 ， 益一 物体 的假定滑动接触边 界 和假定连续接触边界 ， 二 ， ， ， ， ， 且 毛 娜 毯 缸 亡 一 某 点 局 部 坐 标 的 个 方 向 ， ， ， ‘ ， 与厂 物 体 在 接 触 区上 的局部 坐标方 向上位移和 面 力 ， ， ， 二 ，， ， 蜡 ‘ 一 各接 触 区上 的接触点 对的 原 始 间 隙 ， ，， ，，， 吩一 局 部 坐 标 方 向 的整 体 坐 标 方 向夹 角 的 余 弦 ， 即方 向余弦 ，， ， 二 ，， 一 滑 动接 触 时 ，另 一物体 相 对于 本物体 的 滑 动 方 向 角 △ 蕊一 △碳剑 。 装一 △哄水 滑 动摩擦 因数 对每一 个接 触点 。 都可 以建 立这样一组方程 ， 对其他非接触 的边界节点用 建立 边 界 积分方程 ， 在 此基 础上建立 系 统方程 本文采用 一 节点等参元 对各物 体 的边 界 积 分 方 程 离散 ， 得 到 线性 方 程 组 ， 联 立 这些 方程 ， 就是 所要 求解 的接 触 问题 的系 统方程 求解 系 统方程 即可得到各接触面上 的接 触力 设 夕 沁 ， 刀 ，， 为各物体的节点数 ， 则系 统方程组 的系数矩阵将是一个 十 妒 十 矿 勺阶方 阵 在求解规模 比较大的 问题 时 ， 本文采用 “ 凝聚法 ” 来进行计算 建 立各 物体 的增 广 矩 阵 ， 并 进行有秩 的初等 变换 ， 将 经过初等 变换 的矩 阵 中只 与接 触 区未知量 有 关 的下部 子 阵分离 出来 ， 并联立 各个物体 的子 阵 ， 就 得 到 只 包 括 滑 动 边 界 和 连续边界 的位 移和 面力 系 统方 程 同 尸 ‘ 求解 式就 可 求出各接触 区 包括 滑动接触边界 和连续接触 边 界 各 点 的 面 力 和 位 移 尸 利 用 尸 就可 以 求 出各物体预先假定接触 区各 节 点 的 未 知 量 ， 然 后 用 接 触判 定 条 件对接触 区 和预接触 区进行判 断 ， 如不 能满足 收敛条件 ， 则根 据此次计算的结果 重新假定 接触 区及 各节 点 的接触状态 ， 进行前述过程 ， 如此循 环迭代 ， 直至满足接触收敛条件 在 本载荷增量 步结束迭代后 ， 开始下 一增量 步 的计算 ， 直至增量 加载结束 在求解 过程 中 ， 先 用单元判定法求解 ， 求 出接触区域后 ， 再用节点判定法进行判别 ， 若 满足接触 收敛条件则结束迭代过程 ， 否 则 根 据 此 次 计 算 结 果 修 改 接 触 单元 及 接 触 节 点 的 接触状态 ， 重新进行计算 即进行下 一次 的 迭 代 计算 每 一 次 计算都要 经 过 单元 和 节 点 判 断 ， 在 同一次迭代计算 中 ， 当各接触 区 的单元和 节点 同时达到 收敛条件时 ， 迭代结束 实际应用 采用 一 节 点等参元 ， 编制 了 程 序 ， 对 图 所 示 的 实 际 结构进 行 了分 析计算 各物体的材料各不相 同 将摩擦 因数取 为 进行 了计算 这 里只将计算所 得 接触 区上 的压力绘制成 曲线 ， 如 图 所示 从 曲线 图上看 ， 各 接 触 区 的压 力 呈 中 间大 ， 两头小 的趋势 通过整 体平衡计算 ， 可 以 校 核结果 的精度 这 里 只对最后 一 次加载的情况进行校核 正 向的力 为 ， 反 向 的 力 为 正 方 向 的 力 为 ， 反 方 向 的 力 为 正 方 向的力 为 名 ， 反 方 向的力 为 各方 向的 力 符合得 很 好 而

·12· 北京科技大学学报 1997年 3.00ra) .300r(b) 2.00 2.00 1.00 1.00 0.00 000 0.00 4.00 8.0012.0016.00 0.00 4.008.0012.0m 接触长度mm 接触长度mm -+4.U0rc) 4.00rd) 2.00 2.00 0.00.1 0.0 0.00 5.0010.00150 20.00 0.h 接触长度mm 接钟长业mm 图3接触区压力曲线图(f=0.6) 且，从接触区上的压力曲线图中可以看出，同一物体的上下两面接触压力曲线走向一致， 这和物体平衡相吻合 参考文献 1田中正隆，田中喜久昭.边界元法的基础与应用.北京：煤炭工业出版社.1987 2刘崇德，何亚梅.三维多弹性体多接触面边界元法.重庆大学学报，1995,184)：21~28 3 Andersson T.The Boundary Element Method Applied to Two-dimensional Contact Problems with Fric- tion.In:Brebbia C A ed.Proceeding of the 3rd Intemational seminar,1981. Research on 3-D Multi-body Contact Problem with Friction by BEM and Its Application He Yamei)Liu Congde 1)College of mechanical Engineering.USTB,Beijing 100083.PRC 2)Congqing University ABSTRACT Based on the fundamental boundary integral equation,the boundary integral equa- tion of five-body contact with friction is derived.During the iterative process of solving con- tact problem,the method of condensation is applied.Contact problem composed of differ- ent materials is analysed and the better result is gotten. KEY WORDS BEM,multi-body contact with friction the method of condensation

北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 外﹀ 一并 、 一 ，‘，、 。三 ·之从 ，‘ 八曰 曰 日 之 乙 、 沪 、 孟 一 丫 ’ 一 ’ ‘ 了 刀 接 触 长 度 健〔 河〔 接 触 长度 知 、 、 飞 浑厂一﹄ 办 一 。 一 。 ， ，一 ， 一、 、 卜 二二 二执 一 、 三任 陈 曰 ，‘ 。 队 〔 〔 〔 〔 接 触 长 变 ， ， 〔 〔 〔 ‘ 〕 日 才妾守生 又 仁 ，飞 图 接触区 压 力 曲线 圈 肠 且 ， 从接触 区上 的压力 曲线 图 中可 以看 出 ， 同一 物体的上 下 两 面接 触压力 曲线走 向一致 ， 这和物体平衡相 吻合 参考文献 田 中正 隆 ， 田 中喜久 昭 边界 元法 的基础 与应用 北京 煤炭工 业 出版社 刘崇德 ， 何亚梅 三 维多弹性体多接触面边界元法 重 庆大学学报 ， 卯 ， 一 川北 器 卫祀 灯 肠介翔 山记 认幻 一 璐沁 伪 〕 拓 侧山 由 访 刀时吨 此 必 ， 一 勿 劝 才， “ 肠 ” 列砂 肠 卿 比比拍司 叨 ， 几 ， 酬 〕 叹阳 ， 伪飞 刃卫 ， ℃幻 吨 叹 ， 魄 叹 十旧 由 邸 恤 。 肛以 初 迁 卵 心 吸 ， 板〕 ， 山 此 ‘