熔体形核与二维稳态温度起伏数学模型

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2004.03.020 第26卷第3期 北京科技大学学报 Vol.26 No.3 2004年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2004 熔体形核与二维稳态温度起伏数学模型 陈明文》赵文彬”王自东)孙仁济) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学材料科学与工程学院，北京100083 摘要用数学方法证明了二维稳态温度起伏数学模型的Fourier级数形式解是收敛的，该 温度起伏的数学模型的解是惟一的而且是稳定的.这个棋型的温度解呈现出指数振荡衰减， 验证了熔液对流促使温度产生大的起伏，导致大量晶核形成这一熔体形核机制的正确性， 关键词金属凝固；晶体生长；偏微分方程 分类号TG111.4;0781;0175.2 凝固过程中，熔体内存在的温度起伏和成分 当晶体生长达到稳定状态时，其形态存在着 起伏是产生形核的根源.Wang等m在电化学沉积 协调一致的周期性，胞晶、枝晶间距趋于一致，相 实验中，发现在扰动电流的作用下枝晶尖端附近 应的定解问题(1)应当存在关于x的连续周期解 的浓度场是振荡的.王自东等四通过做氯化铵溶 Tx,z),可展开成为关于x的Fourier级数： 液析出晶体实验，发现在稳定流场中只要施加横 nr,2)=coe (cucosbz+esimb.z)e"cos 向对流速度，就会促进温度起伏区域的扩大，导 2 致晶核的大量形成.孟凡梓等从温度起伏数学 (d.0sbztd.sinb.)evsin (2) 模型中得到了一个Fourier级数形式解，这个形式 其中， 解表明在稳定流场和一定的晶体生长条件下，只 a,=业-2 2a2 要有横向的熔液对流速度，熔液温度解呈现指数 √/俨H俨a (3) 型振荡衰减的特性，本文研究了二维稳态温度起 伏数学模型的解的性质以从本质上认识熔体形 b-俨H品俨-a 核的这一物理现象， (4) 1二维稳态温度起伏的数学模型 c=∫/xr (5) cm=-d=∫feos"匹d=l,2,…） (6) 对于二维稳定态晶体生长问题，在稳定流场 的作用下，假设z方向熔液对流速度”，在x方向 ce=dn=-J/()sin"mdcr-l,2…） (7 熔液对流速度y,则温度起伏的控制方程和边界 由式(2)看出，级数中各项均含有指数因子 条件为： e“(a<0).当v0时，有b0,说明熔液温度变化 沿着z方向是衰减的：而当y,≠0时，必定有b.≠0， 这说明熔液温度变化沿着z方向是振荡衰减的， T(x-1,z)=n(x+L,z) (1) 它使得熔体内出现较大范围的温度起伏.王自东 I(x,0)=f(x) 等人利用氯化铵晶体溶于水中，加热到过饱和温 limx,z)=0对任何-Isxsl一致成立 度10℃以上，进行对比实验.如果不施加横向对 其中热传导系数a(W/(mK),,.(m/s)均为常数， 流速度，熔体内没有大的温度起伏而且没有晶 <0,以及fx)为周期2l的连续周期函数，而且在 体出现：如果施加横向对流速度：，对流的作用 一l≤x≤l上有分段的连续导数. 使原子集团周围区域的温度起伏波动范围增大， 收稿日期200307-31陈明文男，43岁，副教授 熔体中存在低于过饱和点的区域，使局部区域存 *国家重大基础研究项日(G20000672061) 在过冷度，从而使形核的几率增大，导致形核数

3 第 卷 第 期 2 6 4 0 0 年 月 2 6 北 京 科 技 大 学 学 报 O J n a r u l o n v U f i e s r i y t o S f e e l n n a e e d e T o n e h l o y g B e j i i n g b V l . 2 N 6 0 . 3 J n u . , 2 0 0 4 熔体形核与二维稳态温度起伏数学模型 陈 明 文 ” 赵文 彬 ” 王 自东” 孙仁 济 ” l )北京科 技大 学应用 科学 学 院 , 北 京 10 0 0 8 3 2 )北京 科技 大学材 料科 学与 工程 学院 , 北京 10 0 0 83 摘 要 用 数 学方法 证 明 了二维 稳态温 度起 伏 数学模 型 的 oF iur er 级数形 式解 是 收敛 的 , 该 温 度起 伏 的数学 模型 的解 是惟 一 的而且 是稳 定的 . 这个模 型 的温度 解呈 现 出指数 振荡 衰减 , 验 证 了熔 液 对流 促使温 度 产生 大 的起伏 , 导致 大 量 晶核 形成 这一 熔体 形核 机制 的正 确性 . 关键 词 金属 凝 固; 晶体生 长 ; 偏 微 分方程 分类号 T G 1 11 . 4 : 0 7 8 1 ; 0 17 5 . 2 凝 固过 程 中 , 熔体 内存 在 的温 度起 伏 和成 分 起 伏 是产 生 形核 的 根源 . V而nL g 等「l] 在 电化 学沉 积 实验 中 , 发现在 扰 动 电流 的作用 下枝 晶尖 端 附近 的浓 度场 是振 荡 的 . 王 自东等 `21 通 过做 氯 化按 溶 液 析 出 晶体 实验 , 发现在 稳 定流 场 中只要 施加 横 向对 流速 度 , 就会 促进 温 度起 伏 区 域 的扩 大 , 导 致 晶核 的大量 形 成 . 孟 凡梓 等 〔3 ,从温度 起 伏数 学 模 型 中得 到 了一个 F o u了 l er 级 数 形式 解 , 这 个形 式 解 表 明在稳 定流 场和 一定 的 晶体生长 条件 下 , 只 要 有横 向的熔 液 对流 速度 , 熔 液温 度解 呈 现指 数 型 振荡 衰减 的特 性 . 本文 研究 了二维稳 态 温度 起 伏 数 学模 型 的解 的性 质 以从 本质 上 认 识 熔 体 形 核 的这 一物 理 现象 . 当晶体 生长 达 到稳 定状 态 时 , 其 形态 存 在着 协 调 一致 的周期 性 , 胞 晶 、 枝 晶间距趋 于 一致 , 相 应 的定解 问题 ( l) 应 当 存在 关 于 x 的连 续 周期 解 联无 , )z , 可 展 开成 为 关 于 x 的 F o iur er 级 数 口, : , , ·卜 事薯{ (一 , , 负 。 8 1 · , nZ ) 了 , , ` , · , 、 , , · n 匀联一黔 La , n c o s D 声宁 a , 。 s l n D声) e 一 s l n 下厂 ( 2 ) 其 中 , _ 几 2 a 一乎 · !{别 +圈 ’ 」 ’ + 图 ’ +呼! ’ + !责! ’ ( 3 ) 瓦毕 _ / 爪平雨率) 三不l呼了 一 国 ’ 一 俘丫 ` V 丫 LL 亡 少 L ` 以 j J 火 仅 l 少 火 咨 j 气乙仅 ) 、`. J 护、产尹、、. 了. 4 ōéI 6 7 了 刃 .、 f t .龟、 1 二维 稳 态 温 度起 伏 的数学 模型 对于 二维 稳 定态 晶体 生 长 问题 , 在 稳 定流 场 的作 用 下 , 假 设 z 方 向熔 液对 流速 度 认 , 在 x 方 向 熔液 对 流速度 认 , 则温度 起 伏 的控制 方 程和 边 界 条件 为 : 。 一 令工,xf( dx) 。 , , 一、 。 一 李厂l,x( ) 。 0 5 华 ds ( 。 一 ` , 2 , 一 。 2 。 一 试 。 一 令厂l,x( ) s `樱 dr ( n一 ` , 2 , … , (日 Z T . 刁 2户 日T 日T 。 a l = 百一丁十一不 , 月一 V t一石尸一 一 V 厂苏厂一 = U L O不 口 -Z ) O X 口艺 玲 一 1, 2) = 联价 1, 2) (l) 玲 , 0 )习卜) l加爪 , )z = 0 对 任何 一胜 x 引 一 致 成立 其 中热 传导系数 a( W/ (m · )K ) , 几 , vz (耐s) 均 为常数 , vz < 0 , 以及八才)为周 期 21 的连 续 周期 函数 , 而 且在 一 l` x ` l 上有 分 段 的连 续 导数 . 收稿 日期 2 0 03 一7一 1 陈 明文 男 , 43 岁 , 副教授 * 国家重大 基础研 究项 目( 2G 0 0 0 06 720 几l) 由式 ( 2 ) 看 出 , 级 数 中各 项 均含 有指 数 因子 e “ a(n 0< ) . 当 =vx 0 时 , 有 b户0 , 说 明熔 液温 度 变化 沿着 z 方 向是衰 减 的 ; 而当 vx 羊 O 时 , 必定 有 瓦羊 O , 这说 明熔液温 度 变 化 沿着 z 方 向是 振 荡衰 减 的 , 它使得 熔 体 内出现 较大 范 围 的温 度起 伏 . 王 自东 等人利 用 氯化钱 晶体溶 于水 中 , 加热 到过 饱和 温 度 10 ℃ 以上 , 进 行对 比实验 ` 如 果 不施 加 横 向对 流 速度 vx , 熔体 内没 有大 的温度起 伏 而且 没有 晶 体 出现 ; 如果 施加 横 向对 流 速度 vx , 对 流 的作 用 使 原子 集 团周 围 区域 的温度 起伏 波动 范 围增大 , 熔 体 中存在 低于 过饱 和 点 的区 域 , 使 局部 区域 存 在 过冷 度 , 从而 使 形核 的几率 增 大 , 导致 形核 数 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2004. 03. 020

Vol.26 No.3 陈明文等：熔体形核与二维稳态温度起伏数学模型 ·305· 量增加.实验结果与理论模型的Fourier级数形式 利用洛必塔法则， 解计算结果是吻合的，这就需要进一步研究温度 mr8t船dd- 起伏和边界条件的定解问题的解的性质，从理论 上保证理论模型的解能够真实描述晶体形核这 je∬8器门a地 一物理现象. -v.lim 2解的收敛性 -之m∫小rc. 由衰减条件，lim(x,z=0,得： 首先对式(3)做出估计， limdx=0 (15) as-只s-受 (8) 因此， ma8股器td 由于fx)是连续函数，所以存在正的常数M, raH8ad-o (16) 使得当-l≤x≤！时， du lcolsM,IcusM,IcaM,dusM,ldusM. 所以，x=z =0(-1sx≤l,0≤z0都是收敛的，根据级 数收敛判别法，Fourier级数形式解(2)对任何z>0 4解的稳定性 都是收敛的，这说明温度起伏的定解问题()的 引理若(x)是[-4，)上的连续函数，且 解是存在的 xdx=0,则： ∫，rx)dr≤4∫[u(x)Jdx (18) 3解的惟一性 下面证明定解问题(1)的解的稳定性.假定 假定温度起伏的定解问题(1)有两个解 定解问题(1)的边界条件有一个小的扰动). Txz,Tx,z,令 nx,0)=f(x)+e(x),(x)6, u(x,2)=T(x,z)-T(x,2). 这里6为某个正数.令(x,z)=x,z)-Tx,z,则 则(x,z)满足下面的定解问题 x,z)满足如下的定解问题： 4股體器品-0 4股股-品0 u(x-1,z）)=x+l,z) (11) vx-1,z)=v(x+l,z) (19) x,0)=0 v(x,0)-(x) lim(x,z)=0对任何-lsx≤1一致成立 1imMx,z)=0对任何-l≤x≤l一致成立 记D,=(-4,)×(0,z),z>0,D.=(-1,0×(0,+∞)，用 取p(z)是充分光滑的函数且满足pO)=1,limp(z) x,z)乘以定解式(11)的方程，并且在D,上积分， =0.令： 川al822drd-∬vdd- wr.2)-vx.2)-i)-Sxie-p()](20) vu8船dkt=0 (12) 则∫w6,z=0,式(19)化为： 经过分部积分，得到 a8d-&∫u-告ru w(x-1,z)=w(x+l,z) (21) (13) w,0)=0 limw(x,z)=0 两边同乘因子名e÷,然后关于z从0到z积分， 其中 2ardea- Gx.z)-alg"(x)-g(x)lp(z)+ag(x)Ip"(-p(-)]. er∫，rr (14) 而g6x)=∫，xdx-)

心 V 1 一 2 N 6 o . 3 陈 明 文 等 : 熔 体 形核 与二维 稳 态温 度起伏 数 学模 型 一 0 35 . 量增 加 . F 实 验结 果 与理 论模 型 的 o n u 级数 形 式 e r 解计 算结 果 是吻合 的 , 这 就 需要进 一 步研 究温 度 起伏 和边 界 条件 的定 解 问题 的解 的性质 , 从理 论 上 保证 理 论 模 型 的解 能够 真 实 描 述 晶体 形 核 这 一物 理 现 象 . 利 用洛 必 塔 法则 , r r [( 己u 丫 . ( 己u 、 2 1 , 1 1m 1 1 以 } l ~ 万 , ~ I十 l下了丁 l 旧工 〔 U二 z一 沈 ` 少 l 气 口 X ) 飞 C Z ) J 口 一 一 认 lim 卜 _ 、 f r r [( 刁u 丫 . ( 己u 、 2 1 , , } , ! e 口 “ 下 二 { 一戒一 一 l 十 l e 不万一 . 旧工 O Z r (珍 吃 t 心 LL “ x ) L 口 z ) J ’ _ e 一 争 2 解 的收 敛 性 vz , · 一 万竺现卫矿.dx 首 先对 式 (3) 做 出估 计 , a , 、 一 乎河习 ` 一竿 ( 8 ) 由于f(x ) 是 连 续 函 数 , 所 以存 在 正 的常数 M, 使 得 当 一 l ` x ` l 时 , I c o l ` 从 I c l , l ` 从 I c 2 , l ` 从 I d l , l ` 从 !姚 , l ` .M 因此 , 1 (一 ”尹一` · ” 二)一华{ 、 ZMe 一平 ( , ) { ( J l 一 ” 二 、 一` · ”二 )一 `愕} ` ZMe 一季 ( ` 0 ) 因为级 数 艺 e 一争 对 任 何 >2 0 都 是收 敛 的 , 根 据 级 数 收敛 判 别法 , F 。 。 er 级 数 形式 解 (2 ) 对 任 何>2 0 都 是收 敛 的 , 这说 明温 度 起 伏 的定解 问题 ( l) 的 解 是存 在 的 . 由 衰 减条 件 , l im u (x , )z =0 , 得 : 煦 f , u ’ dx 一 o (巧 ) 一 , … 。 r f( a u 、 2 . ( a u 、 2 1 , , 因此 , 勿jD “ L}蓄j + (嚣J] r o dx 卜 ff a u 丫 . ( a u 、 2 1 , , )DJ “ }}常J + (嚣j j dr 护o ( 16 ) _ . ` . a u 己u 。 , , _ _ , 。 _ _ . 、 : . 一 , 、 所 以 , 嚣 一 嚣 一 ” ( 一 “ “ l, ” ` +z2 0刀 二 = ( 一 l , 乃 x ( 0 , + 二 ) , 压 u (x , )z 乘 以定解 式 ( 1 1) 的方 程 , 并且 在Dz 上积 分 , 梦au (瓮拼势! dx “ 一 梦切会 dx “ - 万 、 U餐 dr dr _ 。 取 p ()z 是 充 分 光 滑 的 函 数 且 满 足 风0) 一 ` , 妙(z) = 0 . 令 : w ;x( 卜 、 二 一 、 冲卜责工。 dx) e[ 一 n(z) 〕 (20) 则 f , w x( , z )、 一 。 , 式 ( 19 ) 化 为 : 经 过 分 部积 分 , 得到 ( 日 , w . 日 Z w 、 a w a w 。 , _ 、 叹忑了 十币丁 ) - 认 下反 ~ - 认福百一 IL 林 , 习 列剖 十 图」 dx =dz 二 瓮分 “ 一 普工duxz (2 1 ) ( 13 ) 两边 同乘 因子号 e 一争 , 然 后关 于 · 从 0 至。 · 积 分 , w X( 一 l , z ) = w 伙+ l , z ) w X( , 0) = 0 lim w 以 , z ) = 0 2丈一争 {汀[{需! 2· {雳! ’ … dx ds } dr - e 一争 工犷dx ( 14 ) 其 中 , (xG , z) 一。 了x() 一枷 ,x() of(z +) 咖’o)t ,()z 一 枷 ,()z] , 而 加卜 去卫称d)x 一 。 ) ·

·306· 北京科技大学学报 2004年第3期 用w(x,z)乘以定解式(21)中的方程，并在D: 式(26)表明，只要x)充分小，则wxz)可以充分 上积分，得： 小.又由式(20)可知： 8}8-器dd- ∂w, wea=wtx,zh3xper7∫xse-nlel(2刃 ∬wt,zck,zdd (22) 在均方模意义下(x,z)是由x)控制的，定解 问题(1)的解是稳定的 类似于解的惟一性的证法，用分部积分法计算式 (22)中各项，并对z从0到z积分，得： rl8xj8jad-∫w@.z)x+ 5结论 a川wtk,add=r8驶lgw)-&g)r-)rdz+ 二维稳态温度起伏的数学模型的解是存在 ∬8gope-古/)izx)ixiz 的、惟一的和稳定的，从理论上进一步证实了只 (23) 要施加横向对流速度，熔体内产生较大的温度起 利用Cauchy不等式，得： 伏，使温度低于过饱和点的过冷度增大，导致形 Ldzadz-d 核数量增加.因此熔液对流条件促使温度起伏， &J∬wG.)dxdesdz∬{儿gte-&o 导致大量晶核形成的熔体形核机制是正确的. pY)-pl-)g()dxdz (24) 致谢北京师范大学教授尚美柯教授对本文的.匚作给 予热情的指导，作者表示衷心的感谢， 将上式两端除以z,然后用洛比塔法则，令 z一+0，得： 参考文献 ∬[l8x8gard≤旷{lgtw-女w) I Wang M,Zhong S.Yin X B.et al.Nanostructured copper filaments in electrochemical deposition [J].Phys Rev P)-pz)gdxdz (25) Let.2001.86:3827 根据引理得： 2王自东，胡汉起：熔体对流与形核之间的理论模型 w.dards 和实验证据[A].凝固科学技术与材料发展[C],北 京：香山科学会议，北京，2003.63 4rr{gw-女seH 3孟凡梓.晶体生长模式中摄动方法的应用D]北凉 72 pz)-p)gw)axdz 科技大学，2002 (26) Melt Nucleating and Two-Dimensional Temperature Fluctuation Model CHEN Mingwen",ZHAO Wenbin,WANG Zidong.SUN Renji 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China 2)Materials Science and Engineering School.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT A two-dimension steady temperature fluctuation mathematical model is studied.The solution of the model is proved to be existential,unique and steady.The temperature solution of the mathematical model shows an exponentially descendent and oscillatory pattern with respect to the crystal growth direction.It theoretically con- firms that the horizontal melt convection condition accelerates temperature fluctuation and results in a large number of nuclei. KEY WORDS metal solidification;crystal growing;partial differential equation

. 3 0 6 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 4 年 第3 期 用 w (x 声) 乘 以定解 式 ( 21 ) 中 的方程 , 并在 几 上 积分 , 得 : 。r f f 己 Z w D , w 、 己w a w l 二 } a l . 可 , 犷汁一不 下 .一 V 了 下 一 v , 一只产 一 }W任t t IZ = d 尸 1 气 口戈 ~ V 万 ) () X 口Z } 万 w (x , z )。 (x , z )dx dz ( 2 2 ) 类似 于解 的惟 一性 的证 法 , 用分 部积 分法 计算 式 ( 2 2) 中各项 , 并对 z 从 0 到 z 积 分 , 得 : 式 ( 2 6) 表 明 , 只 要称) 充分 小 , 则 w (x 力 可 以充分 小 . 又 由式 ( 2 0 ) 可知 : 、 (x 二卜 w ( x , : ) + 。 加( : )价 f , 。 )、 。 e普 : 一。 ( : )〕 ( 2 7) 在 均方 模意 义 下 v x( , )z 是 由称)控 制 的 , 定解 问题 ( l) 的解 是稳 定 的 . 加洲剖 + 翩朴 “ 一 抓 W (xz, +dx)z 令 f f 乙 a ` 少 W x(z , Z d)x ds 一 万需、 ,x( 卜枷 义 )〕(nz ) dx dr + ō J 4 乙,` ( + 声幼 梦餐, ,()z 一 枷 ()jz 沙 dx) “ 利用 Cau c勿 不 等式 , 得 : 伽洲剖 + 图 ’ ] dx “ 一 伽(x,z +dx) 着梦 W ,x(z dx)z “ ` 加川} g ,x() 一 枷 , ) 卜句一 枷钊诱 )卜 dr 5 结 论 二 维 稳 态温 度 起 伏 的数 学 模 型 的解 是 存 在 的 、 惟 一 的和稳 定 的 , 从 理论 上进 一 步证 实 了只 要 施加横 向对流速 度 , 熔 体 内产生 较大 的温度 起 伏 , 使温 度 低于 过饱 和 点 的过 冷度 增大 , 导致 形 核 数量 增 加 . 因此熔 液 对流 条件 促 使温 度起 伏 , 导 致大 量 晶核 形成 的熔体 形 核机 制 是正 确 的 . 将 上 式 两 端 除 以 z , 然 后 用 洛 比 塔 法 则 , 令 z 一+ 二 , 得 : 致谢 北 京师 范大 学教授 周美 柯教 授对 本文 的 _ [ 作给 予热 情 的指导 , 作者 表示 衷心 的感谢 . 参 考 文 献 川翩+(z 剖l dx 。 二 川} g ,x() 一 枷 ,」认+)z 「 _厅 _、 v : , _ 、 ) 2 _ 2 , 、 ) 」 」 _ 11, 又乙 ) 一 , 一刀气Z ) 1 9 气X ) r L 不口 名 ’ L U ’ J 一 J ( 2 5 ) 根据 引理得 : 梦心 , )dzr “ ` 4lz 圳剖 + 图 2 」 dx “ · “ 2 梦{} g ,x( , 一 枷 , ]协 ’ (z , · 沙 一枷钊孤朴 de (26) W a n g M , Z h o n g S , Y i n X B , e t a l . N a n o s tru e tU r e d e o PPe r if l a m e n t s i n e l e c t or c h e m i e a l d e P o s i t i o n IJ」 . Ph y s R e v L e t , 2 0 0 1 , 8 6 : 3 8 2 7 王 自东 , 胡汉 起 . 熔 体对 流与形 核之 间 的理论模 型 和 实验证 据 【A] . 凝 固科 学技术 与材 料 发展 〔C] . 北 京 : 香 山科 学 会议 , 北 京 , 2 0 03 . 63 孟凡梓 . 晶 体 生长模 式 中摄 动方 法 的应用 【D] . 北 京 科技 大学 , 2 0 0 2 M e lt N u c l e at i n g an d l ’W o 一 D im e n s i o n a l eT m P e r a tu r e F l u c t u a t i o n M o d e l C HE N iM 刀g w e n ’ ), 乙从刁O 肠 n bi n ’气 洲刃 G iZ do n犷气 S乙N/ R e nj i , , l ) A P P li e d S e i e n e e S e h o o l , U n i v e r s ity o f s e i e n e e an d eT e hn o l o gy B e ij in g , B e ij ing l 0 0 0 8 3 , C h i n a 2 ) M at e r i a l s S e i e n e e an d E n g i n e e r i n g S e h o o l , U n i v e r s ity o f s e i e n e e an d eT e hn o l o gy B e ij i n g , B e ij i n g l 0 0 0 8 3 , C h i n a A B S T R A C T A tw o 一 d im e n s i o n s t e a dy t e m P e r a t u r e if u e tu a t i o n m a th e m at i c a l m o d e l 1 5 s tu d i e d , T h e s o l u t i o n o f th e m o d e l 1 5 P r o v e d t o b e e x i s t e in ial , un i q u e a n d s t e ad y . T h e t e m P e r a tUr e s o lut i o n o f t h e m at h e m at i c a l m o d e l s h o w s an e x P o n e n ti a l ly d e s e e n d e in an d o s e i ll a t o yr P a t e m w i t h r e s P e e t t o ht e e yr s t a l g r o Wt h d i er e ti o n . It th e o r e t i e a l ly e o n - if mr s t h at th e h o ir z o nt a l m e l t e o vn e e t i o n e o n d i t i o n ac e e l e r at e s t e m P e r a ut r e fl u c ut at i o n an d r e s u l t s i n a l agr e n um b e r o f n u e l e i . K E Y W O R D S m e ta l s o l id iif e at i o n : c yr s t a l gr o w i n g : P a rt i a l di fe r e n t i a l e q u at i o n