定理15.1.3(积分号下求导定理)设f(x,y),f,(x,y)都在闭矩形 ab]×[c,d上连续,则1(y)在e,d上可导,并且在[c,d上成立 d f,(x, y)dx 证对任意y∈[e,d],当y+Δy∈[c,d时,利用微分中值定理 I(y+Ay)-1(y) rbf(x,y+Ay)-f(x, y) △ sydx=l/, (x, y+ 4y)dx(0<0<1) 由定理15.1.1,即有 d(y) /(y+△y)-I(y) =im =lm 「"f(x,y+Oy)dr Ay→0 △ △y→>0Ja ∫mf(xy+yx(xy定理 15.1.3（积分号下求导定理） 设 f (x, y), f (x, y) y 都在闭矩形 [a,b][c,d]上连续，则I( y)在[c,d]上可导，并且在[c,d]上成立 d ( ) ( , )d d b y a I y f x y x y =  。 证 对任意 y [c, d]，当 y + y [c, d]时，利用微分中值定理， ( ) ( ) ( , ) ( , ) d ( , )d b b y a a I y y I y f x y y f x y x f x y y x y y  +  − +  − = = +      ( 0  1)。 由定理 15.1.1，即有 0 0 0 d ( ) ( ) ( ) lim lim ( , )d d lim ( , )d ( , )d . b y y y a b b y y a a y I y I y y I y f x y y x y y f x y y x f x y x    →  →  → +  − = = +   = +  =   