其中a1是0,1,…,9中的数字,并且有无限多个a1不为零.例如0.5表示为0.49…,不 表示为0.500…这样,(0,1)中每个实数的表示是惟一的 用反证法.若(0,1)中的实数可以与自然数建立一一对应的关系.则(0,1)的全部 实数可以排序成为一个无穷序列 (0,1)={x1,x2,x3,…}, x,=0.aaa x3=0.a0)a3)a 现在考虑小数 x0=0.a1a2a3… 其中a1是0,1…9中的数字,a1≠a,a2≠a2),a3≠a,…,(例如,若a≠1 令a1=1.若a1=1,则令a1=2).则x0∈(0,1),但是x≠x;(=12,3,…)(因 为至少x与x的第i位数字不同).这与假设矛盾!因此(0,1)中的实数不能与自然数建 立一一对应的关系 由于自然数集N与区间(0,1)的一个子集 23n+1…}对等,结合例1,我 们有理由说自然数集M比区间(0,1)的元素少 以上两个例子表明,利用一一对应的思想,可以比较两个无限集的元素的多与少.下 面我们把这种想法精确化 定义3对于所有相互对等的集,我们称他们给予同一个记号,称为这其中每一个集 的基数.集A的基数记为A 由基数的定义,如果A与B对等,则A=B 规定集{1,2,…,m}的基数为n,空集的基数为0.用符号O表示自然数集N的 基数实数集R的基数用c表示,称之为连续基数因此有限集的基数等于该集中元素 的个数.这样,集的基数就是有限集的元素个数的推广 定义4设A,B是两个集.若A与B的一个子集对等,则称A的基数小于或等于B 的基数,记为A≤B.若A与B的一个子集对等,但A与B不对等,则称A的基数小于 B的基数,记为A<B14 其中 i a 是 0,1,L,9 中的数字, 并且有无限多个 i a 不为零.例如 0.5表示为 0.499L, 不 表示为0.500L. 这样, (0, 1) 中每个实数的表示是惟一的. 用反证法. 若 (0, 1) 中的实数可以与自然数建立一一对应的关系. 则 (0, 1) 的全部 实数可以排序成为一个无穷序列: (0, 1) { , , , }, = x1 x2 x3 L 0. , (1) 3 (1) 2 (1) x1 = a1 a a L 0. , (2) 3 (2) 2 (2) x2 = a1 a a L 0. , (3) 3 (3) 2 (3) x3 = a1 a a L LLLLLLLLL. 现在考虑小数 x0 = 0.a1 a2 a3L, 其中 i a 是 0,1,L,9 中的数字, a1 ≠ a1 (1) , a2 ≠ a2 (2) , a3 ≠ a3 (3) ,L. (例如, 若 1 ( ) ≠ i i a , 令 = 1 i a . 若 1, ( ) = i i a 则令 = 2 i a ).则 (0, 1) x0 ∈ , 但是 i x ≠ x 0 (i = 1, 2, 3,L) (因 为至少 0 x 与 i x 的第i 位数字不同).这与假设矛盾! 因此(0, 1) 中的实数不能与自然数建 立一一对应的关系. 由于自然数集N 与区间(0, 1) 的一个子集 , } 1 1 , , 3 1 , 2 1 { L L n + 对等, 结合例 1, 我 们有理由说自然数集N 比区间(0, 1) 的元素少. 以上两个例子表明, 利用一一对应的思想, 可以比较两个无限集的元素的多与少. 下 面我们把这种想法精确化. 定义 3 对于所有相互对等的集, 我们称他们给予同一个记号, 称为这其中每一个集 的基数. 集 A 的基数记为 A. 由基数的定义, 如果 A 与 B 对等, 则 A = B. 规定集{1, 2,L,n}的基数为 n , 空集∅ 的基数为 0. 用符号ω 表示自然数集 N 的 基数. 实数集 1 R 的基数用 c 表示, 称之为连续基数. 因此有限集的基数等于该集中元素 的个数. 这样, 集的基数就是有限集的元素个数的推广. 定义 4 设 A, B 是两个集. 若 A 与 B 的一个子集对等, 则称 A 的基数小于或等于 B 的基数, 记为 A ≤ B. 若 A 与 B 的一个子集对等, 但 A 与 B 不对等, 则称 A 的基数小于 B 的基数, 记为 A < B