有限集与无限集利用对等的概念,我们可以给出有限集和无限集的严格定义.设 A是一非空集.若存在一个自然数n,使得A与集{2…,n}对等,则称A为有限集.规 定空集是有限集.若A不是有限集,则称A为无限集 下面先讨论一类重要的集一可数集,即具有可数基数的集 可数集在无限集中,有一类是以后会经常遇到的,也是最简单的,就是下面要讨 论的可数集. 定义5与自然数集N对等的集称为可数集 换言之,具有可数基数的集称为可数集.由可数集的定义知道,若A是可数集,B 与A对等,则B是可数集 等价定义:集A是可数集当且仅当A的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列 编号排序必须既无遗漏,也无重复 A={a1,a2,…,an,… 可数集的简单例:自然数集N,整数集Z,奇自然数集,偶自然数集 它们的元素可以分别排序成为无穷序列 {0,1,-1,2,-2,…,n,-n,…} {1,3,5, 由例1知道,区间(0,1)和实数集R都不是可数集 后面我们将要看到更多的可数集,它们的可数性不是这样显而易见的.例如我们马 上要证明有理数集是可数集.以下定理表明,可数集在无限集中具有最小基数. 定理1任何无限集必包含一个可数子集.换言之,若A为无限集,则O≤A 证明在A中任取一个元,记为a1假定a1,…,an1已经取定.由于A是无限集,故 A-{a1,…,an}不空.在A-{a12…,an1}中任取一个元,记为an这样一直作下去 就得到A中的一个无穷序列{an}.令A1={a1,a2,…},则A1是A的一个可数子集 推论O<c 证明由定理1,O≤C.由例1和例2,c=(0,1)≠O.因此O<c■ 定理2若A是可数集,B是有限集,则A∪B是可数集 证明不妨设A∩B=∞.若不然,由于A∪B=A∪(B-A),用B-A代替B即 可设A={a1,a2,…},B={b1,…,bn}则A∪B得元素可以编号排序为 A∪B={b1,…bn,a1 因此A∪B是可数集■ 定理3可数集的任何无限子集还是可数集 证明设A为可数集,则A的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列15 有限集与无限集 利用对等的概念, 我们可以给出有限集和无限集的严格定义. 设 A 是一非空集. 若存在一个自然数n, 使得 A 与集{1,2,L,n}对等, 则称 A 为有限集. 规 定空集是有限集. 若 A 不是有限集, 则称 A 为无限集. 下面先讨论一类重要的集 可数集,即具有可数基数的集. 可数集 在无限集中, 有一类是以后会经常遇到的, 也是最简单的, 就是下面要讨 论的可数集. 定义 5 与自然数集 N 对等的集称为可数集. 换言之, 具有可数基数的集称为可数集. 由可数集的定义知道, 若 A 是可数集, B 与 A 对等, 则 B 是可数集. 等价定义: 集 A 是可数集当且仅当 A 的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列 (编号排序必须既无遗漏, 也无重复.): { , , , , }. A = a1 a2 L an L 可数集的简单例: 自然数集 N , 整数集 Z , 奇自然数集, 偶自然数集. 它们的元素可以分别排序成为无穷序列 {0,1,−1,2,− 2,L, n,− n,L}, {1, 3, 5,L, 2n −1,L}, {2, 4, 6,L, 2n,L}. 由例 1 知道, 区间(0, 1) 和实数集 1 R 都不是可数集. 后面我们将要看到更多的可数集, 它们的可数性不是这样显而易见的. 例如我们马 上要证明有理数集是可数集. 以下定理表明, 可数集在无限集中具有最小基数. 定理 1 任何无限集必包含一个可数子集. 换言之, 若 A 为无限集, 则ω ≤ A. 证明 在 A 中任取一个元, 记为 . 1 a 假定 1 1 , , a L an− 已经取定. 由于 A 是无限集, 故 { , , } − 1 n−1 A a L a 不空. 在 { , , } − 1 n−1 A a L a 中任取一个元, 记为 . n a 这样一直作下去, 就得到 A 中的一个无穷序列{ }. n a 令 { , , }, A1 = a1 a2 L 则 A1 是 A 的一个可数子集. 推论 ω < c. 证明 由定理 1, ω ≤ c. 由例 1 和例 2, c = (0, 1 ) ≠ ω. 因此ω < c. 定理 2 若 A 是可数集, B 是有限集, 则 A∪ B 是可数集. 证明 不妨设 A ∩ B = ∅. 若不然, 由于 A ∪ B = A ∪ (B − A), 用 B − A 代替 B 即 可.设 { , , }, A = a1 a2 L { , , }. 1 n B = b L b 则 A ∪ B 得元素可以编号排序为 { , , , , }. A ∪ B = b1 Lbn a1 a2 L 因此 A∪ B 是可数集. 定理 3 可数集的任何无限子集还是可数集. 证明 设 A 为可数集,则 A 的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列