设B是A的一个无限子集.则B中的元素是上述序列的一个子列 将an与k对应,即知B是可数集 定理4若A(n=12,…)是一列可数集,则∪A和4都是可数集即可数集 的有限并或可数并还是可数集 证明设An={an1,an2.…,am},n=,2,…,是一列可数集 有限并的情形Um4的元素可以按下面的方式编号排序 可数并的情形:UAn的元素可按如下方式编号排序 A2a21a2/a2^a24 A4 a4L/ a4 在编号排序时,若碰到前面已编号的重复元素,则跳过去不再编号排序.于是∪A和 UA,的元素都可以按上述方式编号排序成为一无穷序列所以A和4都是可数 集 定理5若A,(n=1,2,…)是一列有限集,则UAn是有限集或可数集 证明留作习题16 , , , , . a1 a2 L an L 设 B 是 A 的一个无限子集. 则 B 中的元素是上述序列的一个子列 , , , . , an1 an2 L ank L 将 nk a 与 k 对应, 即知 B 是可数集. 定理 4 若 A (n = 1, 2,L) n 是一列可数集, 则U n i Ai =1 和U ∞ i=1 Ai 都是可数集. 即可数集 的有限并或可数并还是可数集. 证明 设 { , , , }, 1, 2, , An = an1 an2, L anm L n = L 是一列可数集. 有限并的情形: Un i Ai =1 的元素可以按下面的方式编号排序: L LLLLLLLLLL L L 1 2 3 2 21 22 23 1 11 12 13 n n n n A a a a A a a a A a a a ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 可数并的情形: U ∞ n=1 An 的元素可按如下方式编号排序: A1 11 a 12 a 13 a a14 L A2 21 a ↗ 22 a ↗ 23 a ↗ a24 L A3 31 a ↗ 32 a ↗ a33 L A4 41 a ↗ a42 L 在编号排序时, 若碰到前面已编号的重复元素, 则跳过去不再编号排序. 于是U n i Ai =1 和 U ∞ n=1 An 的元素都可以按上述方式编号排序成为一无穷序列. 所以U n i Ai =1 和U ∞ n=1 An 都是可数 集. 定理 5 若 A (n = 1, 2,L) n 是一列有限集, 则U ∞ n=1 An 是有限集或可数集. 证明 留作习题