思考题任意个有限集或可数集的并是否一定是可数集.为什么? 利用可数集的运算性质,从一些已知的可数集,可以得到更多的可数集. 例3有理数集Q是可数集 123 事实上,对每个n=12…,令A={’n,元 则每个A是可数集.由于 正有理数集QUA,由定理4知道Q是可数集类似地,可以证明负有理数集 Q是可数集.因此Q=Q∪Qυ{0}是可数集 定理6若A1,…,A,是可数集,则它们的乘积集A1x…×A是可数集 证明用数学归纳法.当n=1时定理的结论当然成立.假定A1×…×A-1是可数集 设An={a1a2,…}.对每个k≥1,令 Ek=A1x…×An-1×{ak} 则Ek与A1×…xA-1对等,故每个E是可数集.由于 Ax…×A=UE 因此由定理4知道A1×…xAn是可数集.图2-3是n=2的情形 图2一 推论设1,…,n是n个可数集.则A={ann∈1,…,n∈In}是可数集17 思考题 任意个有限集或可数集的并是否一定是可数集. 为什么? 利用可数集的运算性质,从一些已知的可数集,可以得到更多的可数集. 例 3 有理数集Q 是可数集. 事实上, 对每个 n = 1, 2,L, 令 , }. 3 , 2 , 1 { L n n n An = 则每个 An 是可数集. 由于 正有理数集 + Q = , U 1 ∞ n= An 由定理 4 知道 + Q 是可数集. 类似地, 可以证明负有理数集 − Q 是可数集. 因此Q = + Q ∪ − Q ∪{0}是可数集. 定理 6 若 A An , , 1 L 是可数集, 则它们的乘积集 A1 ×L× An 是可数集. 证明 用数学归纳法. 当 n = 1时定理的结论当然成立. 假定 A1 ×L× An−1是可数集. 设 { , , }. An = a1 a2 L 对每个 k ≥ 1, 令 { }. k 1 n 1 k E = A ×L× A − × a 则 Ek 与 A1 ×L× An−1对等, 故每个 Ek 是可数集. 由于 . 1 1 L U ∞ = × × = k A An Ek 因此由定理 4 知道 A1 ×L× An 是可数集. 图 2 3 是 n = 2 的情形. 图 2 3 推论 设 n I , ,I 1 L 是 n 个可数集. 则 { : , , } i 1 , ,i 1 1 n n A a i I i I n = L ∈ L ∈ 是可数集. Ek A 1 A2 1 a 2 a a3 ai 1 b 2 b bk