证明将a1,与(1…,n)对应,即知A与l1x…×Ln对等.由定理6,1x…× 是可数集,故A是可数集■ 例4设Q”是R”中的有理点(即座标全为有理数的点)的全体所成的集则 =Q×…×Q.由例3和定理6,Q”是可数集 例5整系数多项式的全体是可数集 证明对任意自然数n,令P是n次整系数多项式的全体.将n次整系数多项式 anx”与(a )对应,即知P∏Z(其中Z Zn=2-0)由定理5,∏Z是可数集故P是可数集再利用定理4,∪P是可 数集.即整系数多项式的全体是可数集■ 实数x称为是一个代数数,若x是某个整系数多项式的根 定理7代数数的全体是可数集 证明由例5,可以设整系数多项式的全体为{P1,P2,…又设 A={x:x是代数数} A 是pn的零点} 则每个A是有限集,并且 A=∪A 即A可以表示为一列有限集的并.利用定理5,代数数的全体是可数集 具有连续基数的集 定理8若A为无限集,B为有限集或可数集,则A∪B=A 证明不妨设A∩B=⑧,否则用B-A代替B即可.因为A为无限集,由定理1, A包含一个可数子集A1由于A1∪B是可数集,故(A1∪B)~A1,又因为 A1)∩( 因此我们有 B=(A-A1)∪A∪B A1)∪(A1∪B)~(A-A1)∪A118 证明 将 n i i a , , 1 L 与( , , ) 1 n i L i 对应, 即知 A 与 n I ×L× I 1 对等. 由定理6, n I ×L× I 1 是可数集, 故 A 是可数集. 例 4 设 n Q 是 n R 中的有理点(即座标全为有理数的点)的全体所成的集. 则 4 . 142L 3n Q = Q × ×Q n 由例 3 和定理 6, n Q 是可数集. 例 5 整系数多项式的全体是可数集. 证明 对任意自然数 n, 令 Pn 是 n 次整系数多项式的全体. 将 n 次整系数多项式 n n a + a x +L+ a x 0 1 与 ( , , ) a0 a1 Lan 对应, 即知 Pn ~∏= n i i 0 Z (其中 Z0 ,L, Zn−1 = Z Z = Z −{0} n ). 由定理 5, ∏= n i i 0 Z 是可数集, 故 Pn 是可数集. 再利用定理 4, U ∞ n−0 Pn 是可 数集. 即整系数多项式的全体是可数集. 实数 x 称为是一个代数数, 若 x 是某个整系数多项式的根. 定理 7 代数数的全体是可数集. 证明 由例 5, 可以设整系数多项式的全体为{ , , }. p1 p2 L 又设 A = {x : x是代数数}, { : 是 的零点} n n A = x x p , n = 1, 2,L. 则每个 An 是有限集, 并且 . 1 U ∞ = = n A An 即 A 可以表示为一列有限集的并. 利用定理 5, 代数数的全体是可数集. 具有连续基数的集 定理 8 若 A 为无限集, B 为有限集或可数集, 则 A ∪ B = A. 证明 不妨设 A ∩ B = ∅, 否则用 B − A 代替 B 即可. 因为 A 为无限集, 由定理 1, A 包含一个可数子集 . A1 由于 A1 ∪ B 是可数集, 故( ) A1 ∪ B ~ A1 . 又因为 ( ) ( ) , A − A1 ∩ A1 ∪ B = ∅ 因此我们有 A ∪ B = (A − A1 ) ∪ A1 ∪ B ( ) ( ) = A − A1 ∪ A1 ∪ B ~ ( ) .. A − A1 ∪ A1 = A