A=eE dl=ol 120(R2+x2)2(R2+r2)分 R2-R-√2+R2+√2+R2) 和(Ⅰ)结果一样 注意:因为求E时是矢量积分,必须先解后积分;而求Ⅴ时是标量积分,往往后都数学运算简 单得多.因为此题求E时,各dE方向相同,不需要分解.所以此题看不出两者在数学处理上的区 别,但这一点在其它题中可明显看出.另外,方法(Ⅰ)中,只须积分一次,而方法(Ⅱ)中,须 积分两次,故此类题宜采用方法(I) 例7计算均匀带电球面电场中的电势分布:设带电球面的半径为R,总电荷量为q,求电场 中任一点P处的电势,P点与球心的距离为 分析计算电势可用两种方法:一是根据电势的定义式(8-13)来做,二是根据电势的叠加原 理(8-17)(8-18)来计算,下面分别进行求解 解解法Ⅰ根据高斯定理知空间电场的分布:其大小为 r>R E= 4Tsor 方向沿径向 r< R 我们选取沿半径方向积分,则P点的电势为:F=Ed=E 当DR时,V= q 2-4mE0 当r<R时,由于球内外场强的函数关系不同,积分必须分段进行 =」E·d+JEd=0+Rr=dq 4zE. JR2 4TER 由此可见,一个均匀带电球面在球外任一点的电势和把全部电荷看作集中于球心的一个点电荷 在该点的电势相同;在球面内任一点的电势应与球面上的电势相等,故均匀带电球面及其内部是 个等电势的区域 解法Ⅱ.由题意知电荷面密度为G=q,把球面分割成无数个小圆环(如图817),每个环 4zR2 带上所带的电荷c=a·2丌· Rsin e.Rd0.此电荷元在P点的电势为 d q mR sin ede P ATSo 由图可知:12=(Rsin)2+(r-Rcos) 对上式微分得:ll= Resin a,代入dVp式中得 图8-17 d( ) 2 ] ( ) 1 ( ) 1 [ 2 2 1 2 2 2 2 2 1 0 2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2 0 1 R R L R L R e dx R x R x e x A eE dl o p o L                     ， 和（Ⅰ）结果一样． 注意：因为求 E 时是矢量积分，必须先解后积分；而求 V 时是标量积分，往往后都数学运算简 单得多．因为此题求 E 时，各 dE 方向相同，不需要分解．所以此题看不出两者在数学处理上的区 别，但这一点在其它题中可明显看出．另外，方法（Ⅰ）中，只须积分一次，而方法（Ⅱ）中，须 积分两次，故此类题宜采用方法（Ⅰ）． 例 7 计算均匀带电球面电场中的电势分布：设带电球面的半径为 R，总电荷量为 q ，求电场 中任一点 P 处的电势，P 点与球心的距离为 r． 分析 计算电势可用两种方法：一是根据电势的定义式（8-13）来做，二是根据电势的叠加原 理（8-17）（8-18）来计算，下面分别进行求解： 解 解法Ⅰ 根据高斯定理知空间电场的分布：其大小为：         0, . , , 4 2 0 r R r R r q E  方向沿径向． 我们选取沿半径方向积分，则 P 点的电势为： P r r V E dl E dr             当 r>R 时，     r P r q r q dr V 0 2 4 0 4 ． 当 r<R 时，由于球内外场强的函数关系不同，积分必须分段进行，即： 2 0 0 0 4 4 R P r R R R dr q V E dl E dr   r R               ． 由此可见，一个均匀带电球面在球外任一点的电势和把全部电荷看作集中于球心的一个点电荷 在该点的电势相同；在球面内任一点的电势应与球面上的电势相等，故均匀带电球面及其内部是一 个等电势的区域． 解法Ⅱ．由题意知电荷面密度为 2 4 R q    ，把球面分割成无数个小圆环（如图 8-17），每个环 带上所带的电荷 dq    2  Rsin  Rd ．此电荷元在 P 点的电势为： l R d l dq dVP 0 2 0 4 2 sin 4          ， 由图可知： 2 2 2 l  (Rsin)  (r  Rcos) ， 对上式微分得： ldl  Rrsind ，代入 dVp式中得： dl r R dVP 4 0 2    ． 图 8-17  R r d l P